高中数学必修3概率统计常考题型用样本的数字特征估计总体的数字特征

用样本的数字特征估计总体的数字特征【知识梳理】1．众数、中位数、平均数的概念(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个的平均数．(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．2．标准差、方差的概念与计算公式(1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(2)方差：标准差的平方s2叫做方差．s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中，xn是样本数据，n是样本容量，eq\x\to(x)是样本平均数．【常考题型】题型一、众数、中位数、平均数的计算【例1】(1)已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．[解析]∵中位数为5，∴eq\f(4＋x,2)＝5，即x＝6∴该组数据的众数为6，平均数为eq\f(－1＋0＋4＋6＋6＋15,6)＝5.[答案]65(2)下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：老板大厨二厨采购员杂工服务生会计3000元450元350元400元320元320元410元①计算所有人员的周平均收入；②这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？③去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？[解]①周平均收入eq\x\to(x)1＝eq\f(1,7)(3000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．②这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．③去掉老板的收入后的周平均收入eq\x\to(x)2＝eq\f(1,6)(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)．这能代表打工人员的周收入水平．【类题通法】利用样本数字特征进行决策时的两个关注点(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．【对点训练】从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)，设甲、乙两组数据的平均数分别为eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙，中位数分别为m甲，m乙，则()A.eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，m甲＞m乙 B.eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，m甲＜m乙C.eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，m甲＞m乙 D.eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，m甲＜m乙解析：选B由茎叶图知，甲的平均数为(5＋6＋8＋10＋10＋14＋18＋18＋22＋25＋27＋30＋30＋38＋41＋43)÷16＝21.5625，乙的平均数为(10＋12＋18＋20＋22＋23＋23＋27＋31＋32＋34＋34＋38＋42＋43＋48)÷16＝28.5625，所以eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙．甲的中位数为(18＋22)÷2＝20，乙的中位数为(27＋31)÷2＝29，所以m甲＜m乙.题型二、标准差（方差）的计算及应用【例2】甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数；(2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．(2)法一：由方差公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，得seq\o\al(2,甲)＝3，seq\o\al(2,乙)＝1.2.法二：由方差公式s2＝eq\f(1,n)[(x′eq\o\al(2,1)＋x′eq\o\al(2,2)＋…＋x′eq\o\al(2,n))－neq\x\to(x)′2]计算seq\o\al(2,甲)，seq\o\al(2,乙)，其中x′i＝xi－a，eq\x\to(x′)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)′i.由于两组原始数据都在数字7附近且平均数都是7，所以选取a＝7.x′i甲＝xi甲－71－101－1－223－30x′eq\o\al(2,i甲)＝(xi甲－7)21101144990x′i乙＝xi乙－7－1001－10102－2x′eq\o\al(2,i乙)＝(xi乙－7)21001101044所以，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(x′eq\o\al(2,1甲)＋x′eq\o\al(2,2甲)＋…＋x′eq\o\al(2,10甲))－10eq\x\to(x′)eq\o\al(2,)甲]＝eq\f(1,10)×(1＋1＋0＋1＋1＋4＋4＋9＋9＋0－10×0)＝eq\f(1,10)×30＝3.同理，seq\o\al(2,乙)＝1.2.(3)eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，说明甲战士射击情况波动大．因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考试，应选择乙参加比赛．【类题通法】1．计算标准差的算法2．标准差(方差)的两个作用(1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小．(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．【对点训练】随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)计算甲班的样本方差；(2)计算乙班的样本方差，并判断哪个班的身高数据波动较小．解：(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182,10)＝170.甲班的样本方差为seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(2)同(1)中的算法，求得eq\x\to(x)乙＝171，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)×(122＋92＋62＋32＋12＋22＋52＋72＋72＋102)＝49.8.seq\o\al(2,乙)＜seq\o\al(2,甲)，因此乙班的身高数据波动较小.题型三、数字特征的综合应用【例3】从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数．(2)这50名学生的平均成绩．[解](1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，∴中位数应约位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，故中位数应约为70＋6.7＝76.7.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.【类题通法】众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数众数是最高长方形底边的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值中位数①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；②表示样本数据所占频率的等分线平均数①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和；②平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点【对点训练】为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________．(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．解析：(1)(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.答案：(1)13(2)62.5(3)64【练习反馈】1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．c＞b＞a解析：选D将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，则平均数a＝eq\f(1,10)(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，显然a＜b＜c，选D.2．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为()A．减少计算量 B．避免故障C．剔除异常值 D．活跃赛场气氛解析：选C因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平．3．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________.解析：数据从小到大排列后可得其中位数为eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均数为eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.答案：91.5,91.54．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________解析：由题意知eq\f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.所以样本方差为s2＝eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：25．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：(1)请填写下表：平均数中位数命中9环以上的次数(含9环)甲7乙(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？③从