高中数学电子书函数极限的运算规矩

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篇一：高中数学教案——函数的极限.doc

函数的极限（4月29日）

教学目标：1、使学生把握当x?x0时函数的极限；

f(x)?limf(x)?A2、了解：limf(x)?A的充分必要条件是lim??

x?x0

x?x0x?x0

教学重点：把握当x?x0时函数的极限

教学难点：对“x?x0时，当x?x0时函数的极限的概念〞的理解。教学过程：一、复习：

（1）limqn?＿＿＿＿＿q?1;（2）lim

n??

1?

?_______.(k?N)x??xk

（3）limx2??

x?2

二、新课

就问题（3）展开探讨：函数y?x2当x无限趋近于2时的变化趋势当x从左侧趋近于2时（x?2）

?

?

当x从右侧趋近于2时（x?2）

函数的极限有概念：当自变量x无限趋近于x0（x?x0）时，假使函数y?f(x)无限趋近于一个常数A，就说当x趋向x0时，函数y?f(x)的极限是A，记作limf(x)?A。

x?x0

特别地，limC?C；limx?x0

x?x0

x?x0

三、例题

求以下函数在X＝0处的极限

2x,x?0

xx2?1

（1）lim2（2）lim（3）f(x)?0,x?0

x?02x?x?1x?0x

1?x2,x?0

四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。五、练习及作业：

1、对于函数y?2x?1填写下表，并画出函数的图象，观测当x无限趋近于1时的变化趋势，说出当x?1时函数y?2x?1的极限

2

2、对于函数y?x?1填写下表，并画出函数的图象，观测当x无限趋近于3时的变化趋势，说出当x?3时函数y?x?1的极限

2

x2?1(x?1)3?(1?3x)

2(sinx?cosx?x2)3?lim2limlim23?x?12x?x?1x?0x?2xx?

2

lim

x?4

?2x?3x?2

1a2?x?a

lim（a?0）lim

x?0xx?0x

篇二：高考数学极限及其运算

难点32极限及其运算

［例1］已知lim(x2?x?1－ax－b)=0,确定a与b的值.

x??

命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依.因而此题重点考察考生的这种能力.也就是本知识的系统把握能力.属★★★★★级题目.

知识依托：解决此题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法.错解分析：此题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错.技巧与方法：有理化处理.

解：lim(x?x?1?ax?b)?lim

x??

x??

2

(x2?x?1)?(ax?b)2

x?x?1?ax?b

2

?lim

x??

(1?a2)x2?(1?2ab)x?(1?b2)

x?x?1?ax?b

2

要使上式极限存在，则1－a=0,当1－a2=0时，

2

1?b2

?(1?2ab)?2

?(1?2ab)x?(1?b2)?(1?2ab)上式?lim?lim?x??x??1?a11bx2?x?1?ax?b??1??a

xx2x

?(1?2ab)

由已知得?0

1?a

?1?a2?0?a?1

??

∴??(1?2ab)解得?1

b???0??2??1?a

［例2］设数列a1,a2,…,an,…的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1－ban－且b≠－1.

(1)求an和an－1的关系式；

(2)写出用n和b表示an的表达式；(3)当0＜b＜1时，求极限limSn.

n??

1

,其中b是与n无关的常数，

(1?b)n

命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n项和Sn等有紧凑的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n项和Sn再求极限，此题考察学生的综合能力.属★★★★★级题目.

知识依托：解答此题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.

错解分析：此题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n=1与n=2时的式子不统一性.技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻觅规律.

11b

?解：(1)an=Sn－Sn－1=－b(an－an－1)－=－b(a－a(n≥2)－1)+nn

(1?b)n(1?b)n?1(1?b)n

解得an=

bb

an?1?(n≥2)1?b(1?b)n?1

(2)?a1?S1?1?ba1?

1b

,?a1?1?b(1?b)2

bbb1b2b2?b

?an?[an?2?]??()an?2?

1?b1?b1?b(1?b)n(1?b)n?1(1?b)n?1b2bbb?b2b2b?b2?b3

?()[an?3?]??()an?3?,?1?b1?b1?b(1?b)n?1(1?b)n?1(1?b)n?1bn?1b?b2?b3???bn?1由此猜想an?()a1?

1?b(1?b)n?1把a1?

b

代入上式得2

(1?b)

?b?bn?1

(b?1)2n?n?1

b?b???b?(1?b)(1?b)an???

(1?b)n?1

?n(b?1)??2n?11b?bn?111b(b?bn?1)1n?1

(3)Sn?1?ban??1?b???1??()(b?1),nn?1nn

1?b1?b(1?b)(1?b)(1?b)(1?b)(1?b)

?0?b?1时,limbn?0,lim(

n??

n??

1n

)?0,?limSn?1.

n??1?b

●锦囊妙计

1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.

学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限.

2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的状况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限.

3.注意在平日学习中积累一些方法和技巧，如：

(?1)n

?0,liman?0(|a|?1)lim

n??n??n

?a0

?b,当k?l时0

a0xk?a1xk?1???ak??

??0,当k?l时limll?1

n??b0x?b1x???b1

?不存在,当k?l时???

●歼灭难点训练一、选择题

111????)等于()

n??a1a2an

A.2B.0C.1D.－1

a?cn

)的值是()2.(★★★★)若三数a,1,c成等差数列且a2,1,c2又成等比数列，则lim(2

2

n??a?c

A.0B.1C.0或1D.不存在二、填空题

1.(★★★★)an是(1+x)n展开式中含x2的项的系数，则lim(3.(★★★★)lim(x?x?x?x)=_________.

n???

4.(★★★★)若lim(a2n2?n?1?nb)=1,则ab的值是_________.

n??

三、解答题

5.(★★★★★)在数列{an}中，已知a1=－

33111,a2=,且数列{an+1－an}是公比为的等比数列，数列{lg(an+15210010

1

an}是公差为－1的等差数列.2

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)Sn=a1+a2+…+an(n≥1),求limSn.

n??

6.(★★★★)设f(x)是x的三次多项式，已知lim

f(x)f(x)f(x)

=1,试求lim的值.(a为非零常数).?lim

n?2ax?2an?4ax?4an??x?3a

7.(★★★★)已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列，公式分别为p、q,其中p＞q,且p≠1,q≠1,设S

cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求limn的值.

n??Sn?1

8.(★★★★★)已知数列{an}是公差为d的等差数列，d≠0且a1=0,bn=2an(n∈N*),Sn是{bn}的前n项和，Tn=(n∈N*).

(1)求{Tn}的通项公式；(2)当d＞0时，求limTn.

n??

Sn

bn

参考答案

歼灭难点训练一、1.解析：an?C2n?

n(n?1)111

,??2(?)，2ann?1n

1111

????)?lim2(1?)?2

n??a1n??a2ann答案：A

?a?c?2?a?c?2?a?c?2

2.解析：?22,得?2或?222

?ac?1?a?c?2?a?c?6

答案：C?lim(

二、3.解析：lim(x?x?x?x)?lim

x???

x?x?x?xx?x?x?x

?

?lim

x???

1x1?x

1?.21

3

x2

x???

1??

答案：

12

a2(2n2?n?1)?n2b2a2n?n?1?nb

2

n??

4.解析：原式=lim?lim

n??

(2a2?b2)n2?a2n?a2

a2n?n?1?nb

2

?1

22??2a?b?0?a?22????∴a·b=82答案：82

b?4???2?b?1

11331

三、5.解：(1)由{an+1－an}是公比为的等比数列，且a1=,a2=,

2510100

111131311n-111n?1

∴an+1－an=(a2－a1)()n-1=(－×)()=()?n?1,

422210101005102

11

∴an+1=an+n?1①

210

113113

又由数列{lg(an+1－an)}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a2－a1)=lg(－×)=－2,

22100251

∴其通项lg(an+1－an)=－2+(n－1)(－1)=－(n+1),

2

11－－

∴an+1－an=10(n+1),即an+1=an+10(n+1)②

22

511n+1

①②联立解得an=［()n+1－()］

2210

11

()2()2nnn

511511

(2)Sn=ak?[()k?1?()k?1]?limSn?[?]?

11n??292210k?1k?1k?11?1?210

f(x)

6.解：由于lim=1，可知，f(2a)=0①

x?2ax?2a

同理f(4a)=0②

由①②可知f(x)必含有(x－2a)与(x－4a)的因式，由于f(x)是x的三次多项式，故可设f(x)=A(x－2a)(x－4a)(x－C),这里A、C均为待定的常数，

f(x)A(x?2a)(x?4a)(x?C)

由lim?1,即lim?limA(x?4a)(x?C)?1,x?2ax?2ax?2ax?2ax?2a

2

得A(2a?4a)(2a?C)?1,即4aA－2aCA=－1③

???

f(x)

=1,得A(4a－2a)(4a－C)=1,即8a2A－2aCA=1

x?4ax?4a

11

由③④得C=3a,A=2,因而f(x)=2(x－2a)(x－4a)(x－3a),

2a2a

同理，由于lim

④

?lim

f(x)111

?lim2(x?2a)(x?4a)?2?a?(?a)??

x?3ax?3ax?3a2a22a

a1(1?pn)b1(1?qn)7.解:Sn??

1?p1?qSn

Sn?1

a1(1?pn)b1(1?qn)

?nn

a(1?q)?b(1?p)?a(1?q)p?b(1?p)q1?p1?q111

??1

n?1n?1n?1

a1(1?p)b1(1?q)a1(1?q)?b1(1?p)?a1(1?q)p?b1(1?p)qn?1

?

1?p1?q

?

由数列{an}、{bn}都是由正数组成的等比数列，知p＞0,q＞0

a1(1?q)?b1(1?p)?a1(1?q)pn?b1(1?p)qnSnpn

当p?1时lim?limn?1

n??Sn??a(1?q)?b(1?p)?a(1?q)p?b1(1?p)qn?1n?1111

pn

a1(1?q)?b1(1?p)qn

?a(1?q)?b(1?p)()11

0?a1(1?q)?0ppn

?lim??p.

11qn?11n??a1(1?q)?b1(1?p)

0?a1(1?q)?0?a1(1?q)?b1(1?p)()n?1

ppppp

当p＜1时,q＜1,limpn?limpn?1?limqn?limqn?1?0

n??

n??

n??

n??

?lim

Sn

?1

n??Sn?1

－1)

d

－1)

d

8.解：(1)an=(n－1)d,bn=2an=2(n

Sn=b1+b2+b3+…+bn=20+2d+22d+…+2(n

1?(2d)n

dSn1?2nd1?(2d)nd?(n?1)d?(n?1)d由d≠0,2≠1,∴Sn=∴Tn=d

bn22?2nd1?2

(2)当d＞0时，2d＞1

1

nd

d

n

d

n

1?21?(2)0?12d(2)

?limTn?lim(n?1)d?limdn?1?lim??dnddn

11n??n??2n??(2)n???2?(2)2?1?1?12d2d

?1

篇三：高中数学教案——数列极限的运算法则.doc

数列极限的运算法则（5月3日）

教学目标：把握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。教学重点：运用数列极限的运算法则求极限教学难点：数列极限法则的运用教学过程：一、复习引入：

函数极限的运算法则：假使limf(x)?A,limg(x)?B,则lim?f(x)?g(x)

x?x0

x?x0

x?x0

??＿＿＿

x?x0

lim?f(x).g(x)??＿＿＿＿，lim

x?x0

f(x)

?＿＿＿＿（B?0）g(x)

二、新授课：

数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似：假使liman?A,limbn?B,那么

n??

n??

lim(an?bn)?A?Blim(an?bn)?A?B

n??

n??

lim(an.bn)?A.Blim

n??

anA

?(B?0)

n??bBn

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的状况。例如，若?an

．．

则：lim(an?bn?cn)?liman?limbn?limcn

n??

n??

n??

n??

?，?bn?，?cn?有极限，

特别地，假使C是常数，那么二.例题：

lim(C.an)?limC.liman?CA

n??

n??

n??

例1.已知liman?5,limbn?3，求lim(3an?4bn).

n??

n??n??

例2.求以下极限：（1）lim(5?

n??

41

)；（2）lim(?1)2

n??nn

例3.求以下有限：（1）lim

2n?1n

（2）lim2

n??3n?1n??n?1

分析：（1）（2）当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，

上面的极限运算法则不能直接运用。

例4.求以下极限：（1）lim(

n??

3572n?1

?????)2222

n?1n?1n?1n?1

1?2?4???2n?1

)（2）lim(

n??1?3?9???3n?1

说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。

3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。

小结：在数列的极限都是存在的前提下