平均指标和标志变异指标

平均指标和标志变异指标第1页，共72页，2023年，2月20日，星期四5.1平均指标的意义和作用5.1.1平均指标的意义

平均指标（Averageindicator）又称平均数，反映现象总体各单位某一数量标志值的典型水平、一般水平和代表性水平。

平均指标是社会经济现象中最常用的一种综合指标

第2页，共72页，2023年，2月20日，星期四平均指标的显著特点是：

●它不是某一单位的具体数值，而是代表总体某种数量标志的一般水平，是总体各单位的代表值

●把总体各单位标志值的差异给抽象化了，它是一个抽象化的数值

正是由于平均指标的“抽象化”特征，当我们计算出某地平均每户人口规模3.86人时，不必对数值进行四舍五入，尽管“3.86人不存在”。

第3页，共72页，2023年，2月20日，星期四5.1.2平均指标的作用1.可以反映总体各单位分布的集中趋势2.可以对现象在不同空间、时间上进行比较分析3.可以分析现象之间的依存关系

4.可以作为评价事物的参考依据

5.可以进行数量上的估算

第4页，共72页，2023年，2月20日，星期四5.1.3平均指标的种类

平均指标按其所属总体的时间范围不同分为两种静态平均数动态平均数反映同一时间范围内总体各单位某一数量标志一般水平的平均指标反映不同时间而同一空间范围内总体某一数量标志一般水平的平均指标本章主要讨论静态平均数，动态平均数将在时间数列一章专门讨论。第5页，共72页，2023年，2月20日，星期四

静态平均数按其计算方法的不同分为两种：数值平均数和位置平均数

凡根据总体各单位标志值计算的平均数，称为数值平均数。常见的主要有：算术平均数、调和平均数和几何平均数等凡根据总体标志值在分配数列中的位置确定的平均数，称为位置平均数。常见的主要有众数和中位数等第6页，共72页，2023年，2月20日，星期四5.2数值平均数

5.2.1算术平均数

1.算术平均数（arithmeticmean）的意义

是总体标志总量与总体单位总量对比的结果基本计算公式第7页，共72页，2023年，2月20日，星期四算术平均数与强度相对指标都是比值，都有“平均”含义，但两者明显区别在于

算术平均数的分子和分母是同一个总体的两个总量指标，分子是标志总量，分母是单位总量，而且分子、分母位置不能互换

强度相对指标分子和分母分属两个不同总体的总量指标，且分子分母位置颠倒有意义，它有正、逆指标之分第8页，共72页，2023年，2月20日，星期四2.简单算术平均数

将各单位的标志值xi直接相加得出标志总量，再除以总体单位数n，就得到简单算术平均数。用公式表示为式中：X—算术平均数；X1，X2，…，Xn—总体各单位标志值；n—总体单位数；∑—总和符号。第9页，共72页，2023年，2月20日，星期四【实例5.1】一个公司有5个部门，每个部门员工数分别为：24，13，19，26和11，求平均每部门的人数。解：平均人数=

=

=18.6（人）第10页，共72页，2023年，2月20日，星期四3.加权算术平均数

如果调查所得的原始资料已经经过分组整理，形成了变量数列，则计算算术平均数要采用加权算术平均数的方法。第11页，共72页，2023年，2月20日，星期四计算过程是：将各组的变量值与各组的单位数相乘，计算出各组标志总量，各组标志总量汇总得出总体标志总量，然后除以各组单位数之和即总体单位总量，得到平均数计算公式为第12页，共72页，2023年，2月20日，星期四【实例5.2】服装商店要销售100件毛衣，其中20件大号毛衣，每件200元，50件中号毛衣，每件190元，30件小号毛衣，每件180元。计算每件毛衣平均价格。解：根据题意，可列出计算表如下

销售价格（元）200190180合计件数205030100销售总价值（元）40009500540018900===189（元）

第13页，共72页，2023年，2月20日，星期四++=【说明】10当权数相等时，加权算术平均数简单算术平均数===10030*18050*19020*200++20权数不但可以用次数、频数（即总体各组单位数）这种绝对数表示，还可以用比重、频率这种相对数表示。此时，加权算术平均数公式可以演化为：第14页，共72页，2023年，2月20日，星期四加权算术平均数的特征加权算术平均数受两个因素的影响：①变量值的大小；②权数的结构。权数有绝对数权数和相对数权数两种。绝对数权数就是变量值个数以绝对数形式表示，即次数或频数；相对数权数则是变量值个数以相对数形式表示，即频率。第15页，共72页，2023年，2月20日，星期四在计算加权算术平均数时，还会遇到权数的选择问题。选择权数的原则是，务必使各组的标志值与其乘积等于各组的标志总量，并且具有实际经济意义。在分配数列条件下，一般来说，次数就是权数。但也有例外，特别是用相对数或平均数计算加权算术平均数时，要特别注意。第16页，共72页，2023年，2月20日，星期四问题2：十元钱买3千克蔬菜，平均每千克多少钱？单价=总金额/总重量=10/3≈3.33问题1：每千克蔬菜价格为1.8元，1元钱能买多少千克蔬菜？总重量=总金额/单价=1/1.8元

【例5.5】3个蔬菜超市销售同一种蔬菜，但价格不同，每千克价格分别为1.8元，2元，2.3元。若在3个超市各买1元钱的这种蔬菜，则蔬菜的平均为多少价格5.2.2调和平均数

第17页，共72页，2023年，2月20日，星期四是各个标志值倒数的算术平均数的倒数，故又称为倒数平均数1.简单调和平均数

各个标志值倒数的简单算术平均数的倒数。其计算公式为

第18页，共72页，2023年，2月20日，星期四2.加权调和平均数

加权调和平均数是各个标志值倒数的加权算术平均数的倒数其计算公式为

第19页，共72页，2023年，2月20日，星期四【例5.6】学校食堂购进某种蔬菜，相关资料如表5.5所示，求蔬菜的平均价格。表5.5蔬菜价格资料及其计算表购买地点甲超市乙超市丙超市合计价格X（元/千克）1.822.3-购买金额m（元）20151045购买量m/x（千克）11.117.54.3522.96解：第20页，共72页，2023年，2月20日，星期四调和平均数与算术平均数在计算上是相通的，但各自适合不同的资料。在实际中，一般采用下列步骤进行计算。⑸将数值代入公式，计算得答案。

⑴先在给出的材料中找出。方法是“求谁的平均数谁就是”

⑵确定权数为还是为。方法是分配数列中的这栏数值若与相乘有意义，则为，若与相除有意义，则为

⑶写出计算公式。如何写？若权数定为，写公式，即采用算术平均数，若权数定为，则写公式，即采用调和平均数

⑷延展计算表。根据写出的公式，需要什么内容就在表格中列出什么。例如，若采用的是算术平均数公式，则表格中列出计算，若采用的是调和平均数公式，则表格中列出计算练习P125T3第21页，共72页，2023年，2月20日，星期四【练习】学校食堂两次购进某种蔬菜，相关资料如下表所示，求蔬菜的平均价格。表1蔬菜价格资料及其计算表购买地点甲超市乙超市丙超市合计价格（元/千克）1.822.3-购买金额（元）20151045购买量m/x（千克）11.117.54.3522.96表2蔬菜价格资料及其计算表购买地点甲超市乙超市丙超市合计价格（元/千克）1.822.3-购买量（元）20151045购买量xf（千克）30302580xxm

f第22页，共72页，2023年，2月20日，星期四5.2.3几何平均数

几何平均数是若干项变量值的连乘积开若干次项数的方根。它是计算平均数的另一种形式。它主要用于计算比率或速度的平均。当所掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率时，就应采用几何平均法计算平均比率。根据所掌握的资料不同，几何平均数分为简单几何平均数和加权几何平均数

第23页，共72页，2023年，2月20日，星期四

1.简单几何平均数简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。式中：(Xi—数列中第i个变量值(i=1，2，…，n)n—变量值个数∏—连乘符号)第24页，共72页，2023年，2月20日，星期四【实例】产品的生产往往需要几道生产工序，只有在第一道工序合格的产品才能进入第二道工序。现已知纺织厂纺纱车间产品合格率为91%，织布车间产品合格率为89%，印染车间产品合格率为87%，求三个车间平均产品合格率。解：由于后续车间的合格率是在前一车间产品合格基础上计算的，所以全厂产品的总合格率并不等于各车间产品合格率的总和，而是各车间产品合格率的连乘积，因此要采用几何平均法计算各车间产品平均合格率。即产品平均合格率第25页，共72页，2023年，2月20日，星期四

2.加权几何平均数与算术平均数一样，当资料已经经过整理，则应以各变量值出现的次数为权数，计算加权几何平均数。其计算公式为：

【实例】一条产品流水线由12道工序组成，其中，合格率为98%的有2道工序，合格率为96%的有5道工序，合格率为92%的有3道工序，合格率为89%的有2道工序。求产品总平均合格率。解：产品总平均合格率为：

【练习】P124T四3、4第26页，共72页，2023年，2月20日，星期四5.3位置平均数

数值平均数都是根据标志值计算得到的，而位置平均数是根据总体各单位标志值所处的位置确定的。位置平均数主要包括众数、中位数和四分位数。

5.3.1众数

1.众数mode的意义

指总体中出现次数最多的标志值，是总体各单位一般水平的代表值，反映现象的集中趋势。用表示。众数可能不存在或不惟一

鞋的号码大小，不需要全面登记所有鞋码进行平均，只用生活中最普遍的、成交量最大的尺码，即众数，它反映了人们一般的需求。第27页，共72页，2023年，2月20日，星期四2.众数的确定

⑴由未分组资料确定众数在资料未分组情况下，众数的确定很简单。只需找出次数最多的标志值即可。例如，一组学生年龄分别为18，19，19，20，20，20，20，22。则众数为20。若学生年龄为：18，19，19，19，20，20，20，22，则有双众数，分别是19、20。若学生年龄为：16，17，18，19，20，21，22，23，则不存在众数。

第28页，共72页，2023年，2月20日，星期四⑵由单项式数列确定众数

由单项式变量数列确定众数，可直接观察次数，出现次数最多的标志值就是众数。第29页，共72页，2023年，2月20日，星期四（2）由单项式数列确定众数。在单项数列情况下，次数最多的组的标志值便是众数，表5.6所示。表5.6某商场销售成年女鞋资料表女鞋号码(码）销售量（百双）

351.1362375382.1390.6400.2

合计10.9

从表5.6中可以看出，出现次数最多（5百双）的变量值是37码的鞋，因此，37码就是该商场女鞋销售的众数。第30页，共72页，2023年，2月20日，星期四⑶由组距数列确定众数由组距数列确定众数，首先要由最多次数来确定众数所在组，然后再用比例插值法计算众数。第31页，共72页，2023年，2月20日，星期四下限公式：

上限公式：

式中：(M0—众数；L—众数组的下限；U—众数组的上限；△1—众数组次数与前一组次数之差；△2—众数组次数与后一组次数之差；d—众数组组距。)第32页，共72页，2023年，2月20日，星期四【例5.9】某班30名大学生的体重资料如表5.7所示，求30名大学生表5.7某班30名大学生的体重资料体重（千克）人数（人）44～48248～52352～56656～601060～64764～682合计30【练习】P125T5(1)第33页，共72页，2023年，2月20日，星期四3.众数的特点及应用⑴众数是根据变量值出现的次数确定的，而不是通过所有变量值计算得到的，所以，众数不受到极端变量值的影响。众数的这一特点，是数值平均数所不具备的。在实际工作中，众数用得最多的是具有明显偏态集中趋势的次数分配。例如，按照统计国际惯例，对家庭收入分配数列，工人周工资分配数列，某种债券息票率分组的行情次数等进行的分析，都采用出现次数最多的众数，得到“最普通的家庭收入额”，“最普通的工人周工资金额”，“最常见的外汇率、息票率”等。

第34页，共72页，2023年，2月20日，星期四⑵众数是出现次数最多的变量值，如果数据分布没有明显集中趋势，众数可能不存在；如果有两个最高次数，也可以有两个众数（bimodal）。只有在总体单位比较多，而且又明显地集中于某个变量值时，计算众数才有意义。⑶众数主要用于测度定类数据的集中趋势，当然也适用于作为定序数据以及定距和定比数据集中趋势的测度值。众数是惟一一个能用在名词数据上的平均数。例如，一项对大学生的研究包括了10个心理学专业的学生，20个英语专业的学生和6个管理专业的学生。我们无法计算这些专业的平均数，但我们可以指出众数是英语专业，因为它是出现次数最多的专业。在这里，“英语专业”是定类数据的集中趋势。

第35页，共72页，2023年，2月20日，星期四5.3.2中位数1.中位数median的意义将现象总体中各单位的标志值按大小顺序排列，位于中间位置的那个标志值就是中位数。通常用Me表示。中位数将全部标志值分成两半，一半小于中位数，一半大于中位数，所以中位数又称为二分位数。在实际工作中，有许多场合，用中位数来表示现象的一般水平。例如，在研究居民收入水平时，以居民收入中位数来代表居民收入水平比采用算术平均数进行计算更科学。第36页，共72页，2023年，2月20日，星期四

2.中位数的确定

⑴由未分组资料确定中位数在数据量不大的情况下，确定中位数的步骤是：①先对变量值由小到大顺序排列；②根据中位数位置找出中位数。当项数n为奇数，则居于(n+1)/2位置的那个变量值就是中位数；当项数为偶数时，位于中间位置的第(n/2)项和第(n/2)+1项的两个变量值的算术平均数就是中位数。第37页，共72页，2023年，2月20日，星期四⑵由单项式数列确定中位数

当数据量较大时，资料常以分组数列的形式出现，如果是单项式变量数列，则确定中位数的步骤是；计算累计次数，累计次数第一次超过(∑f+1）/2的那一组即为中位数所在组；与该组对应的标志值即为中位数。其中∑f为总次数。

⑶由组距式数列确定中位数由组距数列确定中位数，应先找出中位数所在组，累计次数第一次超过(∑f+1）/2的那一组即为中位数所在组，然后再用比例插值法计算中位数的值。【例5.10】P108第38页，共72页，2023年，2月20日，星期四

下限公式：

上限公式：

式中：(Me—中位数；L—中位数组的下限；U—中位数组的上限；fm—中位数组的次数；∑f—总次数即总体单位数；Sm-1—中位数组前各组的次数之和；Sm+1—中位数组后各组的次数之和；d—中位数组的组距。)【例5.11】P109第39页，共72页，2023年，2月20日，星期四3.中位数的特点及应用

⑴中位数是一种位置平均数，其大小取决于它在序列中的位置，因此它不受极端数值的影响。当存在极端数值时，中位数能比数值平均数更好地代表数据分布的一般水平。

⑵中位数处于中间位置，有一半数值小于中位数，另有一半数值大于中位数，所以，它能表明数字资料的集中趋势。第40页，共72页，2023年，2月20日，星期四因为，人口的年龄分配不是中间高、两边低的分配形态，而是J字型的分配形态。婴儿0-1岁人数最多，随着年龄增大，人数逐渐减少，到百岁左右，所剩人数很少。在实际工作中，中位数用得较多的是测定人口年龄分配的平均年龄数。按照统计国际惯例，各国政府统计工作对年龄分组采用中位数，而不用算术平均数。若计算算术平均数，则会由于老人岁数很大的影响，使得算术平均年龄偏大，而与实际情况不符。第41页，共72页，2023年，2月20日，星期四

⑶中位数主要用于测度定序数据的集中趋势，当然也适用于定距数距和定比数据的集中趋势，但不适用于定类数据第42页，共72页，2023年，2月20日，星期四4.四分位数

中位数是从中间点将全部数据等分为2部分，它也称二分位数。同样，可通过三个数值，将全部标志值分割成为四个相等部分。其中每部分包含25%的数据，处在分位点上的这三个分割的数值就是四分位数。分别记为Q1、Q2、和Q3。很显然，中间的四分位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指第一个四分位数Q1和第三个四分位数Q3。

四分位数的确定方法与中位数类似。也要分为两种情况，即未分组资料和分组资料。对于未分组资料，首先将数据按大小顺序排序，然后计算分位数所在的位置，最后确定相关的四分位数。

第43页，共72页，2023年，2月20日，星期四排序后处于25%和75%位置上的值不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据Q1Q2Q325%25%25%25%第44页，共72页，2023年，2月20日，星期四四分位数

(位置的确定)ïïîïïíì+=+=4)1(34131nQnQ位置位置第45页，共72页，2023年，2月20日，星期四四分位数

(9个数据的算例)【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789第46页，共72页，2023年，2月20日，星期四四分位数

(10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910距离越近，权数越大，距离越远，权数越小，距离之和等于1第47页，共72页，2023年，2月20日，星期四5.3.4应用平均指标要注意的问题

1.平均指标必须应用于同质总体2.平均指标应与分配数列相结合

由于平均指标将各单位标志值的差异抽象化了，反映的是总体各单位该标志值的一般水平，因而掩盖了总体各单位的差异及其分配情况，有时这种差异是不能被忽视的。有如下两个班组工人的日产量资料。第48页，共72页，2023年，2月20日，星期四

3.平均指标要与分组法相结合

为什么反而大呢第49页，共72页，2023年，2月20日，星期四5.4标志变异指标仅用集中趋势指标来描述现象的特征是不够的

例如，在一次知识竞赛中，男、女两参赛代表队成绩资料如下：男代表队：51，65，69，75，81，87，94，95，96，97女代表队：74，76，78，79，82，82，83，84，86，86

两参赛代表队的平均分数都是81分，但两队成绩的分散程度却不同。女代表队的成绩比较集中、整齐，即变异较小，从而平均数81分的代表性较好；男代表队的成绩比较分散，参差不齐，变动较大，用平均分81分做代表，代表性较低。平均指标在反映总体分布一般水平的同时，掩盖了各标志值的差异性，标志变异指标能弥补这方面的不足第50页，共72页，2023年，2月20日，星期四5.4.1标志变异指标的意义和作用1.标志变异指标variabilityindicator的意义

是反映总体各单位标志值差异程度的综合指标，又称为标志变动度。是和平均指标相联系的一种综合指标平均指标将总体各单位标志值的差异抽象化，从一个侧面反映总体各单位标志值的集中趋势和程度标志变异指标则从另一个侧面反映总体各单位标志值的差别大小、变动范围和离散程度平均指标与标志变异指标分别反映同一总体在数量上的集中趋势与离散趋势第51页，共72页，2023年，2月20日，星期四2.标志变异指标的作用

⑴标志变异指标能够反映平均数代表性的大小

平均指标作为总体各单位标志值一般水平的代表性指标，其代表性的大小与标志变异指标大小成反比。标志变异指标越大，平均数的代表性越小；标志变异指标越小，平均数的代表性越大第52页，共72页，2023年，2月20日，星期四

⑵标志变异指标可以说明现象变动的均衡性、稳定性和节奏性标志变异指标越大，说明标志值之间的差异程度大，则反映总体均衡性、稳定性差，节奏感不强；标志变异指标越小，说明标志值之间的差异程度小，则反映总体均衡性、稳定性好，节奏感强。企业为进行产品质量控制和实施全面质量管理，在考核生产计划执行情况时，除了计算平均完成程度外，还研究计划执行的均衡性和节奏性第53页，共72页，2023年，2月20日，星期四⑶标志变异指标可以用来确定统计推断的准确程度

在抽样调查中，利用样本指标来推断总体指标时，标志变异指标数值的大小是确定统计推断准确程度及计算误差大小不可缺少的重要资料。具体内容将在“抽样推断”一章中详述

第54页，共72页，2023年，2月20日，星期四5.4.2标志变异指标的计算及特点1.全距range

是指总体各单位标志值中最大数值与最小数值之差，又称极差。用“R”表示。它表明各个数值之间最大可能的差距，是一种测量标志变动度的最简方法。

对于未分组资料或单项数列资料，R=最大标志值—最小标志值

对于组距数列资料，R最高组的上限—最低组的下限P114例5.17第55页，共72页，2023年，2月20日，星期四全距主要用来说明总体各单位标志值变动总范围。全距是一个较粗糙的测定标志变动度的指标全距越大，各标志值变动范围越大，平均数代表性较差；全距越小，各标志值变动范围越小，平均数代表性就好；全距为0时，平均数的代表性最好。第56页，共72页，2023年，2月20日，星期四优点是计算方法简单，意义明确。全距经常用于检查产品质量的稳定性或进行产品质量控制。世界一些国家在提供证券市场行情时，广泛应用最高价、最低价和全距

缺点是易受极端数值的影响，它只能反映最大值和最小值之间的差距，而不能反映其内部各项数值的差异状况。当标志值有异常值存在时，会直接影响全距大小，使得全距不能充分反映总体分布的离散趋势

第57页，共72页，2023年，2月20日，星期四2.四分位数间距interquartilerange

是将总体各单位标志值按一定顺序排列后，第三个四分位数与第一个四分位数之差。用“IQR”表示。IQR=Q3

—Q1第三个四分位数是处于中位数和最大数值中间的数值，第二个四分位数即中位数，第一个四分位数是处于中位数和最小数值中间的数值。四分位数间距先将数列一分为四，并略去最大与最小那一组的数值，然后再计算余下数值的全距。四分位数间距所包含的数值项数刚好是全部项数的一半

Q1Q2Q325%25%25%25%P114例5.18第58页，共72页，2023年，2月20日，星期四四分位数间距优点是克服了全距受极端数值影响的缺点，计算简便。在实际工作中，当人们对极端数值不感兴趣，而对处于当中部分的单位特征更在意时，常使用四分位数间距。例如，在房地产行业中，用四分位数间距描述购房者中间的一半人，他们所购房屋价格的跨度。但是四分位数间距仍然不能反映总体内部各项标志值的差异状况，所以，它也是一个较粗糙的测定标志变动度的指标。第59页，共72页，2023年，2月20日，星期四

3.平均差meanabsolutedeviation

是总体各单位标志值与其算术平均数离差绝对值的算术平均数，用符号“MAD”表示。平均差表示总体分布中，各标志值对算术平均数的平均距离。平均差越大，说明各标志值差异程度越大，平均数代表性越差；平均差越小，说明各标志值差异程度越小，平均数代表性越好。根据所掌握资料不同，平均差可分为简单平均差和加权平均差两种第60页，共72页，2023年，2月20日，星期四简单平均差：

（未分组资料ungrouped）

加权平均差：

（分组资料grouped）P116例5.19、例5.20第61页，共72页，2023年，2月20日，星期四平均差是根据全部标志值计算出来的，反映了每个标志值与平均数的平均离散程度，与全距相比，受极端数值的影响较小，是比全距更优良的标志变异指标。在统计实践中，一般在产品质量控制分析中应用平均差。但计算平均差时，须对离差取绝对值，这给平均差的代数运算带来了许多不便，从而使其应用受到了限制。平均差并不是测定总体离散趋势的最好方法，在实际中，最常用的标志变异指标是标准差。第62页，共72页，2023年，2月20日，星期四4.标准差standarddeviation

是总体各单位标志值与其算术平均数离差平方的算术平均数的平方根。又称为均方差，用“

”表示。标准差的平方称为方差（variance），用“

”表示。标准差是标志变异指标中最重要，最常用的指标。标准差的实质与平均差基本相同，也表示各个标志值与平均数的平均离散程度。由于标准差采用平方而不是加绝对值的方法，来消除各标志值与算术平均数离差的正负号，因此它的应用比平均差更广泛。第63页，共72页，2023年，2月20日，星期四根据所掌握资料不同，标准差可分为简单标准差和加权标准差两种。

简单标准差：

（未分组资料ungrouped）

加权标准差：

（分组资料grouped）第64页，共72页，2023年，2月20日，星期四【例5.21】根据例5.19资料计算标准差例5.21是在资料未分组情况下的简单标准差的计算。当资料分组时，算术平均数与标差的计算均须采用加权平均法。第65页，共72页，2023年，2月20日，星期四【例5.22】某地区