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平面几何精选?08.1.280?

01?原创?AM=MB，l1∩l3=E,l1∩l4=F,l2∩l3=G,l2∩l4=H，EH∩AB=C，FG∩AB=D．求证CM=MD．

证：

l2

l3l4●H若把l1·l2=0看作一二次曲线．则AB为其一弦，M为此弦的中点．l3、l4为过此中点的两弦．

AG

l1E●●FCMDB由蝴蝶定理知EH、FG与AB的交点满足CM=MD．

评注：此题巧妙地将问题转化成为曲线系，并与蝴蝶定理相结合，很值得学习．

1

02双心四边形，外心为O，外接圆半径为R，内心为P，内切圆半径为r，OI=h．证明

证：如图，分别过K、L、M、N作PK、PL、PM、PN垂线交于A、B、C、D．1

∵∠LCM=180?－∠LPM=∠PLM+∠PML=?∠MLK+∠LMN?,

21

∠KAN=?∠LKN+∠KNM?．

2∴A、B、C、D四点共圆．

我们设其半径为?，易证B、P、D；A、P、C分别三点共线．PCAP

∴r=PLsin?=PBsin?sin?=PB·,

BCAB

PC·AP=?－d?d为ABCD的外心记为?与P的距离?．?2－d2PB1

又易证AC⊥BD，∴=?r=…①

BC·AB2?2?延长NP交BC于T，易证T为BC中点?卜拉美古塔定理?．∴?T∥PS,?S∥PT．

2

2

CLβ●O'111

2+2=2．r?R+h??R－h?

BαTα●ΩKPMNDSαA□?TPS中，4O?T2=PS2+OS2－d2=2?2－d2．

1

又O?N=21R=2

2?2－d2?O?为KLMN的外心?即为O?且

1

2?2－d2…②，h=d…③

2

14?22?R2+h2?11

由①②③得2=2．22=222=2+r??－d??R－h??R+h??R－h?2评注：

1?若要证的结论是一些半径与边长的繁杂关系时，应及时引入三角函数及一些特别的线段比例．2?双心四边形性质繁多

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