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文档简介

应用离散数学代数结构§4.7格与布尔代数习题4.71．确定具有如图4.4所示哈斯图地偏序集是否为格。图4.4习题1地图解图(a)不是格,图(b)是格,图(c)是格。2．证明每个有限格都有一个最小元素与一个最大元素。证明:用反证法,假设某有限格中没有最大元素,只有极大元,则这几个极大元之间没有上确界,与格地定义矛盾,从而有限格中都有最大元素。同理可证明有最小元素。3．给出一个无限格地例子,使得（1）既没有最小元素也没有最大元素。（2）有最小元素但没有最大元素。（3）有最大元素但没有最小元素。（4）有最小元素也有最大元素。解:对于偏序集<R,≤>,既没有最小元素也没有最大元素。对于偏序集<N,≤>,有最小元素0,但没有最大元素。对于偏序集<Z-,≤>,有最大元素-1,但没有最小元素。对于偏序集<[1,2],≤>,有最大元素2,有最小元素1。4．给出一个有限格地例子,其中至少1个元素有多于1个地补元,且至少1个元素没有补元。解如下哈斯图所示地偏序集是一个格,元素有补元与,元素有补元与,元素有补元与,但元素与都没有补元。110abdce5．设是有界格,证明:（1）若≥2,则中不存在以自身为补元地元素。（2）若≥3,且是链（全序集）,则不是有补格。证明:用反证法,假设L中存在一个元素a以自身为补元,所以a-1=a.据有界格地定义,则a⨁a=a=1,a⨂a=a=0显然,二者矛盾。因此若≥2,则中不存在以自身为补元地元素。用反证法,假设L是有补格,则L中每个元素都是有补元地。若a与b是补格,则需求满足a⨁b=1,a⨂b=0,但是a,b间不一定可以比较,也就是说不一定是全序集,与条件矛盾。6．格是分配格吗？试分析之。解:不是分配格,例如有三个数,c|a,b与c,a都不具有整除关系,但是,但,不满足分配律,所以不是分配格。7．给出一个不是分配格地例子。解:<N,|>不是分配格。8．在布尔代数中证明证明:（1）在布尔代数中满足bc⨁b=1,bc若a⨂bc=0时因为(a⨁b)⨂(bc⨁b)=(a⨂bc)⨁b=0⨁b=b(a⨁b)⨂(bc⨁b)=(a⨁b)⨂1=a⨁b从而a⨁b=b所以a≤b另一方面,若a≤b时,因为bc≤bc从而a⨂bc≤b⨂bc=0,所以a⨂bc=0。（2）若a⨁bc=1时因为(a⨂b)⨁(ac⨂a)=(a⨁bc)⨂a=1⨂(a⨂b)⨁(ac⨂a)=(a⨂b)从而a⨂b=a所以a≤9．对于,给出所有不同构地元格,并说明其中哪些是分配格,有补格与布尔格。解:1元格:{a}2元格:是分配格,有补格与布尔格。3元格:是分配格,有补格与布尔格。4元格:（1）是分配格,有补格与布尔格。（2）是分配格,有补格与布尔格。5元格:（1）是分配格,有补格与布尔格。（2）是有补格,但不是分配格与布尔格。（3）不是分配格,不是有补格,不是布尔格。10．设是布尔代数,在上定义二元运算,有问能否构成代数系统？如果能,指出是哪一种代数系统。为什么？解:

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