新高考数学一轮复习《解三角形小题综合练》课时练习(含详解)

新高考数学一轮复习《解三角形小题综合练》课时练习一 、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，a＝3，b＝6，sinA＝eq\f(\r(3),4)，则B等于()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)D.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)LISTNUMOutlineDefault\l3如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A.20(eq\r(2)＋eq\r(6))nmile/hB.20(eq\r(6)﹣eq\r(2))nmile/hC.20(eq\r(3)＋eq\r(6))nmile/hD.20(eq\r(6)﹣eq\r(3))nmile/hLISTNUMOutlineDefault\l3已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD＝CD＝2，AB＝1，sin∠BDC＝2sin∠CBD，则四边形ABCD的面积为()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(3\r(7),4)C.eq\r(7)D.eq\f(5\r(7),4)LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，且直线ax＋ycosA﹣cosB＝0与xcosB﹣by＋cosA＝0垂直，则△ABC一定是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＋bsinA＝c，若a＝2，△ABC的面积为3(eq\r(2)﹣1)，则b＋c等于()A.5B.2eq\r(2)C.16D.4LISTNUMOutlineDefault\l3若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A=asinB，且c=2b，则eq\f(a,b)=()A．2B．3C.eq\r(2)D.eq\r(3)LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))LISTNUMOutlineDefault\l3已知M是△ABC内的一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\r(3)，∠BAC＝30°.若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，则eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)的最小值是()A.12B.14C.16D.18二 、多选题LISTNUMOutlineDefault\l3(多选)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝1，c＝eq\r(3)，且asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)，则a等于()A.1B.eq\r(3)C.2D.eq\r(2)LISTNUMOutlineDefault\l3(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有()A.若△ABC是锐角三角形，则sinA＞cosBB.若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形C.若a2＋b2﹣c2＞0，则△ABC一定为锐角三角形D.若B＝eq\f(π,3)，a＝2且该三角形有两解，则b的取值范围是(eq\r(3)，2)LISTNUMOutlineDefault\l3(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B﹣A)＝3sin2A，且c＝eq\r(7)，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(7\r(3),6)C.eq\f(\r(21),3)D.eq\f(7,3)LISTNUMOutlineDefault\l3(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝eq\r(10)，a2＋b2﹣c2＝absinC，acosB＋bsinA＝c，则下列结论正确的是()A.tanC＝2B.A＝eq\f(π,4)C.b＝eq\r(2)或b＝3eq\r(2)D.△ABC的面积为6三 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为______海里/小时.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若eq\r(3)sinA﹣cosA＝1，a＝2，则△ABC的面积的最大值为________.LISTNUMOutlineDefault\l3设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，A＝2C，则sinA∶sinB∶sinC＝________.LISTNUMOutlineDefault\l3△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3bcosC＋3ccosB＝5asinA，且A为锐角，则当eq\f(a2,bc)取得最小值时，eq\f(a,b＋c)的值为________.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：∵a＝3，b＝6，sinA＝eq\f(\r(3),4)，∴由正弦定理可得，sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3),2)，又sinA＝eq\f(\r(3),4)＜eq\f(1,2)，a＜b，∴A＜eq\f(π,6)，A＜B，解得B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：由题意知SM＝20nmile，∠NMS＝45°，∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为60°，∴∠SNM＝105°∴∠MSN＝30°，在△MNS中，利用正弦定理可得，eq\f(MN,sin30°)＝eq\f(20,sin105°)，MN＝eq\f(10,\f(\r(6)＋\r(2),4))＝10(eq\r(6)﹣eq\r(2))nmile,∴货轮航行的速度v＝20(eq\r(6)﹣eq\r(2))nmile/h.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D解析：在△BCD中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，因为CD＝2，sin∠BDC＝2sin∠CBD，所以BC＝4，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2﹣2BC·CD·cosC＝20﹣16cosC，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2﹣2AB·AD·cosA＝5﹣4cosA，所以20﹣16cosC＝5﹣4cosA.因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以A＋C＝π，所以cosA＝cos(π﹣C)＝﹣cosC，所以20﹣16cosC＝5＋4cosC，所以cosC＝eq\f(3,4)，cosA＝﹣eq\f(3,4)，所以sinA＝sinC＝eq\f(\r(7),4)，所以四边形ABCD的面积为S＝eq\f(1,2)×AB×AD×sinA＋eq\f(1,2)×BC×CD×sinC＝eq\f(5\r(7),4).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：当cosA＝0且cosB＝0时，两直线方程为x＝0，y＝0，相互垂直，因为角A，B，C是△ABC的内角，所以cosA与cosB不可能同时为0，故排除这种情况，因为直线ax＋ycosA﹣cosB＝0与xcosB﹣by＋cosA＝0垂直，所以acosB﹣bcosA＝0，即sinAcosB﹣cosAsinB＝0，sin(A﹣B)＝0，A＝B，故△ABC一定是等腰三角形.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D解析：因为acosB＋bsinA＝c.所以由正弦定理可得，sinAcosB＋sinBsinA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA.因为sinB≠0，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,4)，因为S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(2),4)bc＝3(eq\r(2)﹣1)，所以bc＝6(2﹣eq\r(2)).因为a＝2，所以由余弦定理可得，a2＝4＝b2＋c2﹣2bccosA＝(b＋c)2﹣2bc﹣eq\r(2)bc＝(b＋c)2﹣6(2﹣eq\r(2))(2＋eq\r(2))＝(b＋c)2﹣12，故b＋c＝4.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A；解析：由2bsin2A=asinB，得4bsinA·cosA=asinB，由正弦定理得4sinB·sinA·cosA=sinA·sinB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosA=eq\f(1,4)，由余弦定理得a2=b2＋4b2-b2，∴a2=4b2，∴eq\f(a,b)=2.故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C；解析：由正弦定理及sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cosA=eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(bc,2bc)=eq\f(1,2)，又0<A<π，所以0<A≤eq\f(π,3).故A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\r(3)，∠BAC＝30°，可得|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝8，故S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC＝2，则x＋y＋1＝2，即x＋y＝1，且x＞0，y＞0，故eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝(eq\f(1,x)＋eq\f(9,y))(x＋y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))＋10＝16，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，即x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)时取等号.二 、多选题LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：AC解析：由asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)，得sinB(acosC＋ccosA)＝bsinB＝eq\f(1,2)，又b＝1，所以sinB＝eq\f(1,2)，又c＞b，所以角B一定是锐角，所以B＝eq\f(π,6).再由eq\f(1,sin\f(π,6))＝eq\f(\r(3),sinC)，得sinC＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝eq\f(π,3)或C＝eq\f(2π,3)，当C＝eq\f(π,3)时，A＝eq\f(π,2)，所以a＝2，当C＝eq\f(2π,3)时，△ABC为等腰三角形，所以a＝1.故a的值为1或2.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：AD解析：对于A选项，C＝π﹣A﹣B＜eq\f(π,2)，则A＞eq\f(π,2)﹣B，sinA＞sin(eq\f(π,2)﹣B)＝cosB，故A选项正确；对于B选项，由于sin2A＝sin2B＝sin(π﹣2B)，由于A，B是三角形的内角，所以2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项不正确；对于C选项，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＞0，可得C为锐角，但A或B可能为钝角，故C选项不正确；对于D选项，B＝eq\f(π,3)，a＝2，且该三角形有两解，所以asinB＜b＜a，即2sineq\f(π,3)＜b＜2，也即eq\r(3)＜b＜2，故D选项正确.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：AB.解析：由sin(B＋A)＋sin(B﹣A)＝3sin2A，可得2sinBcosA＝6sinA·cosA.当cosA＝0时，得A＝eq\f(π,2)，因为C＝eq\f(π,3)，则B＝eq\f(π,6)，又c＝eq\r(7)，由正弦定理得b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(21),3)，由三角形的面积公式知△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(7\r(3),6)；当cosA≠0时，由2sinB·cosA＝6sinA·cosA，得sinB＝3sinA，根据正弦定理可知b＝3a，由余弦定理可知cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋9a2－7,6a2)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，可得a＝1，b＝3，此时△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),4)，综上可知，△ABC的面积为eq\f(7\r(3),6)或eq\f(3\r(3),4).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：ABD.解析：选项A，因为a2＋b2﹣c2＝absinC，所以eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(sinC,2)，即sinC＝2cosC，所以tanC＝2，故选项A正确；选项B，因为acosB＋bsinA＝c，所以sinAcosB＋sinBsinA＝sinC，即sinAcosB＋sinBsinA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinBsinA＝cosAsinB，因为sinB＞0，所以tanA＝1,0＜A＜π，即A＝eq\f(π,4)，故选项B正确；选项C，因为tanC＝2,0＜C＜π，所以sinC＝eq\f(2\r(5),5)，cosC＝eq\f(\r(5),5).所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(3\r(10),10)，因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以b＝3eq\r(2)，故选项C错误；选项D，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(10)×3eq\r(2)×eq\f(2\r(5),5)＝6，故选项D正确.三 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：eq\f(17\r(6),2).解析：在△MNP中，由正弦定理可得，MN＝eq\f(68sin120°,sin45°)＝eq\f(68\r(6),2)＝34eq\r(6)(海里)，则这艘船的航行速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17\r(6),2)(海里/小时).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：eq\r(3)解析：eq\r(3)sinA﹣cosA＝2sin(A﹣eq\f(π,6))＝1，即sin(A﹣eq\f(π,6))＝eq\f(1,2)，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，故A＝eq\f(π,3).根据余弦