矩阵特征值归一化

本文格式为Word版，下载可任意编辑——矩阵特征值归一化>>x=[1,1/2,4,3,3;2,1,7,5,5;1/4,1/7,1,1/2,1/3;1/3,1/5,2,1,1;1/3,1/5,3,1,1]x=

1.00000.50004.00003.00003.00002.00001.00007.00005.00005.00000.25000.14291.00000.50000.33330.33330.20002.00001.00001.00000.33330.20003.00001.00001.0000

>>[VD]=eig(x)V=

-0.46580.4419+0.2711i0.4419-0.2711i-0.3672+0.2415i-0.3672-0.2415i

-0.84090.77730.77730.85750.8575

-0.0951-0.0200-0.1557i-0.0200+0.1557i-0.0190+0.0064i-0.0190-0.0064i

-0.1733-0.0261+0.0783i-0.0261-0.0783i-0.0737-0.2146i-0.0737+0.2146i

-0.1920-0.2829+0.1247i-0.2829-0.1247i0.0748+0.1185i0.0748-0.1185iD=

5.07210000

0-0.0307+0.6008i000

00-0.0307-0.6008i00

000-0.0053+0.0548i0

0000-0.0053-0.0548i

>>sum(abs(V).^2)

ans=

1.00001.00001.00001.00001.0000

>>z=V[:;1]???z=V[:;1]|

Error:Unbalancedorunexpectedparenthesisorbracket.

>>rats(x)

ans=

11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311

>>v1=v./norm(v,2);

???Undefinedfunctionorvariable'v'.

>>v1=V./norm(V,2);>>rats(v1)

ans=

-186/745124313/524923124313/524923-4165/21165-4165/21165-201/446912/2189912/2189256/557256/557-21/412-2780/259235-2780/259235-587/57526-587/57526-30/323-7198/514657-7198/514657-3130/79189-3130/79189-158/1535-9494/62620-9494/6262010155/25319810155/253198

>>x=[v1]x=

-0.24970.2368+0.1453i0.2368-0.1453i-0.1968+0.1294i-0.1968-0.1294i

-0.45070.41660.41660.45960.4596

-0.0510-0.0107-0.0835i-0.0107+0.0835i-0.0102+0.0034i-0.0102-0.0034i

-0.0929-0.0140+0.0420i-0.0140-0.0420i-0.0395-0.1150i-0.0395+0.1150i

-0.1029-0.1516+0.0668i-0.1516-0.0668i0.0401+0.0635i0.0401-0.0635i

>>MATLAB求矩阵A的特征值只需要一条语句：[V,D]=eig(A)其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素是特征值，V的每一列就是对应的归一化特征向量。norm(x,2）是求向量x的欧几里得长度，实际上就是向量x各个元素平方和然后开方。运行不了估计是v或者x为空，假使在这里是对向量v进行归一化，应当把x改为v，即v1=v./norm(v,2);

先给你说个土的，就是Matlab的内置算法，可以算所有特征值和特征向量(没什么技术含量的，也没有什么思想，只是工程学上的纯应用罢了)。A=[121/441/2;1/211/531/3;45173;1/41/31/711/5;231/351];[V,D]=eigs(A)结果:V=0.2532-0.1274-0.1409i-0.1274+0.1409i-0.0586+0.3893i-0.0586-0.3893i0.1608-0.1373+0.0246i-0.1373-0.0246i0.2097-0.1984i0.2097+0.1984i0.86160.91160.91160.74410.74410.07740.0024+0.0881i0.0024-0.0881i-0.0832+0.0314i-0.0832-0.0314i0.40200.0918-0.3118i0.0918+0.3118i-0.3444-0.2854i-0.3444+0.2854iD=5.1374000000.0088-0.8328i000000.0088+0.8328i00000-0.0775-0.0956i00000-0.0775+0.0956i所以最大特征值是5.1374，对应特征向量为[0.25320.16080.86160.07740.4020]‘。再给你提供一种很专业的数值算法“幂法〞，这是专门用来算矩阵最大特征值的经典算法。我大学里《数值分析》课程教授专门花了半节课讲解过这个算法和它的原理，“幂法〞一出手，绝对是专业级的解答!“幂法“的算法过程其实很简单，就是拿一个向量，不停地用A乘，最终就会渐渐趋近于最大特征值对应的特征向量。“幂法〞在矩阵拥有唯一最大特征值的前提下，迭代足够屡屡，就一定能收敛的，可以用线性代数的矩阵相像性原理证明。我这段代码迭代了100次，取了随便一个向量[10000]'作为初始值(一般是取个随机向量，其实没啥大区别)。“幂法〞在矩阵阶数很高的状况下，比内置算法要快得多(一个5维矩阵是看不出速度上区别的)!A=[121/441/2;1/211/531/3;45173;1/41/31/711/5;231/351];v=[10000]';fori=1:100v=A*v;v=v/sqrt(sum(v.^2));endlamda=sqrt(sum((A*v).^2))/sqrt(sum(v.^2))v结果:lamda=5.1374v=0.25320.16080.86160.07740.4020最大特征值5.1374，对应特征向量[0.25320.16080.86160.07740.4020]‘。可以看到，迭代了100次后，\幂法\和直接算法得出了完全一样的结果!用“幂法〞，显得算法思想十分的明了