广东省汕尾市高一下学期3月月考数学试题（解析版）

第19页/共19页汕尾市下学期高一年级3月考数学试卷一､选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义即可求解．【详解】因为，，所以，故选：A．2.已知，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】由题得.故选：A3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递增；最小正周期为，在区间上单调递减；故选：A【点睛】本题考查函数周期以及单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4.函数的奇偶性是（）A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数，又是偶函数 D.非奇非偶函数【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性定义判断．【详解】函数定义域是，，∴是奇函数．故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题基础，5.已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数的等式，解之即可.【详解】因为与共线，则存在，使得，即，因为向量、不共线，则，整理可得，即，解得或.故选：C.6.下列命题：①若，则；②若，，则；③的充要条件是且；④若，，则；⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④.【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；对于②，若，，则，②对；对于③，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；对于④，取，则、不一定共线，④错；对于⑤，若、、、是不共线的四点，当时，则且，此时，四边形为平行四边形，当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.故选：A.7.如图所示，已知正方形的边长为，，则向量的模为（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根据图象以及向量模的运算求得正确答案.【详解】由题意，可知，所以.故选：B.8.函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由周期求得，由点的坐标求得（要注意的范围）．【详解】由题意，，，，∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查由函数图象求函数解析式，掌握五点法解题关键．二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（多选）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（）A B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】先将化简，进而根据平面向量的定义判断答案.【详解】由题意，，易知A,C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误.故选：AC.10.要得到函数的图象，可以将函数的图象（）得到.A.先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位B.先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位C.先将各点横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位D.先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.【详解】，（1）函数的图象，将各点横坐标变为原来的倍，得到，再向左平移个单位得到，A选项正确，B选项错误;（2）函数的图象，将各点横坐标变为原来的倍，得到，再右平移个单位得到，C选项正确;（3）函数的图象，向左平移个单位，得到，将各点横坐标变为原来的倍得到，D选项正确.故选：ACD11.已知函数，且，下列结论正确的是（）A. B.C. D.的最小值为8【答案】AB【解析】【分析】根据对数函数的知识求得的关系式，结合基本不等式求得正确答案.【详解】依题意函数，且，所以，其中，所以C选项错误.A选项，，A选项正确.B选项，，B选项正确.D选项，由于，所以，则表示曲线图象上的点，表示曲线图象上的点与点的距离的平方，函数在区间上单调递减，由得，即，解得，，即直线与曲线相切，如图所示，所以，所以D选项错误.故选：AB

12.下列论断中，正确的有（）A.中，若为钝角，则B.若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函数C.若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象也关于直线对称D.向量、、满足，则或【答案】BC【解析】【分析】利用正弦函数的单调性结合诱导公式、不等式的基本性质可判断A选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用反函数的性质可判断C选项；由可得出，结合平面向量垂直的等价条件可判断D选项.【详解】对于A选项，中，若为钝角，则、均为锐角，所以，，则，因为正弦函数在上为增函数，则，同理可得，所以，，A错；对于B选项，若奇函数对定义域内任意都有，则，故，所以，为周期函数，B对；对于C选项，在函数上任取一点，则，因为函数与的图象关于直线对称，则，即，所以，点在函数的图象上，且点、关于直线对称，所以，函数与的图象也关于直线对称，C对；对于D选项，向量、、满足，则，所以，或或，D错.故选：BC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量满足，则与的夹角为__________.【答案】##【解析】【分析】设与的夹角为，化简即得解.【详解】设与的夹角为，.所以与的夹角为.故答案为：14.函数的最大值为__________.【答案】##1.25【解析】【分析】由同角三角函数平方关系得,令，根据二次函数的最值，可得答案.【详解】由已知得,令，则，当时，函数有最大值为.故答案为：15.已知，，，，则______.【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦公式即可得结果.【详解】因为，，所以，由，，可得，，所以.故答案为：.16.已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】结合二次函数的性质，以及对称轴为x＝2，f（2）＝1，f（0）＝f（4）＝5，分析可得解【详解】函数

则对称轴为x＝2，f（2）＝1，f（0）＝f（4）＝5

又∵函数在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1

∴m的取值为[2，4]；故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知平面上三个向量的模均为1，它们相互之间的夹角均为.（1）求；（2）求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）平方后根据向量的运算性质及数量积定义即可得解；（2）结合数量积的运算律计算即可.【小问1详解】向量的模均为1，它们相互之间的夹角均为，.【小问2详解】向量的模均为1，它们相互之间的夹角均为，，18.已知函数f(x)是一次函数，且满足f(x-1)+f(x)=2x-1（1）求f(x)的解析式（2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设一次函数，由条件得，列方程即可得解；（2）判断在上单调递减，再利用函数单调性定义任取且，证明即可.【详解】（1）设一次函数，由，可得，整理得，所以，解得，所以；（2）.可判断在上单调递减，证明如下：任取且，则，因为，所以，，所以，即，所以函数是上的单调减函数.19.已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）若关于的方程在上有唯一解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)整理函数的解析式可得，据此可得函数的单调递减区间为.(2)由题意可得，结合(1)中的函数解析式可知有唯一解，的值域为,故.【小问1详解】，函数的单调递减区间满足：，解得的单调递减区间为.【小问2详解】，所以，在上有唯一解，，或，所以有唯一解,的值域为.所以，即.20.对于实数、，定义，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根、、，若，求的取值范围.【答案】【解析】【分析】化简得出函数的解析式，作出函数的图象，可知当时，直线与函数的图象有三个交点，分析可知、为方程的两个不等的实根，由韦达定理可得，根据可解得的取值范围，进而可求得的取值范围.【详解】当时，即当时，；当时，即当时，.，作出函数的图象如下图所示：因为，则、为方程的两个不等的实根，即、为方程的两个不等的实根，所以，，由图象可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，由，可得，，解得，所以，.因此，的取值范围是.21.如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.【答案】时，矩形的面积，最大面积为【解析】【分析】由题意可得，，从而可得矩形的面积为，再由可得，由此可得时，取得最大值【详解】在中，，，在中，，所以，所以，设矩形的面积为，则，由，得，所以当，即时，，因此，当时，矩形的面积，最大面积为，【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形的面积表示为，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题22.对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”．（1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由；（2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围；（3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由．【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析；（2）；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断