《近世代数》AB模拟练习题参考答案

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一、判断题（每题4分，共60分）

1、设?:G1?G2是群单同态，则Ker?为单点集（√）

2、设?:G1?G2是群同态，Ker?为单点集，则?必为单射（√）3、设?:G1?G2是群同态，则Ker?为单点集当且仅当?为单射（√）4、5元置换（42351）是偶置换（√）5、两子群的并一定是子群（×）6、4元置换（4231）是偶置换（×）

7、已知H,K是群G的子群，则HK也为G的子群（×）8、已知(Z6,?,*)是域（×）9、两子群的并一定是子群（×）

10、任意置换均可表示为若干个不相交的轮换的乘积（√）

11、假使循环群G=(a)中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构（√）12、设G是n阶,e是它的单位元,则e的周期为1（√）13、假使群G的子群H是循环群，那么G也是循环群（×）14、若环R满足左消定律，那么R必定没有右零因子（√）15、唯一分解环必是主理想环(×)

二、证明题（每题20分，共300分）

1、设F?x?为域F上的一元多项式环,f(x)?F?x?,则(f(x))为极大理想当且仅当

f(x)为不可约多项式。

证明：（必要性）假设f(x)不是不可约多项式，可知f(x)不是零元也不是可逆元，从而存在非零非可逆元g(x),h(x)?F?x?，使得f(x)?g(x)h(x)，故

(f(x))?(g(x))，(f(x))?(g(x))，由于(f(x))是极大理想，所以(g(x))?F?x?，

故g(x)??1矛盾。综上，f(x)为不可约多项式。

（充分性）若有理想N?(f(x))，则由于F?x?是主理想环，所以必有g(x)?F?x?使得N?(g(x))，从而g(x)|f(x)，由f(x)为不可约多项式可知，或者g(x)??1，或者g(x)??f(x)。前者说明(g(x))?F?x?，后者说明(f(x))?(g(x))，故(f(x))为极大理想。

2、设和是整数环Z的两个理想，求生成元a,b使得

?a???18???27?，?b???18???27?。

解：a?(24,32)?8，b??24,32??96。

3、写出三次对称群S3的所有子群并写出S3关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。

解：|S3|?6其子群的阶数只能是1，2，3，61阶子群｛（1）｝

2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝3阶子群｛（1）（123）（132）｝6阶子群S3

左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H右陪集：H（1）=｛（1）（23）｝=H（23）H（13）=｛（13）（23）｝=H（123）H（12）=｛（12）（132）｝=H（132）

4、表达群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H与K的交H?K依旧是G的一个子群。

解：充要条件：a,b?H,?ab?H;a?H?a?1?H；证明：已知H、K为G的子群，令Q为H与K的交设a,b?H,则a,b?H,a,b?K

H是G的子群，有ab?HK是G的子群，有ab?K

?ab?Q

?a?H，则a?H且a?K由定理1，可知a?1?H综上所述，H也是G的子群。

(a,b)(c,d)?(ac,bc?d)，5、设G?{(a,b)|a,b?R,且a?0}，规定G中的元素运算：

证明G是群，但不是交换群

(c,d)，?e,f??G，则证明:给定(a,b)，?(a,b)(c,d)??e,f??(ac,ad?b)?e,f???ace,acf?ad?b?，

(a,b)?(c,d)?e,f???(a,b)(ce,cf?d)??ace,acf?ad?b?，所以该运算关于乘法满足结合律.

对任意?a,b??G，?a,b??1,0???a,b???1,0??a,b?，所以?1,0?是单位元.

?1b??1b??1b?0?=?,???a,b?，所以任取?a,b??G，则?,???G，并且?a,b??,??=?1，?aa??aa??aa??1?1b?,??a,b??，所以G是群.???aa?(c,d)?G，(a,b)(c,d)?(ac,ad?b)，(c,d)(a,b)?(ac,bc?d)，所以此外(a,b)，(a,b)(c,d)?(c,d)(a,b)，因此G不是交换群.

6、证明[Q(5?7):Q]=4证明：令u?5?7，则

u?5?7?(u?5)2?(7)2?u2?25u?2?0?(u2?2)2?(25u)2

42u4?24u2?16?0，现令f(x)?x?24x?16，有f(u)?0.

此外可知f(x)是Q上的不可约多项式，

从而f(x)?x4?24x2?16是5?7在Q上的微小多项式。

再根据Q上线性空间Q(5?7)的维数等于5?7在Q上的微小多项式的次数，即知[Q(5?7):Q]?4.

7、证明lZ+kZ?(l,k)Z，其中l,k?Z，(l,k)表示l,k最大公约数证明：由lZ?(l,k)Z，kZ??l,k?Z，即得lZ?kZ??l,k?Z

又有u,v?Z，使ul?vk?(l,k)，得(l,k)Z?lZ?kZ，就得到lZ+kZ?(l,k)Z

8、求出模48的剩余类加群Z48的所有子群，这些子群是否是不变子群？解：由于Z48为循环群，所以Z48为交换群，

又由于48的所有正整数因子为：1,2,3,4,6,8,12,16,24,48.所以模48的剩余类加群Z48的所有子群为循环子群：

([1]),([2]),([3]),([4]),([6]),([8]),([12]),([16]),([24]),([0]).并且这些子群都是不变子群。

9、S1,S2是A的子环，则S1?S2也是子环么？S1?S2也是子环么？

证明：由子环的充分必要条件，要证对任意a,b?S1?S2有a?b,ab?S1?S2；由于S1，S2是A的子环，故a?b,ab?S1,a?b,ab?S2，因而a?b,ab?S1?S2，所以S1?S2是子环

S1?S2不一定是子环，在矩阵环中很简单找到反例：

??a0????ab??A?M(Z),S?a,c?Z,S?a,b?Z设???2???，21??c000??????????ab??S?S?a,b,c?Z易见S1与S2均为子环，但1???不是子环。2?c0????

10、记C*?C\\{0}表示非零复数集合,U?{ei?|??R}是模为1的复数集合,R?表示正实数集合,证明C*/U?R?。证明:Step(1)证明C*关于复数的乘法构成群由于1?C*,所以C*非空

易知,复数的乘法是C*?C*?C*的一个映射,从而它是C*上的一个二元代数系统

??,?,??C*?(??)?(??)?成立,从而满足结合律

???C*,有1???1??,所以1是单位元

1?i?i??rei??C*,有(re)(e)?1,所以C*中任意元素均有逆元

r综合以上五点可知,C*关于复数的乘法构成群Step(2)证明U是C*的正规子群

可知是交换群,而交换群的子群一定是正规子群,所以仅需证明是子群即可

?ei?1,ei?2?U,有ei?1(ei?2)?1?ei?1??2?U成立综合上述两点,即知U是C*的正规子群Step(3)证明C*/U?R?

已证C*关于复数的乘法构成群,U是C*的正规子群,且易知R?关于数的乘法构成群