2020年北京朝阳区中考数学模拟试卷

中考数学模拟试卷题号 4总分得分一、填空题(本大题共6小题，共30.0分).如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是边BC的中点，点P在边AD上，设DP=x,若以点D为圆心,DP为半径的。D与线段AE只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是 ..如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，EF1AC于点F.若tanzBAC=2,EF=1,则AE的长为..如图，曲线AB是抛物线y=-4x2+8x+1的一部分(其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点)，曲线BC是双曲线y=(k手0的一部分.曲线AB与BC组成图形W.由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”.若点P(2020,m),Q(x,n)在该“波浪线”上，则m的值为,n的最大值为.4.将矩形纸片ABCD按如下步骤进行操作:(1)如图1,先将纸片对折，使BC和AD重合，得到折痕EF；(2)如图2,再将纸片分别沿EC,BD所在直线翻折，折痕EC和BD相交于点O.那么点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是 ..已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线尸x2-4x+6上运动，过点A作AC1x轴于点C,以AC为对角线作正方形ABCD.则正方形的边长AB的最小值是 .第1页，共17页.我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3,那么这个等腰三角形底角的余弦值等于•二、解答题(本大题共9小题，共70.0分).下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程.已知：OO及OO外一点p.求作：直线PA和直线PB，使PA切OO于点A,PB切OO于点B.作法：如图，①连接OP，分别以点o和点P为圆心，大于Op的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M,N；②连接MN,交OP于点。，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交OO于点A和点B；③作直线PA和直线PB.所以直线PA和PB就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明.证明：•••OP是OQ的直径，azOAP=乙OBP=°()(填推理的依据).:.PA1OA,PB1OB.•OA,OB为OO的半径，第2页，共17页.计算：|-v：+.」)二川；(注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G包含边界.)②当图象G内只有3个整数点时，直接写出。的取值范围..如图，AB是。O的直径，BC交。O于点D,E是「二的中点，连接AE交BC于点F,aACB=2zEAB.(1)求证：AC是OO的切线；(2)若cosC=।,AC=8,求BF的长.第3页，共17页

.如图，Rt△ABC中，乙C=90°.BE平分zABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF1BC交BC的延长线于点F.请补全图形后完成下面的问题：(1)求证：EF是^ABC外接圆的切线；(2)若BC=5,sinzABC=；,求EF的长..如图，点P是,，.上一动点，连接AP，作ZAPC=45°,交弦AB于点C.AB=6cm.小元根据学习函数的经验，分别对线段AP,PC,AC的长度进行了测量.下面是小元的探究过程，请补充完整：(1)下表是点P是；上的不同位置，画图、测量，得到线段AP,PC,AC长度的几组值，如表:AP/cm01.002.003.004.005.006.00PC/cm01.212.092.69m2.820AC/cm00.871.572.202.833.616.00①经测量m的值是(保留一位小数).②在AP,PC,AC的长度这三个量中，确定 的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xQy中，画出(1)中所确定的函数图象；第4页，共17页

(3)结合函数图象，解决问题：/AC?为等腰三角形时，AP的长度约为cm(保留一位小数)..函数产%2-(m-1)X+1的图象的对称轴为直线％=1.(1)求m的值；(2)将函数尸%2-(m-1)%+1的图象向右平移2个单位，得到新的函数图象G.①直接写出函数图象G的表达式；②设直线尸-2%+21(t>m)与%轴交于点A,与y轴交于点B，当线段AB与图象G只有一个公共点时，直接写出t的取值范围..已知等边△ABC,点D为BC上一点，连接AD.(1)若点E是AC上一点，且CE=BD,连接BE,BE与AD的交点为点P，在图(1)中根据题意补全图形，直接写出ZAPE的大小；(2)将AD绕点A逆时针旋转120°,得到AE连接BF交AC于点。，在图(2)中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明.第5页，共17页.对于平面直角坐标系xQy中的图形M,N,给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形MnN的“近距离”，记作d(M,N).若图形M,N的“近距离”小于或等于1,则称图形M,N互为“可及图形”.(1)当OO的半径为2时，①如果点A(0,1),B(3,4),那么d(A,OO)=,d(B,OO)=；②如果直线尸x+b与OO互为“可及图形”，求b的取值范围；OG的圆心6在x轴上，半径为1,直线尸x+5与x轴交于点。，与y轴交于点D，如果OG和NCDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围.第6页，共17页

答案和解析.【答案】％=.-或答案和解析.【答案】％=.-或5<x<6【解析】解：如图，当OD与AE相切时，设切点为G,连接DG,•:PD=DG=x,AP=6-x,•:乙DAG=aAEB,aAGD=ZB=90°,.•.△AGDfeBA,.7^=而，6x24 B ex=.-，当OD过点E时，如图4,OD与线段有两个公共点，连接DE,此时PD=DE=5,・•・当以D为圆心，DP为半径的OD与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x=】或5<x<6；故答案为：x=：/5<x<6.首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围.本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质.特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外.2.【答案】）【解析】解：•••在矩形ABCD中，乙B=90°,tanzBAC=2•••AD=BC,CD=AB,CD_i.二,•••tanzEAF=],:EF=1,AAF=2,.AE=..!：-+=<-=.jJ—1-=,S,故答案为：“i，.根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论.本题考查了矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键..【答案】15第7页，共17页【解析】解：；y=-4x2+8%+1=-4(%-1)2+5,.••当％=0时，y=1,.••点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(1,5)•・•点B(1,5)在y= (k手0的图象上k=5点C在y=的图象上，点C的横坐标为5,.••点C的纵坐标是1,.••点C的坐标为(5,1),••2020+5=404,P(2020,m)在抛物线y=-4x2+8%+1的图象上，m=-4x0+8x0+1=1,•点Q(x,n)在该“波浪线”上，•.n的最大值是5,故答案为：1,5.根据题意可以求得点4、点B、点C的坐标和k的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从而可以求得m的值和n的最大值.本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答..【答案】.【解析】解：由折叠的性质得到BE='AB,••四边形ABCD是矩形，^•^AB=CD,△BOEfDOC,.•.△BOE与^DOC的相似比是:，•••点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是:故答案为：：.根据折叠的性质得到BE='AB，根据矩形的性质得到AB=CD,△BOE八DOC,再根据相似三角形的性质即可求解.本题考查了翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，综合性强，还考查了操作、推理、探究等能力，是一道好题.5•【答案】＜2【解析】解：:•四边形ABCD是正方形，^■^AB=ACC,;y=%2-4X+6=(x-2)2+2,.•.当X=2时，AC有最小值2,即正方形的边长AB的最小值是「.故答案为：•「.第8页，共17页根据正方形的性质得到AB=AiC,再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB的最小时，即AC的值最小.本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便.6.【答案】।或「【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值.根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值.【解答】解：设等腰三角形的底边长为。，15-a1=3,解得，a=2或a=8,当a=2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：:当a=8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：二故答案为-或-..【答案】90直径所对的圆周角是直角【解析】解：(1)补全图形如图.(2)完成下面的证明.证明：•••OP是。Q的直径，azOAP=zOBP=90°(直径所对的圆周角是直角)，:.PA1OA,PB1OB.•OA,OB为OO的半径，・•.PA,PB是OO的切线.故答案为90,直径所对的圆周角是直角.(1)根据要求画出图形即可.(2)利用圆周角定理证明zOAP=zOBP=90°即可.本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，圆周角定理，切线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.第9页，共17页

.【答案】解：|•'；I/I上工”=■■=-\.+'+1+1二二一,：【解析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.正确化简各数是解题关键..【答案】3【解析】解：(1)；A(1,1),:.k=1.1♦/=；'：I'..2(2)①当e-1时，直线解析式为y=-%+3,如图所示，图象G上的整点有(1,1),(2,1),(1,2)有3个；故答案为3；②当直线经过(3,1)时，则-3。+3=1,解得许-.’,观察图象可知：当图象G内只有3个整数点时，。的取值范围是-1一］-.(1)根据待定系数法求得即可；(2)①画出直线j=-%+3,根据图象可得整点的个数；②画图计算边界时点。的值，可得。的取值.本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想..【答案】(1)证明：如图①，连接AD.A-Wo1第10页，共17页

图①VE是E是「二的中点，c_・•・・•・..」•.；:.乙DAE=乙EAB.,:乙C=2/EAB,:.乙C=/BAD.vAB是。O的直径，••/ADB=/ADC=90°:./C+/CAD=90°,/BAD+/CAD=90°即BALAC.AC是OO的切线.(2)解：如图②，过点F做FHLAB于点H.I3图②ADLBD,/DAE=/EAB,:.FH=FD,且FH||AC.在Rt△ADC中，vcosC=i，AC=8,CD=6.同理，在Rt△BAC中，可求得BC=；设DF=北贝UFH=羽BF=..-%•JFHIIAC,/BFH=/C.FH3cos/BFH=.=।、3即=1解得％=2.BF=：.【解析】(1)如图①，连接AD.根据直径所对的圆周角为直角及同圆中等弧所对的圆周角相等，及/ACB=2/EAB.求得/BAD+/CAD=90°,则BALAC,根据切线的判定定理可得证；(2)如图②，过点F做FHLAB于点H，先在Rt△ADC和Rt△BAC中，分别求得CD、第11页，共17页

BC、B。.再在Rt△BFH中，由三角函数可求得FH及OF,则可用BD的值减去DF的值，求得BF.本题考查了圆的切线的判定定理及三角函数在线段求值中的应用，熟练掌握相关定理及相似或三角函数的计算技巧，是解题的关键..【答案】（1）证明：补全图形如图所示，,:△ABC是直角三角形，•.△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点.连接OE,：.OE=OB.az2=z3,:BE平分ZABC,az1=z2,az1=z3.：.OE||BF.,:EF1BF,:.EF1OE,:EF是"BC外接圆的切线；（2）解：在Rt△ABC中，BC=5,sinzABC=；,二~=」,:AC2+BC2=AB2,:.AC=12.LACF=zCFE=zFEH=90°,•・四边形CFEH是矩形.:.EF=HC,乙EHC=90°....EF=HC='AC=6.【解析】（1）根据已知条件得到△ABC的外接圆圆4O是斜边AB的中点.连接OE,根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到N1=/3.求得OE|BF.于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到।；=:.根据勾股定理得到AC=12.根据矩形的性质即可no1.4得到结论.本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，切线的判定，正确的画出图形是解题的关键..【答案】APPCAC【解析】解：（1）①经测量：m=3.0；②在AP,PC,AC的长度这三个量中，可以确定AP的长度是自变量，PC的长度和的AC长度都是这个自变量的函数；故答案为：AP,PC,AC；（答案不唯一）（2）设AP为％,AC为y],PC为y2,通过描点，画出图象如图1所示：（答案不唯一，和（1）问相对应）；第12页，共17页

(3)①当AC=PC时，即：y尸y2,从图象可以看出：X=4.2cm；②当AP=PC时，画出函数：y=x的图象，如图2所示:第13页第13页共17页y=x的图象与y1的交点处x的为2.3cm；.•.当^ACP为等腰三角形时，AP的长度约为4.2cm或2.3cm.(1)测量即可；(2)通过描点，画出如下图象；(3)分AC=PC、AP=PC两种情况，分别求解即可.本题为圆的综合题，主要是研究函数y随自变量x的变化而变化的规律，此类题目，主要通过画出函数图象，根据题设条件，找出图象对应的点的值即可..【答案】解：(1)•.•函数y=x2-(m-1)x+1的图象的对称轴为直线X=1...=1,m=3.•・函数的表达式为y=x2-2x+1；(2)①将函数y=X2-(m-1)x+1的图象向右平移2个单位，得到新的函数图象G为y=(X-3)2；②・••直线y=-2x+21(t>m)与x轴交于点A,

与y轴交于点B,A（t,0）,B（0,21）,••・新的函数图象G的顶点为（3,0）,与y的交点为（0,9）,.•・当线段AB与图象G只有一个公共点时，21>9,解得t>',由（％-3）2=-2%+21整理得％2-4x+9-21=0,则△TGd（9-21）=0,解得t三故t的取值范围是t>；或t=:【解析】（1）根据对称轴方程即可求得;（2）①根据平移的规律即可求得；②根据二次函数的性质以及一次函数的性质，结合图象即可求得.本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象性质，数形结合求抛物线与线段的交点问题是解题关键.Si14.【答案】（1）补全图形图1,Si证明：在^ABD和^证明：在^ABD和^BEC中，£用旧口=乙匚=60°

BD-CE.•.△ABD=△BEC(SAS).••/BAD=ZCBE.LAPE是^ABP的一个外角，；."PE=ZBAD+ZABP=ZCBE+LABP=lABC=60°；(2)补全图形图2,•%='：.:..1,证明：在^ABD和^BEC中，:.△ABD以BEC(SAS).••/BAD=ZCBE,LAPE是^ABP的一个外角，：.LAPE=LBAD+LABP=LCBE+LABP=lABC=60°.AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，,:LAPE=60°,：.3E+ZDAP=180°.AF||BE,.•Z1=z2,:LAPE=60°,：.3E+ZDAP=180°.AF||BE,.•Z1=z2,...AD=BE....AF=BE.第14页，共17页

j=Z.2在^AQF和^EQB中，:乙工;二胃；*△AQF必EQB(AAS),・•・AQ=QE,，,:AE=AC-CE,CD=BC-BD,且AE=BC,CD=BD.:.AE=CD,：：.:「.【解析】(1)根据全等三角形性质和三角形外角的性质即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得到上BAD=乙CBE，根据三角形的外角的性质得到AAPE=乙BAD+AABP=乙CBE+AABP=^ABC=60°.根据旋转的性质得至UAF=AD,乙DAF=1