《高等数学》专升本考试内容复习

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第一章一元函数微分学

1．理解函数概念，知道函数的表示法；理解函数的两要素，会求函数的定义域．

①定义：设x和y是两个变量，D?R，若?x?D，变量y按一定的规则有一个确定的值与之对应，则称y是x的函数，记为y?f(x)．

②表示法：1）显式表示y?f(x)；2）隐式表示F(x,y)?0；3）分段函数表示；4）参数方程表示；5）表格表示法或图形表示法．

③两要素：对应规则和定义域，只有这两者都一致才是同一函数．④定义域：x的允许取值范围即自然定义域．⑤特别函数：1）绝对值函数y?x?x2；2）符号函数y?sgnx；3）取整函数y??x?．

2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性等定义．

①奇偶性：设函数y?f(x)的定义域D是关于原点对称的，若?x?D，都有f(?x)??f(x)（f(?x)?f(x)），则称函数f(x)为奇函数（偶函数）．

偶函数的图形是关于y轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的．

②单调性：设函数y?f(x)在区间I上有定义（I是函数的定义域或者是定义域的一部分）．假使对于任意的x1,x2?I,当x1?x2时,都有f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(x2)?，则称函数y?f(x)在区间I上单调增加（单调减少）．

③周期性：对于函数f(x)，假使存在一个非零正常数T，对定义域内的一切x均有

f(x?T)?f(x，则称函数)f(x)为周期函数．并把T称为f(x)的周期．应当指出的是，寻常讲的周

期函数的周期是指最小的正周期．

④有界性：若有正数M存在，使函数f(x)在区间I上恒有f?x??M，则称f(x)在区间I上是有界函数；否则，称f(x)在区间I上是无界函数．

3．了解复合函数与反函数的定义．

①复合函数：若y?f?u?u???x?，当??x?的值域落在f?u?的定义域内时称函数y?f???x??是由中间变量u复合而成的复合函数．

②反函数：设函数的定义域为Df，值域为Vf．对于任意的y?Vf，在Df上至少可以确定一个x与y对应，且满足y?f?x?．假使把y看作自变量，x看作因变量，就可以得到一个新的函数：

x?f?1?y?．我们称这个新的函数x?f?1?y?为函数y?f?x?的反函数，而把函数y?f?x?称为直

-1-

接函数．直接函数y?f?x?与反函数y?f?1?x?的图形是关于直线y?x对称的．

4．知道基本初等函数的性质与图象．

①幂函数y?xa?a?R?

它的定义域和值域依a的取值不同而不同，但是无论a取何值，幂函数在x??0,???内总有定义．当

a?N或a?1，n?N时，定义域为R．2n?1②指数函数y?ax?a?0，a?1?

它的定义域为???，???，值域为?0，???．指数函数的图形如图1-2所示．③对数函数y?logax?a?0，a?1?．对数函数y?logax是指数函数y?ax的反函数．其

图形见图1-3．定义域为?0，???，值域为???，???．

在工程中，常以无理数e＝2.718281828?作为指数函数和对数函数的底，并且记

ex?expx，logex?lnx，而后者称为自然对数函数．

图1-2

图1-3

④三角函数：正弦函数y?sinx、余弦函数y?cosx、正切函数y?tanx、余切函数y?cotx、正割函数y?secx和余割函数y?cscx．

⑤反三角函数：反三角函数主要包括反正弦函数y?arcsinx、反余弦函数y?arccosx、反正切函数y?arctanx和反余切函数y?arccotx等．

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这六类函数叫做基本初等函数．这些函数在中学的数学课程里已经学过．

寻常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数．

例如，y?ln?sinx?4?，y?e2xsin?3x?1?，y?3sinx，?都是初等函数．初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到．例如符号函数y?sgnx，取整函数

-2-

y??x?等分段函数就是非初等函数．

在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的．

例1-1把以下复合函数分解为基本初等函数：1）y?cot2）y?2sin2xx?y?u,u?cotv,v?．22(x?lnx)?y?2u,u?v2,v?sinw,w?x?lnx．

3）y?3sinx?y?3u,u?sinv,v?x2．4）y?cosx?y?cosu,u?v,v?x2．5）y?arcsine3x2?y?arcsinu,u?ev,v?3x．

5．了解各类极限概念，熟练把握求各类极限的方法．

①定义1limf?x??A????0,???0,当0?x?x0??时，有f?x??A??．

x?x0左极限：limf?x??A????0,???0,当x0???x?x0时，有f?x??A??．?x?x0右极限：limf?x??A????0,???0,当x0?x?x0??时，有f?x??A??．?x?x0当x?x0时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等．

②定义2limf?x??A????0,?X?0,当x?X时，有f?x??A??．

x??③函数极限的性质

1）唯一性：假使limf?x??A存在，那么这极限唯一．

x?x02）局部有界性：假使limf?x??A存在，那么存在常数M?0和??0，使得当0?x?x0??x?x0时，有f(x)?M．

3）局部保号性：假使limf?x??A，而且A?0（或A?0），那么就存在着点x0的某一去心邻

x?x0域，当x在该邻域内时，就有f?x??0（或f?x??0）．

4）函数极限与数列极限的关系：假使limf?x?存在，{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0x?x0的数列，且满足：那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且limf?xn??limf?x?．xn?x0(n?N?)，

n??x?x0④极限运算法则和准则

-3-

1）四则运算法则：假使limf?x??A，则mlimg?x??B，il?f?x??g?x??、limf(x)g(x)、limf(x)g(x)存在，且lim??f?x??g?x????limf?x??limg?x??A?B；limf?x?g?x??limf?x??limg?x??AB；

limf?x?limf?x?A???B?0?．g?x?limg?x?B2）夹逼准则：假使数列?xn??（1）yn?xn?zn、yn?及?zn?满足以下条件：

?n?1，（2）2，3...?，

limyn?a，limzn?a，那么数列?xn?的极限存在，且limxn?a．

n??n??n??3）单调有界准则：单调有界数列必有极限．⑤无穷小及阶的比较：

1）定义：当在给定的x?＊下，f?x?以零为极限，则称f?x?是x?＊下的无穷小量；2）无穷小量的性质

性质1两个无穷小量之和仍为无穷小量．

性质2有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量．（注：常用此性质求极限）性质3两个无穷小量之积仍为无穷小量．性质4若f(x)为无穷大量，则其倒数

1为无穷小量；若f(x)为无穷小量，且f(x)?0，则f(x)其倒数

1为无穷大量．f(x)x?x0(?)A?fx(?)A??，其中?为当x?x0时的无穷小量．性质5limfx3）无穷小量阶的比较：设变量?、?都是自变量x在同一变化过程中的两个无穷小量，

??0，就说?是比?高阶的无穷小，记作??????；??假使lim??，就说?是比?低阶的无穷小；

??假使lim?c?0，就说?是和?同阶无穷小；

??假使limk?c?0，k?0，就说?是关于?的k阶无穷小；

??假使lim?1，就说?与?是等价无穷小，记作?~?．

?假使limx2（几个常用等价关系式：x?0时①sinx∽x;②tanx∽x;③1?cosx∽;④arcsinx∽x;⑤arctanx

2?∽x;⑥e?1∽x;⑦ln(1+x)∽x;⑧(1?x)?1∽?x.一定要记住这几个无穷小等价关系式）

x-4-

2)nis(nis)(B)1xC1(x1n()l3)??xD?例1-2（1）x→0时，与x等价的无穷小量是（C）．(Ax1xx?

（2）??1?cosx,??2x2,则x?0时(B)．

(A)α∽β(B)α与β为同阶无穷小(C)???(?)(D)???(?)

（3）以下无穷小中，在x→0时是同阶无穷小的是（B）．

(A)3x2?x4与x(B)3x2?x4与x2(C)3x2?x4与x3(D)3x2?x4与x4

（4）在x→0时，以下函数与x相比是高阶无穷小的是（D）．

(A)sinx(B)x?2(C)x(D)1?cosx

（5）在x→0时，f(x)??sinx0sint2dt与g(x)?x3?x4比较是（B）的无穷小．

1．6(A)等价(B)同阶非等价(C)高阶(D)低阶

（6）当x→0时，f(x)?x?sinax与g(x)?x2ln(1?bx)是等价无穷小，则a?1,b??⑥求极限的方法（※为重点考试方法）1）代入法（用极限法则或连续函数的定义）：

例1-3①lim(2x?1)?2?3?1?5．

x?317?22x?x?7xx?1．2）化无穷大为无穷小法：②lim2?limx??2x?x?4x??142??2xx22?x2?9?lim?x?3??6．3）消去零因子法：③limx?3x?3x?34）分子（或分母）有理化法：④limx????x2?1?x?lim?1x?1?x2x????0．

⑤limx?2x2?5?32x?1?5??limx?2?x2?5?32x?1???2x?1?5?

5??2x?1?5??x?5?3?x2?5?32???limx?2(x2?4)(2x?1?5)(2x?4)(x2?5?3)?limx?2(x?2)(2x?1?5)2(x2?5?3)?25．3※5）用无穷小性质求：⑥limsinx1?lim?sinx?0（无穷小量乘有界量为无穷小）．

x??x??xx⑦limxarctan?x?1?x?lim?arctan(x?1)?0．

x??x??3x2?x?13x2?x?1-5-

1?1?x1?2?2x?1?2x??e?e2．※6）用重要极限：⑧lim?（详细内容见下面第6点）?lim????3x??2x?3x??3????1??e22x??7）用极限准则：⑨lim?n??x?12?n?1?1n?22????n?1,??xn??22n?n?n?n1nn?12．

1?3x1?t21?t268）变量代换法：⑩lim．(令t?x)?lim?lim?x?11?xt?11?t3t?11?t?t23(11)lim(1?x)tanx?1??u?2????x(令1?x?u)?limutan??u??limucotu?lim?cosu?．

u?0u?0?222??22?u?0sinu2ln(1?2x)2x2?lim?；

x?0x?0sin3x3x3※9）等价无穷小代换法：(12)limx22x?2sinx?sin2x2sinx(1?cosx)(13)lim?lim?lim32?1．33x?0x?0x?0xxx代换原则：乘除可换，加减忌换．

※10）洛必达法则：详细内容见后面15页．

6．把握应用两个重要极限求极限的方法．

①limsin??x?sinxsin??1，lim?1或lim?1；两个??x?（或Δ）应当是一模一样的无穷小量．

x?0?(x)?0??0x??x??21?cos2x2sin2x2?sinx?例1-41）lim?lim?lim??x?0sin23xx?0sin23x9x?0?x?sin23xsin23x2）lim?9lim?9；22x?0x?0x(3x)3）limn?3x?2????；sin3x??92sin(x?1)sin(x?1)11?lim??．2x?1x?1x?1x?1x?12x11?1??1?②lim?1???e；lim?1?x?x?e；lim?1???e；lim?1???x???(x)?e；

?(x)?0n??x??x?0?n??x?11??lim?1???e；lim?1?????e．

??0???????成立的条件是在给定趋势下，两个??x?（或Δ）是一模一样的无穷小量；Ο是是一模一样的无穷大量．用此公式的步骤：①1识别；②先得内，再得外；③内一翻，再还原．

1ln?1?x????x?limln(1?x)x?lne?1；例1-5①lim1?2x?lim??1?2x?2x??e?2；②limx?0x?0x?0x?0x???21?-6-

??3??3?③lim?1???lim??1??x??x????x??x??2x?x3?????6?2??1??2?xe?2x????6??e；④lim???3?e．??limxx??3?xx????(?3)e???3?3?1???x?xx??(?2)2练习1-11、求以下极限（1）limln(2x?1)x?1?x?1?limlim(3?cosx)；（2）；（3）??x??x??x3?1x??x?1sinx??2x?42；（4）limx?01?tanx?1?sinx；

x(1?cosx)（5）lim4x2?x?1?x?1x2?sinx????x??????；（6）lim?1??x???x?x?k?1?x?21?xcot（7）lim；(??0,k为常数)；???x?1??1?x??1?12x（8）limx?sinln?1?x??3??1??1??lim；（9）?sinln1???????x?0x?1x????x??；（10）lim??2?x??x?02?x??1xx2?ax?b?5，求a,b．2、设lim（参考答案：a??7,b?6）

x?11?x参考答案：

1?1??1、（1）0．（2）2．（3）e．（4）．（5）1．（6）e．（7）2．（8）2．（9）e2．（10）e．

2?1

7．理解函数连续与休止的定义；知道休止点的分类；会利用连续性求极限；会判别休止点的类型．

①连续的定义：lim?y?0或limf?x??f?x0?．连续的三个条件：有定义；极限存在；极限值

?x?0x?x0等于函数值．f(x)在点x0处左连续且右连续?f(x)在点x0处连续．不连续点称为休止点．

??可去休止点：左右极限相等。?第一类休止点：左右极限都存在?②休止点：??腾跃休止点：左右极限不相等。

??其次类休止点：左右极限中至少有一个不存在：无穷与振荡休止点。③判断f(x)在点x0处连续的方法：先考察f(x)是否为基本初等函数，x0点是否为f(x)定义域内的点．假使给定函数为分段函数，且x0点又是分段点，则需利用连续的定义来判定．特别是在分段点两侧函数表达式不同的时候，函数在该点处的连续性应当用左连续、右连续判定．由于初等函数在其定义域内都是连续的，所以求函数休止点一般是考察不在函数定义域中的点，对于分段函数，则考察分段点的连续性．

④如何判断休止点：

1）考察f(x)在x0处有无定义，若f(x0)无意义，则x0为休止点；

2）如f(x0)存在，再考察limf(x)是否存在？若limf(x)不存在，则x0为休止点；

x?x0x?x0-7-

3）如limf(x)存在，最终考察其值是否等于f(x0)？若不等，则x0为休止点．

x?x0初等函数在没有定义的孤立点是休止点，分段函数的分段点可能是休止点，也可能是连续点，要具体判断，要用左右极限判定．

1?arctan,x?0????x?x?0是腾跃休止点；例1-6①f(x)??，左极限是?，右极限是，22??,x?0??2?sinx,x?0?②f(x)??x，?limf(x)?1?f(0)?x?0是可去休止点．

x?0?0,x?0?8．了解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理、零点存在定理，会应用零点存在定理证明某些具体方程有实根．

①有界性定理：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界．

②最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．

③介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)?A及

f(b)?B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点?，使得f(?)?C(a???b)．

④零点存在定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)?f(b)?0）,那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点??a???b?使f(?)?0．

零点定理往往用来判定方程f(x)?0根的存在性与根的范围．

应用此定理应注意以下几点：1）[a,b]区间的选择，在证明过程中有明确的提醒；2）验证f(x)在

[a,b]上的连续性；3）验证f(x)在两端的符号；4）此定理不能确定f(x)是否具有唯一零点，但有唯

一性要求时，应验证f(x)的单调性．

例1-7证明方程e?3x至少存在一个小于1的正根．

证明：令f(x)?e?3x，它在[0，1]上为连续函数，且f(0)=1>0,f(1)=e-3

dy1sinexx????sinv??e???ex??extanex．xdxucose??????不写出中间变量，此例可这样写：

dy1?sinexx?x?x?xx．?lncose?cose?e??etanexxdxcosecose??????????????????练习1-31、填空题

（1）设函数f(x)在x?2处可导，且f?(2)?1，则limh?0f(2?h)?f(2?h)=．

2h（2）若f?(x0)?1,f(x0)?0，则limhf?x0?h??（3）设f?(1)?1，则lim??1??=．h?f(x)?f(1)=．

x?1x2?1f(2x)?f(0)1?，则f?(0)=．（4）设limx?0x22、求以下各函数的导数

12?xcosx?x(x?1)2(x?2)3x（1）；（2）ln；（3）y?arcsinx；（4）y?sine；（5）y?；

2?xx2x?3(x?4)参考答案：

1、（1）1.（2）-1.（3）

11．（4）2414(1?sinx)x?2cosx?2x111x2、（1）?；（2）2；（3）；（4）?2ecosex；3x?4xx2x?x2(x?1)2(x?2)3?2311?（5）????x?1x?22(x?3)x?4?；

x?3(x?4)??④隐函数求导法：方程两边同时对x求导，用复合函数求导法则．隐函数求导方法小结：

（1）方程两端同时对x求导数，注意把y当作复合函数求导的中间变量来对待，（2）从求导后的方程中解出y?来．

（3）隐函数求导允许其结果中含有y．但求一点的导数时不但要把x值代进去，还要把对应的y值代进去．

例1-18求由方程e?xy?e?0所确定的隐函数y的导数

ydy．dx解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数．方程左边对x求导得

dydydye?xy?e?ey?y?x，dxdxdx??-11-

方程右边对求导得?0??0．

?dydy?y?x?0，dxdxdyyy??x?e?0．从而ydxx?e在这个结果中，分式中的y是由方程ey?xy?e?0所确定的隐函数．

由于等式两边对x的导数相等，所以ey??⑤对数求导法：先取自然对数，然后求导，用隐函数求导法．幂指函数y?u?x?适合用此法．

例1-19求y?xsinxv?x?和连乘积函数

?x?0?的导数．

解：这函数既不是幂函数也不是指数函数，寻常称为幂指函数．为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得lny?sinx?lnx；

上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得

11y??cosx?lnx?sinx?，yx于是y??y?cosx?lnx???sinx?sinx?sinx???x?cosx?lnx??．x?x??例1-20求y??x?1??x?2?的导数．

?x?3??x?4?lny?1?ln?x?1??ln?x?2??ln?x?3??ln?x?4??，2解：先在两边取对数（假定x?4），得

上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得

11?1111?y???????，y2?x?1x?2x?3x?4?于是y??y?1111??????．

2?x?1x?2x?3x?4?当x?1时，y??1?x??2?x?；当2?x?3时，y??x?1??x?2?；?3?x??4?x??3?x??4?x?用同样方法可得与上面一致的结果．

?dy???t??x???t???⑥参数方程求导法（限于一阶）：?．

???dx?t??y???t?例1-21设函数y?f(x)由参数方程??x?costdy确定，求．

dx?y?sint?tcostdyyt?tsint????t．解：

dxxt??sint-12-

练习1-4求以下各函数的导数1、y?xtanx?x；2、y?4x3exsinxx1；xdyd2y,3、求由方程x?arctany?y所确定的隐函数y的导数．dxdx2参考答案：1、y??xtanx?tanx?xxx?1?lnxx?；??xx?x?1?lnx?lnx??2??x??cosx2、y??4x3ex1?1111?dy1d2y2(1?y2)．sin???cot?；3、?1?2,2??25x?4x1224xx?dxydxy12．熟练把握初等函数的一阶和二阶导数的求法，会求某些简单函数的高阶导数，会求曲线上指定点的切线方程和法线方程．

①二阶导数：y????y???d2yd?dy?或???．求高阶导数就是屡屡接连地求导数．dx2dx?dx?1(x?x0)．f?(x0)②切线方程：y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，法线方程：y?f(x0)??13．了解微分的定义、可微与可导的关系，以及一阶微分形式的不变性；把握微分运算与求导运算的关系；会求函数的微分．

①定义：?y?A?x?0??x?，其中A是不依靠于?x的常数，而0??x?是比?x高阶的无穷小，那么称函数y?f?x?在点x0是可微的，而A?x叫做函数y?f?x?在点x0相应于自变量增量?x的微分，记作dy，即dy?A?x．

②可微与可导的关系：函数f?x?在点x0可微的充分必要条件是函数f?x?在点x0可导．

?③一阶微分形式的不变性：dy?y?xdx?yudu．无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微

分形式dy?f??u?du保持不变．这一性质称为微分形式不变性．

④微分运算与求导运算的关系：dy?y?dx．

xsinx⑤函数的微分的求法：dy?y?dx，如y?e,y??exsinx(sinx?xcosx),?dy??．

练习1-5求以下函数的微分

2xx（1）y?secx?tanx；（2）y?xlnsinx；（3）y?ecos3x；（4）y?earctanx．

参考答案：

（1）dy?secx(tanx?secx)dx；（2）dy?(lnsinx?xcotx)dx；（3）dy?e(2cos3x?3sin3x)dx；（4）dy?e?arctanx?x2x??1?dx．2?1?x?-13-

14．了解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理的内容．

①罗尔(Rolle)定理：假使函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续，（2）在开区间(a,b)内可导，（3）在区间端点处的函数值相等，即

f(a)?f(b)?那么在(a,b)内至少存在一点?(a???b)?使得函数

f(x)在该点的导数等于零，即f?(?)?0．

例1-22证明方程x5?5x?1?0有且仅有一个小于1的正实根．

5证明：设f(x)?x?5x?1,则f(x)在[0,1]上连续，且f(0)?1,f(1)??3．

由零点定理得存在设另有

x0?(0,1)使f(x0)?0，即x0为方程的小于1的正实根．

之间满足罗尔定理的条件,所以至少存

x1?(0,1),x1?x0,使f(x1)?0．由于f(x)在x0,x1在一个?（在x0,x1之间）使得f?(?)?0．

但

f?(x)?5(x4?1)?0,(x?(0,1))，矛盾．所以x0为方程的唯一实根．

②拉格朗日(Lagrange)定理：假使函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续，（2）在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点?(a???b)?使得等式f(b)?f(a)?f(?)(b?a)成立．

拉格朗日中值定理可用于1）证明等式；2）证明不等式．例1-23证明arcsinx?arccosx?证明：设f(x)?arcsinx?arccosx,由于f?(x)?'?2(?1?x?1)．

x?[?1,1]

11?x2?(?11?x2)?0，所以f(x)?C,x?[?1,1]．

????．?，即C?．故arcsinx?arccosx?2222又f(0)?arcsin0?arccos0?0?例1-24证明：当x?0时，

x?ln(1?x)?x．1?x证明:设f(x)?ln(1?x),则f(x)在[0,x]上满足拉氏定理的条件．

于是

xf(x)?f(0)?f?(?)(x?0),(0???x)．又f(0)?0,f?(x)?1，于是ln(1?x)?．

1?x1??而0???x，所以1?1???1?x,故

11??1．1?x1??从而

xxx?ln(1?x)?x．??x,即1?x1?x1??-14-

15．熟练把握用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限的方法．

①洛必达(L’Hospital)法则（求

0?或型极限常用的有效方法）0?定理设(1)当x?a时，函数f(x)和F(x)都趋于零；(2)在a点的某去心邻域内，f?(x)和F?(x)都存在且F?(x)?0；(3)limx?af?(x)f(x)f?(x)存在(或无穷大)，则lim．?limx?ax?aF?(x)F(x)F?(x)这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则．将x?a改为x?a?,x?a?,x??,x???,x???也有相应的洛必达法则．②类型：

0?，（基本类型）；0??,???,00,1?,?0．0?③使用洛必达法则时需注意以下几个问题：

1）在用洛必达法则时必需验证条件；2）假使使用洛必达法则之后，问题仍是未定型极限，且仍符合洛必达法则的条件，可以再次使用洛必达法则；3）假使“

0〞型或“?〞型极限中含有非零因子，该非0?零因子可以单独求极限，不必参与洛必达法则运算，以简化运算；4）使用洛必达法则要注意运用一些技巧：变量替换、等价无穷小因子替换、恒等变形等．

sec2xtanx(tanx)?0?1．例1-25求lim．(型)解：原式=lim=limx?0x?0x?0x(x)?102x3?3x?26x3x?30例1-26求lim3．(型)解：原式==lim?3．lim22x?1x?x?x?1x?16x?2x?13x?2x?120?例1-27求lim2x????arctanx1x12x2．(0型)解：原式=lim1?x=lim2=1．x???1?xx???01?2x?例1-28求limcosbxlnsinax．(?型)解：原式=limacosax?sinbx=lim=1．

x?0x?0lnsinbxx?0cosaxbcosbx?sinax?tanx?xtanx?xtan2x1sec2x?11例1-29lim2=lim=lim=lim=．

x?0xtanxx?0x?0x333x23x?0x2lnxlimx?0?1x1limx1x?0??2x例1-30

x?0?xlnxx?0?elimx?lim?ex?0?xlimxlnx?e?e?e0?1．

例1-31若limsin6x?xf(x)6?f(x)，求．?0limx?0x?0x3x26?f(x)6x?xf(x)6x?sin6x?sin6x?xf(x)sin6x?xf(x)6x?sin6x?lim?lim?lim?limx?0x?0x?0x?0x?0x2x3x3x3x3解：

6?6cos6x36sin6x?0?lim?lim?36.x?0x?03x26xlim-15-

例1-32求I?lim?ntan?n???1??．n?x2n21x2ln(xtan)1??x解：设f(x)??xtan??e，则

x??1tanttantln(xtan)ln?111tant?t?0?x(令t?)?limt?limtlimx2ln(xtan)?lim?lim?型?x???1t?0?t?0?xx???xt?0?t2t2t3?0?

x2sec2t?11?cos2tsin2t1?lim?lim?lim?.2222t?0?t?0?3tcostt?0?3tcost3t23所以，原式I?e．

1300?取对数??1?????步骤：

?0??练习1-6求以下极限

1x?0?ln0????ln1?0??．?0?ln??(1?x)?eex?esinx1??1ln(1?x)2（1）lim；（2）lim；（3）lim(tan；（4）；（5）x)limxlnx；lim???xx?0x?0x?sinxx?0xx?0?x?0?xe?1??（6）lim??x(e?1)?2(e?1)11??sinx?；lnx；（7）；（8）；（9）lim(1?xlnx)limlim????x?0x?0x2x?0?x?0??xsin2xx?tan2x??xx1x??1??1ln1??cos1??x??xcosx?ln(x?2)??xx??（10）lim；（11）lim(x?e)；（12）lim(lnx)x?1；（13）lim．x2?x?0x?1x???x?2arccotxln(e?e)（14）lime?ecosx1?x2?1x?03；（15）lim(1?cosx)[x?ln(1?tanx)]．

x?0sin4x151e．（2）1．（3）1．（4）．（5）0．（6）．（7）1．（8）（9）1．（10）1．

266231（11）e2．（12）1．（13）cos2．（14）e．（15）．

24参考答案：（1）?16．知道极值的定义、极值存在的必要条件及两个充分条件．

①极值的定义：设函数f(x)在x0的某一邻域U(x0)内有定义，假使对于去心邻域U(x0)内的任意x，都有f(x)?f(x0)（或f(x)?f(x0)），则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或微小值）．

②极值存在的必要条件：设函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0处的导数为零，即f?(x0)?0．可导函数的极值点?驻点．

-16-

?

③极值的第一充分条件：设函数f(x)在点x0处连续，在x0的某去心邻域U(x0,?)内可导．当x在x0的邻近渐增地经过x0时，假使f?(x)的符号由正变负，那么f(x)在x0处取得极大值；假使f?(x)的符号由负变正，那么f(x)在x0处取得微小值；假使f?(x)的符号并不改变，那么f(x)在x0处没有极值．

④极值的其次充分条件：设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f?(x0)?0，f??(x0)?0．那么(1)当f??(x0)?0时，函数f(x)在x0处取得极大值；(2)当f??(x0)?0时，函数f(x)在x0处取得微小值．

?17．会求函数的单调区间和极值；会求闭区间上连续函数的最大值与最小值；会求一些简单应用问题的最值，会应用单调性证明不等式．

①求函数的单调区间和极值：求定义域、求驻点或不可导点、列表、得结论．例1-33求函数f(x)?(x?4)3(x?1)2的极值．

解显然函数f(x)在(??,??)内连续，除x??1外四处可导，且f?(x)?驻点x?1；x??1为f(x)的不可导点．列表判断：

5(x?1))?0得．令f?(x33x?1xf'(x)f(x)(??,?1)?↗?1不可导03(?1,1)?↘10?334(1,??)?↗所以极大值为f(?1)?0?微小值为f(1)??34．

例1-34求出函数f(x)?x?3x?24x?20的极值．

2解f?(x)?3x?6x?24?3(x?4)(x?2)．

32M令f?(x)?0得驻点x1??4,x2?2，由于f??(x)?6x?6，

m由于f??(?4)??18?0，所以极大值f(?4)?60；而f??(2)?18?0，所以微小值f(2)??48．如下图．

②求最值：求驻点和不可导点、求端点和驻点及不可导点的函数值、比较大小得结论．③最值应用题：(1)建立目标函数；(2)由实际问题求最值.

例1-35某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就多一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房

-17-

租定为多少时可获得最大收入？最大收入是多少？

解：设房租为每月x元，则租出去的房子有?50???x?180??套．10?每月总收入为R(x)?(x?20)?50???x?180??，10?xx?x????1?R(x)?(x?20)?68??，R?(x)??68???(x?20)????70?．

510?10????10?．R?(x)?0?x?350（唯一驻点）

故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为R(x)?(350?20)?68?④证明不等式：设函数、求导及判断符号、利用单调性得结论．例1-36证明：当x?1时?2x?3?证明：令f(x)?2x??3???350???10890(元)．10?1．x??1111??，则f(x)???(xx?1)．?22xx?xx由于当x?1时f?(x)?0，因此f(x)在?1,???上单调增加，从而当x?1时?f(x)?f(1)．又由于

1?1?f(1)?0，故f(x)?f(1)?0，即2x??3???0，也就是2x?3?(x?1)．

xx??2例1-37证明：当0?x?2时?4xlnx?x?2x?4?0．

2x)?4nlx2?x2,(?F)x0?证明：令F(x)?4xlnx?x?2x?4，则F?(?有且仅有一个根x?1，

F??(x)?4?2?0(0?x?2)．所以F(x)在x?1取微小值，即有F(1)?1，x2F(0)?lim(4xlnx?x?2x?4)?4，F(2)?8ln2?4?0．?x?0所以当0?x?2时?F(x)min?0．因此F(x)?4xlnx?x2?2x?4?F(x)min?0(0?x?2)．

2故当0?x?2时?4xlnx?x?2x?4?0．

练习1-7

1?x．1?xarctanx2、当0?x时，试证：ln(1?x)?．

1?x?2x1、当0?x?1时，试证：e?23、当x?2时，试证：3x?x?2．

-18-

4、当0?x??时，试证：sinxx?．2?5、探讨y?3x4?8x3?6x2?5、y?(x?1)3x2的单调性与极值．

6、欲围一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元．问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用材料费最少？（长10米、宽15米）

18．了解函数的凹凸性及拐点的定义，会求函数的凹凸区间及拐点．

①凹凸性的定义：设f(x)在区间I上连续?假使对I上任意两点x1,x2，恒有

f(f(x1?x2f(x1)?f(x2)??那么称

)?22x1?x2f(x1)?f(x2)?那么称

)?22f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；假使恒有f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)．?

②凹凸性的判定：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数．那么(1)若在(a,b)内

f??(x)?0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；(2)若在(a,b)内f??(x)?0?，则f(x)在[a,b]上的图形

是凸的．

③拐点：连续曲线y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点．?

拐点的必要条件：设函数f(x)二阶可导，若点(x0,f(x0))为曲线拐点，则f??(x0)?0．?拐点的充分条件：设f??(x0)?0，且f??(x)在x0点的某邻域内存在．若经过点x0时f??(x)变号，则点(x0,f(x0))为曲线y?f(x)的拐点；若f??(x)过点x0时不变号，则点(x0,f(x0))不是曲线的拐点．

④求曲线y?f(x)的凹凸区间和拐点的步骤：

(1)确定函数y?f(x)的定义域；(2)求出二阶导数f??(x)；(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；(4)判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点．

例1-38求曲线y?3x4?4x3?1的拐点及凹、凸区间．

解：(1)函数y?3x?4x?1的定义域为(??,??)；(2)y??12x?12x，

4332y???36x2?24x?36x(x?2)；(3)解方程y???0?得x1?0?x2?2；(4)列表判断：

33

-19-

x(???0)0(0?2/3)2/3(2/3???)f??(x)?0?0?f(x)?1?11/27?

在区间???,0?和?,???上曲线是凹的，在区间?0,?上曲线是凸的；点(0,1)和?,?都是

33327曲线的拐点．?

例1-39求证：方程x?p?qcosx?0恰有一个实根，其中p,q为常数，且0?q?1．证明：令f(x)?x?p?qcosx，由于limf(x)?lim(x?p?qcosx)???，则存在b?0，

x???x????2????2????211???使f(b)?0．又limf(x)?lim(x?p?qcosx)???，则存在a?0，使f(a)?0．

x???x???由于f(x)?x?p?qcosx在[a,b]上连续，由零点定理可知f(x)?0在(a,b)内至少有一实根．而f?(x)?1?qsinx?0，故f(x)在(??,??)上严格单调增加．所以方程f(x)?0在(??,??)内最多有一个实根．综上所述方程x?p?qcosx?0恰有一个实根．例1-40设f(x)在[a,b]上可导，且f?(x)?M,f(a)?0，证明

?baf(x)dx?M(b?a)2．2证明：由题设对?x?[a,b]，可知f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理，于是又

f(x)?f(x)?f(a)?f?(?)(x?a),??(a,x)

由于f?(x)?M，所以f(x)?M(x?a)．由定积分的性质有

??

练习????

baf(x)dx??M(x?a)dx?abM(b?a)2．21、求函数y?x3?3x2?1的单调区间、极值及曲线的凹凸区间和拐点．

2、已知曲线y?ax3?bx2?cx上点（1，2）处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求a，b，

c的值，并写出此曲线的方程．（y??x3?3x）?

???

-20-

其次章一元函数积分学

1．了解不定积分和定积分的概念和性质．

①原函数和不定积分：设f(x)是定义在某区间I上的函数．假使存在函数F(x)，使得对任一

x?I，都有F?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数．

原函数存在定理：若函数f(x)在某区间上连续，则函数f(x)在该区间上的原函数一定存在．定义假使F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)的带有任意常数项的原函数，称为

f(x)在区间I上的不定积分，记为?f(x)dx．即?f(x)dx?F(x)?C，（C为任意常数）．

②不定积分的性质：1）dd?f(x)dx?f(x)dx；F?(x)dx?F(x)?C；f(x)dx?f(x)；2）3）??dx4）dF(x)?F(x)?C；5）[f(x)?g(x)]dx?③定积分：

???f(x)dx??g(x)dx；6）?kf(x)dx?k?f(x)dx．

?baf(x)dx=I=lim?f(?i)?xi；分割、代替、求和、取极限．

??0i?1n1）定积分是一个数值，只与f(x)和积分区间有关，与积分变量用什么字母无关；2）当f(x)?0时,?baf(x)dx表示曲边梯形的面积；

3）可积→有界，连续→可积．

④定积分的性质：1）2）

?[f(x)?g(x)]dx??abbaf(x)dx??ba（有限个函数的代数和的积分等于积分的代数和）g(x)dx；

?bakf(x)dx?k?ba（性质1）2）称为积分的线性性）f(x)dx；

3）可加性：假使将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设a?c?b，则

?baf(x)dx??caf(x)dx??bcf(x)dx；

4）非负性：假使在区间[a,b]上f(x)?0，则5）

?baf(x)dx?0(a?b)；

?baf(x)dx??baf(x)dx；

6）估值定理：设M与m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值及最小值，则

m(b?a)??ba；f(x)dx?M(b?a)（a

分号之外再求导；假使为

?x0f(t?x)dt可以先进行变量替换，如u?t?x，换为?f(t?x)dt?

0x?2xxf(u)du，使得被积函数中不再含有x，这时再求导；假使是复合变上限积分函数，先找到中间变

量，再依照复合函数求导数的方法进行．

6．熟练把握牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，并会用换元积分法和分部积分法计算定积分．

①牛顿-莱布尼兹公式：假使函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

?baf(x)dx?[F(x)]ba=F(b)?F(a)．

②换元积分法：

??baf(x)dx???f??(t)???(t)dt．换元必换限．

?1?例2-14

?20cos5xsinxdx．

?0?t6?1552cos5xsinxdx?2cos5xdcosx??tdt?解：设t?cosx，则?=?==．tdt???1?000?6?061例2-15

?4x?22x?10dx．

t2?1解：设t?2x?1，则x?．x?0时t?1；x?4时t?3．

2t2?13?2333??1t221x?2tdt=??t2?3?dt=??3t??dx=?2．

11t22?332x?1?1故

?40例2-16

?3dx(x?1)41?2x?2x22．

解：由于x?2x?(x?1)?1,?令x?1?sect,dx?tantsectdt,t:2?4??3．

??3dx(x?1)41?2??secttant3233???3dt?costdt?(1?sint)dsint??4??2x?2x4secttant44??13?335???sint?sint??3?2.?3812??4

③分部积分法：

?baudv?[uv]ba??vdu．准备、代公式、整理三步．

ab④计算定积分时常用到如下性质：

-26-

设f(x)为[?a,a]上的连续函数(a?0)，则

?a?af(x)为奇函数?0,?f(x)xdx??a．

2f(x)xdx，f(x)为偶函数???0例2-17

?120arcsixndx．

解：设u=arcsinx,v?x,则

?120arcsinxdx=?xarcsinx???例2-18计算

12120231xdx=arcsin+

2221?x21?12023?x2d(1?x2)=

?12?3?1．2?e011xdx．

解：设x?t，则

?10exdx=?etdt2=2?tetdt=2?tdet=2tet00011??10?2?0etdt=2e?2(e?1)=2．

12?3?1?x,x?0例2-19设f(x)???x，求I??f(x?2)dx．

1??e,x?0解：令x?2?t，则

I??31?1?f(x?2)dx??f(t)dt??(1?t2)dt??e?tdt??t?t3??e?t?1?10?3??1101010?7?1?e．3?例2-20对任意实数?，求I?解：令x???201dx．

1?tan?x?2?t，则

????111tanx222I??2dx?dt?dx?dx???0??01?tan?x00?1?cotx1?tanx1?tan?(?t)2

?????1tanx??2?2I??2??dx?dx??I?.????0024?1?tanx1?tanx?计算定积分时应注意以下几点：（1）对于

?a?af(x)dx，首先要考察f(x)的奇偶性；

（2）定积分的被积函数中含有绝对值符号时，计算的一般原则是将积分区间分为几个子区间，使取绝对值的函数在每个子区间内保持同号，从而可以消除绝对值符号；

（3）定积分的被积函数中含有开偶次方根时，要注意开方的结果应带有绝对值，化为上述情形（2）处理；

（4）定积分的被积函数为分段函数时，应按函数的不同表达式将积分区间分为若干个子区间，在

-27-

每个子区间上被积函数仅有一个表达式．

例2-21计算

x?x??22?x2dx．

222222xx?xxxx22dx??dx??dx?0?2?dx??dx?ln(2?x)?ln3．解：?0?22?x2?22?x2?22?x202?x202?x22练习2-2计算以下定积分（1）

?30?12asinxcosxx2?a2dx2x2dx；；（2）?；（3）；（4）xedxdx(a?0)4??01?cos2x0ax(1?x)x（5）

??ln20（6）?x?2dx；（7）lim?esinnxdx；（8）?e?1dx；

1x31?xln5n??00exex?1dx；

ex?3?（9）

40e(tanx?1)dx；（10）?x(1?x)dx．

02x21342参考答案：（1）

123????．（2）2．（3）e?2．（4）ln2．（5）2?1??．（6）1．（7）0．

238a?4??2（8）4??．（9）e．（10）

3?．327．把握定积分的微元法，会求直角坐标系下的平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转的旋转体的体积．

①微元法：把有限区间[a,b]无限分割，记小区间为[x,x?dx]，其长为dx，量P在小区间对应的量为dP，先求出dP?f(x)dx，再无限累加，即P??badP??f(x)dx．

ab②平面图形的面积：由曲线y?f(x)与y?g(x)及直线x?a,x?b(a?b)所围成的平面图形的面积A??baf(x)?g(x)dx．

例2-22求抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形的面积．

12y2y3y)dy?(?4y?)?18．解：A??(y?4??2226?244例2-23求心脏线r?a(1?cos?)(a?0)所围成的图形的面积．

解：由于心脏线关于极轴对称，

21222?2??24?24A?2?a(1?cos?)d??a??2cos?d??4a?cosd?令??t8acostdt?222?200?00??2??

-28-

?8a2(4?1)!!?32??a?．4!!22③平面图形绕坐标轴旋转的旋转体的体积：1）绕x轴旋转：V??2）绕y轴旋转：V???[f(x)]dx，V???[faab2b2(x)?g2(x)]dx(f(x)?g(x))；

?dc[f(y)]2dy，V???[f2(y)?g2(y)]dy(f(y)?g(y))．

cd例2-24求抛物线y?x2和y?1x所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积．

1322225?????．解：V???(y)?(y)dy???y2?y5???00?10例2-25求由曲线y?的立体的体积．

r?x及直线x?0，x?h(h?0)和x轴所围成的三角形绕x轴旋转而生成h解：取x为积分变量，则x?[0,h]

2??r2?r?V????x?dx?2hh??0练习2-3

hh2x?dx?0?3r2h．21、求抛物线y?x?1与直线x??2及y?0所围成的封闭平面图形的面积．（答案：

8）32、求由曲线y?sinx,y?cosx与直线x?0,x??所围成的平面图形的面积．（答案：22）3、求曲线y?x?3x?2在x轴上介于两个极值点间曲边梯形的面积．（答案：4）4、求抛物线y?2x与该曲线在点?,1?处的法线所围成平面图形的面积．（答案：

23?1??2?16）35、求曲线y?sinx,y?cosx?0?x??????与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体体积．4?6、求曲线y?lnx,x?e与y?0所围成的封闭平面图形绕x、y轴旋转所得两个旋转体的体积．（参考答案：5、

-29-

??2．6、Vx??(e?2),Vy?(e?1)．）22

第三章多元函数微积分学

1．理解二元函数的概念，会求一些简单二元函数的定义域．

①二元函数：设D是平面上的一个点集．称映射f:D?R为定义在D上的二元函数，寻常记为．z?f(x,y)，(x,y)?D（或z?f(P)，P?D）

②定义域：使式子z?f(x,y)有意义的(x,y)的取值范围，亦即自然定义域．

③二元函数定义域的求法：求二元函数定义域与一元函数类似，需要遵循以下几个原则：1）分式的分母不能为0；2）开偶次方根号下的表达式必需大于或等于0；3）对数的真数部分必需大于0；4）arcsin(f(x,y)),arccos(f(x,y))中的f(x,y)?1；5）求复合函数定义域时，宜于由外层到里层进行；6）求多个函数进行四则运算所得的新函数的定义域时，要先分别求每个函数的定义域，再求这些定义域的交集．

例3-1①函数z?ln(x?y)的定义域为{(x,y)x?y?0}；

22②函数z?arcsin(x2?y2)的定义域为{(x,y)x?y?1}．

222222③函数z?1?x?y?ln(y?2x?1)的定义域为{(x,y)x?y?1,y?1?2x}．

练习3-1求以下函数的定义域①z?xy111ln(x?y)；②z?arcsin?arccos；③z?；④z?ln(x2?y?1)；?23x?1xy⑤z?x?y?1；⑥z??R2?x2?y2?1x?y?r222(R?r)．

参考答案：①{(x,y)x?1?0,x?y?0}；②{(x,y)?2?x?2,?3?y?3}；③{(x,y)x?0,y?0}；

22222④{(x,y)y?x?1}；⑤{(x,y)r?x?y?R}．

2．熟练把握显函数的一阶、二阶偏导数的求法．

①一阶偏导数的求法：设z?f(x,y)，则求作常数，利用一元函数求导法只对x求导即可．

例3-2①求z?xsin2y的偏导数．

2?z?f?，,z?x或fx(x,y)时只需将f(x,y)中的y看

?x?x?z?z?2xsin2y,?2x2cos2y．?x?y?z?z?zy2?z2xy②设z?tan(xy),求,．．?,?2222?x?y?xcos(xy)?ycos(xy)2-30-

③设z?ln?x???y??z?z．,求?1．?2x??x(1,0)?x(1,0)?2z???z??2z???z?????(x,y)；②二阶偏导数：2?；?f(x,y)?xx?????fxy?x?x??x??x?y?y??x????z??2z???z??2z??(x,y)；??(x,y)．????=?y?x?fyx??y??=?y2?fyy?x??y?y?????z?2z???z????fx?(x,y)中的y看作常数，与求一求二阶偏导数2?时将偏导数函数?f(x,y)xx???x?x?x??x?阶偏导数的方法一致，求其它偏导数的方法与此一致．

?z?2z?2z22?y?3xy，所以例3-3①设z?xy?xy，求．由于?2y?3x2．?x?x?y?x?y23?2z②设z?x，求

?x?yy?2z?2zy?1?x(1?ylnx)，所以x?2．由于

?x?y?x?yy?3x?2y?3?4(1?3ln2)．

练习3-2

1、求以下函数的一阶偏导数：①z?ex2?y；②z?arctany；③z?ln(lnx?lny)．x2、求以下函数的二阶偏导数：

?2z22①设z?xye，求；②z?sinxy；③z?ln(x?xy?y)．

?x?yxy3、设z?(x?e)，求参考答案：1、①2xex2yx?z?x(1,0)．

?y,ex?y；②?2yx11,,；③．

x2?y2x2?y2x(lnx?lny)y(lnx?lny)2、①exy(1?3xy?x2y2)；②?y2sinxy,cosxy?xysinxy,?x2sinxy；

?2x2?2xy?y2x2?4xy?y2x2?2xy?2y2③．3、2ln2?1．,?2,22222222(x?xy?y)(x?xy?y)(x?xy?y)3．熟练把握二元函数全微分的求法．

欲求dz，只需先求

?z?z?z?zdx+dy．假使求函数在某一点P(x0,y0)的全微分和，则dz=

?x?y?x?y?z?zdx+dy，再将x0,y0代入dz中即得．?x?y-31-

dzx?x0y?y0，只需先求出dz=

例3-4设z?ln(x2?y2)，求dz．解由于

?z?z2x?z2y?z2dzdxdy?2?(xdx?ydy)．，，所以=+=

?x?xx?y2?yx2?y2x2?y2?y练习3-3求以下各函数的全微分dz①z?exy(x2?y2)；②z?arcsin2y；③z?xe?xy?sin(xy)；④z?ln(3x?2y?3)．x参考答案：①dz?exy(x?y2)[(3x2y?y3)dx?(3y2x?x3)dy]；②dz?1xx?y22(?ydx?xdy)；

③dz?[e?xy(1?xy)?ycos(xy)]dx?[?x2e?xy?xcos(xy)]dy；④dz?1(3dx?2dy)．

3x?2y?34．熟练把握用直角坐标计算二重积分的方法．

①D：a?x?b,c?y?d，

??Df(x,y)d???dx?f(x,y)dy??dy?f(x,y)dx．

accabddd②D：a?x?b,?1(x)?y??2(x)，

??f(x,y)d???Dbadx?d?2(x)?1(x)f(x,y)dy．f(x,y)dx．

③D：c?y?d,?1(y)?x??2(y)，

??Df(x,y)d???dy?c?2(y)?1(y)计算时，首先要画积分区域D，根据D的形状及被积函数的形式，选择直角坐标或极坐标，然后结合图形用不等式组表示积分区域D，根据不等式组确定累次积分的积分限，最终代入公式转化为计算两个定积分．

④交换积分次序：对于给定的积分次序，例如

?badx??2(x)?1(x)f(x,y)dy，交换积分次序的一般步骤是：

（1）依照给定积分次序确定积分区域D，并画出D的草图；（2）根据D的图形确定交换次序以后的积分上、下限．例3-5计算

22，其中D由抛物线与直线y?x所围成的平面图形．y?xxydxdy??D解：积分区域D:0?x?1,x?y?x．所以??xydxdy??dx?2xydy??xy0x0322D1?dx?(x?x)dx?x5?x8??040．x23?03?x2⑤二重积分化二次积分时应注意的问题（1）积分区域的形状

两类积分区域的形状具有一个共同点:对于X型(或Y型)区域,用平行于y轴(x轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点．假使积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化

归为X型(或Y型)区域的并集．（2）积分限的确定

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二重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键．这里介绍配置二次积分限的方法--几何法．画出积分区域D的图形(假设的图形如下)

在?a,b?上任取一点x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过区域D,与区域D的边界有两个交点?x,?1(x)?与?x,?2(x)?,这里的?1(x)、又因x?2(x)就是将x看作常数而对y积分时的下限和上限；是在区间?a,b?上任意取的,所以再将x看作变量而对x积分时,积分的下限为a、上限为b．

例3-6计算

2D,其中是由抛物线y?x及直线y?x?2所围成的区域．xyd???D解：积分区域可用以下不等式表示D:?1?y?2,y2?x?y?2．

??xyd???D2?1dy?2yy?2y?212452?251??．xydx??xy2dy???y(y?2)?ydy????y?1?2?12825．会用极坐标计算二重积分．

①各变量之间的关系：

??f(x,y)dxdyDx?rcos?y?rsin?dxdy?rdrd???f(rcos?,rsin?)rdrd?D

②积分区域D可表示成如右图所示形式，D:?????,?1(?)?r??2(?)．其中函数?1???,?2???在??,??上连续．

则

??Df(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D??2(?)??1(?)f(rcos?,rsin?)rdr．

③积分区域D:?????,0?r??(?)．显然,这只是②的特别形式?1????0．(即极点在积分区域的边界上)．故

??Df(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D??(?)?0f(rcos?,rsin?)rdr．

④积分区域D为下图形式

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显然,这类区域又是上情形的一种变形(极点包围在积分区域D的内部),D可剖分成D1与D2,而

D1:0????,0?r??(?)，D2:????2?,0?r??(?)．

故D:0???2?,0?r??(?)．则

??f(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd???DD2?0d???(?)0f(rcos?,rsin?)rdr．

由上面的探讨不难发现,将二重积分化为极坐标形式进行计算,其关键之处