概率统计模拟试题4解答

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模拟试题（四）参考答案

一.填空题(每题2分，共20分)

1.设P(A)=0.4，P(B)=0.5.若P(AB)?0.7,则P(A?B)?.解P(A?B)?P(A)?P(B)?P(B)P(A|B)?0.55

2.若随机变量X听从二项分布，即X~B(5,0.1)，则D(1?2X)?.

解D(1?2X)?4DX?4?5?0.1?0.9?1.8.3.三次独立重复射击中，若至少有一次击中的概率为

37，则每次击中的概率为.64解

3.4?3x2,0?x?1,4.设随机变量X的概率密度是:f(x)??且P(X?a)?0.784，则a?.其他,?0,解由P(X?a)?0.784知，0???1.故

从而??0.6.P(X?a)??3x2dx?1??3?0.784，?15.利用正态分布的结论，有:

???12???(x2?4x?4)e?(x?2)22dx?.

解令x?2?t，则原式????12???t2e?t22dt?DX?(EX)2?1，这里X~N(0,1).

6.设总体X的密度函数为:

??x??1,0?x?1,f(x)??其他,?0,(其中?为参数??0)，x1,x2,?,xn是来自总体X的样本观测值，则样本的似然函数

L(x1,x2,?,xn;?)?.

解?n?x?ii?1n?1.

7.设X，Y是二维随机向量，DX，DY都不为零，若有常数a?0与b使P(Y??aX?b)?1，这时X与Y是关系.

解完全相关.

28.若X~N(?,?2)，X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，X,S分别为样本均值和方差，则

(X??)n听从分布.

S解t(n?1).

29.设X~N(?1,?12)，Y~N(?2,?2)，X与Y相互独立.从X，Y中分别抽取容量为n1,n2的样

本，样本均值分别为X,Y，则X?Y听从分布.

1

解N(?1??2,?12n1?2?2n2).

10.设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为____________.解cov(Y,Z)?cov(Y,X?0.4)?cov(Y,X)?0.9.二.单项选择题(每题2分，共12分)

21.设随机变量X的数学期望EX与DX??均存在，由切比雪夫不等式估计概率

P{X?EX?4?}为()

(A)?116(B)?116(C)?1516(D)?1516解此题应选C.

2.A,B为随机随机事件，且B?A，则以下式子正确的是().(A)P(A?B)?P(A)解此题应选A.

3.设随机变量X的密度函数为f(x)??(A)A?1,B??0.5

10

(B)P(B?A)?P(B)?P(A)

(C)P(AB)?P(A)(D)P(BA)?P(B)

，?Ax?B，0?x?17且EX?，则().

12其他，?0，

1

(B)A??0.5,B?1

(C)A?0.5,B?1(D)A?1,B?0.5解令

?(Ax?B)dx?1，?0(Ax?B)xdx?7，解得A?1,B?0.5，故此题应选D.124.若随机变量X与Y不相关，则有().(A)D(X?3Y)?D(X)?9D(Y)(B)D(XY)?D(X)?D(Y)(C)E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}?0(D)P(Y?aX?b)?1解此题应选C.

5.已知随机变量F~F(n1,n2)，且P{F?F?(n1,n2)}??，则F1??(n1,n2)?().

1

F?(n1,n2)1(C)

F?(n2,n1)(A)解

1

F1??(n2,n1)1(D)

F1??(n1,n2)(B)

6.将一枚硬币独立地掷两次，记事件:A1?{掷第一次出现正面}，A2?{掷其次次出现正面}，

A3?{正、反面各出现一次}，A4?{正面出现两次}，则事件().

(A)A1,A2,A3相互独立(C)A1,A2,A3两两独立解P(A1)?

(B)A2,A3,A4相互独立(D)A2,A3,A4两两独立

1111，P(A2)?，P(A3)?，P(A4)?，再由事件独立的充分必要条件可知2224A1,A2,A3两两独立，此题应选C.

三.计算题(每题８分，共48分)

2

1.某厂由甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3:2:1，

各车间产品的不合格率依次为8%，9%，12%.现从该厂产品中任意抽取一件，求:(1)取到不合格产品的概率；(2)若取到的是不合格品，求它是由甲厂生产的概率.

解(1)运用全概率公式，0.09;

(2)运用贝叶斯公式，0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)

2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件，第i个零件是不合格品的概率为

pi?11?i(i?1,2,3)，以X表示三个零件中合格品的个数，求:(1)X的概率分布；(2)X的方差

DX.

解(1)

(2)EX?XP012312414112414111123?2??3??，424412EX2?11117?4??9??，故DX?EX2?(EX)2?0.521.42442223.设总体X~N(0,?2)，?为未知参数，x1,x2,?,xn是来自总体X的一组样本值，求?的最大似然估计.

nn解似然函数L(?)?(两边取对数

212???xi2)en?i?12?2?(12??)e2n2?xi2?i?12?2，

nnlnL(?2)??ln2??ln?2?i?12，

422?关于?求导，并令其为零，得

2?xin2n1??2?i?122?0，2?2(?)1n22???xi.从而解得极大似然估计量为?ni?14.二维随机变量(X，Y)的联合概率密度:

?xin2?2e?(x?2y)，x?0,y?0，f(x,y)??其它，?0，求:(1)X与Y之间是否相互独立，判断X与Y是否线性相关；

(2)P(Y?X?1).解(1)fX(x)?

?????2e?(x?2y)dy,x?0,f(x,y)dy??0?0,x?0??????3

同理

?e?x,x?0,???0,x?0.y?0,y?0.

?e?2y,fY(y)???0,从而

f(x,y)?fX(x)fY(y)，

故X与Y相互独立，因而X与Y一定不相关.

(2)P(Y?X?1)?101?x0?dx?2e?(x?2y)dy?(1?e?1)2.

1的指数分布，假使等车时间超过510分钟他就步行上班.若此人一周上班5次，以Y表示他一周步行上班的次数.求Y的概率分布；并求他一

5.某人乘车或步行上班，他等车的时间X(单位:分钟)听从参数为周内至少有一次步行上班的概率.

解此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为

P(X?10)??故Y~B(5,e?2).

??101?sedx?e?2.5xP(Y?1)?1?(1?e?2)5.6.设随机变量X的概率密度为

?1，x?[1,8]，?f(x)??3?3x2?其他，?0，F(x)是X的分布函数.求随机变量Y?F(X)的概率分布.

x?1,?0,1??3解F(x)??x?1,1?x?8,

?1,x?8.??

(3)当y?0时，FY(y)?P(Y?y)?0;

13当0?y?1时，

FY(y)?P(Y?y)?P(X?1?y)?P(X?(y?1)3)

?FX((y?1)3)?y;

当y?1时，FY(y)?P(Y?y)?1.故对FY(y)求导可得Y的概率密度，

?1，0?y?1，fY(y)??0，其它，?1]即Y~U[0，四.应用题(第1题7分、第2题8分，共15分)

4

1.假设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹的命中率等于0.2，用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.

解设Xi??,?0,第i发炮弹没有命中(i?1,2,?,400)，则

第i发炮弹命中?1,X??Xi~B(400,0.2)

i?1400表示400发炮弹命中的发数，且EX?80，DX?64，故由中心极限定理知，

P(60?X?100)?P(|X?80|?20)?P(|?2?(nX?8064|?2064)

20)?1?0.9876.82.某厂生产铜丝，生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算:问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断x?287.5,?(xi?x)2?160.5.假定铜丝折断力听从正态分布，

i?1力方差为16?(??0.1)

解H0：?2?16，H1：?2?16.采用统计量

?2?由??0.1，查得临界值

n?1?2S2，在H0成立时，?2~?2(9).

222?12??/2??0.95(9)?3.325，??/2??0.05(9)?16.919，

由样本值算得??断力方差为16.

2160.52?10.03，由于?12??/2??2???/2，所以不拒绝H0，即该厂生产的铜丝的折16五.证明题