浅谈向量混合积的应用

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摘要向量代数在数学学习过程中有着很重要的作用，本文重点列举了向量的混合积在微分

几何、立体几何、空间解析几何及数学分析等方面的应用，从而表达了向量的混合积应用的广泛性.关键词向量；混合积

向量的混合积在实际应用中在不同的方面都有着广泛的作用，下面就混合积

在各领域的运用予以举例说明.

混合积的定义给定空间的三个矢量a,b,c，假使先做前两个矢量a和b的失性积，再做所得的矢量与第三个矢量c的数性积，最终得到的这个数叫做三矢量

?????????a,b,c的混合积，记做(a?b)?c或(a,b,c)或(abc).

?????????性质1三个不共面矢量a,b,c的混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平行六面体的体积V，并且当a,b,c构成右手系时混合积是正数；当a,b,c构成左手系时，混合积是负数，也就是有

(abc)??V,

???????????????当a,b,c是右手系时??1;当a,b,c是左手系时???1.

性质2三矢量a,b,c共面的充要条件是(a,b,c)?0.

性质3轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变乘积符号，即

(abc)?(bca)?(cab)??(bac)??(cba)??(acb).

??????????????????????????????推论(a?b)?c=a?(b?c).

性质3假使a?X1i?Y1j?Z1k,b?X2i?Y2j?Z2k,c?X3i?Y3j?Z3k,那么

(abc)?X2X3?????????????????????X1Y1Y2Y3Z1Z2.Z3?一、在微分几何中的应用

引理1向量函数r(t)具有固定长的充要条件是对于t的每个值，r?(t)都与

r(t)垂直.

??2证明（必要性）若r(t)?常数，则有r(t)?r(t)?常数，等号两边求微分有2r(t)?r?(t)?0,故r(t)?r?(t).

??dr(t)2?0，故r(t)=常数，即r(t)（充分性）若r(t)?r?(t)则r(t)?r?(t)?0,即dt??????????2??2有固定长.

引理2向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是对于t的每个值，

r?(t)?r(t)=0.

????证明（必要性）若r(t)具有固定方向，则可设r(t)??(t)a（a为单位常向量）

r?(t)???(t)a+?(t)a????(t)a

?????????r?r?(t)??(t)a???(t)a??(t)???(t)a?a?0.

??????（充分性）若r?(t)?r(t)=0，设r(t)??(t)a(t)（a(t)为单位向量，需证

a?(t)?0）

????????r?(t)???(t)a(t)+?(t)a?(t)

???又由于r?r?(t)??(t)???(t)a(t)?a(t)??(t)a(t)?a?(t)??(t)a(t)?a?(t)?0所以a(t)?a?(t)?0

而[a(t)?a?(t)]?[a(t)?a?(t)]?[a(t)?a?(t)]?a(t)?a?(t)?[a(t)?a?(t)]?0.又由于a(t)为单位向量，故a(t)?1，由引理1又有a(t)?a?(t)?0故[a(t)?a?(t)]=a?(t)?0，即a?(t)?0，所以a(t)=常向量,

即r(t)??(t)a（a为单位常向量），r(t)具有固定方向.

定理1向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是对于t的每个值，

????????2????????2??2?????2?????2?2??2??2????2??(r,r?,r??)?0.

???证明（必要性）设固定平面的单位法向量为n，依题意r(t)?n，则

r(t)?n?0，从而r?(t)?n?0,r??(t)?n?0，即r(t)，r?(t)，r??(t)与n都垂直，它们

?????????????共面，故(r,r?,r??)?0.

r??(t)共面，r?(t)，r?(t)共线，（充分性）由已知r(t)，若r(t)，即r(t)?r?(t)=0.

???????????又由于r(t)?0，由引理2可知r(t)具有固定方向，故r(t)平行于固定平面.

若r(t)，r?(t)不共线，即r(t)?r?(t)?0，则由r(t)，r?(t)，r??(t)共面则有

r??(t)??(t)r(t)??(t)r?(t)，记n(t)?r(t)?r?(t),则

n?(t)?[r(t)?r?(t)]??r?(t)?r?(t)?r(t)?r??(t)?r(t)?r??(t)??(t)r(t)?r?(t)??(t)n(t)，

??????????????????????????????从而n(t)?n?(t)?0,，但n?(t)?0,故由引理2得n(t)具有固定方向，n(t)?n0（常向量）

又r(t)?n0，故r(t)平行于以n0为法方向的平面，r(t)平行于固定平面.二、在立体几何中的应用

1求解体积问题

定理三个不共面的向量a,b,c的混合积的绝对值是以a,b,c为棱的平行六面体的体积.

例1求证平行六面体ABCD?A?B?C?D?的体积是以AC,AD?,AB?为棱的平行六面体的体积的一半.

证明设平行六面体ABCD?A?B?C?D?的体积为V,以AC,AD?,AB?为棱的平行六面体的体积记为V?.

又设AB?a，AD?b,AA??c，则

V??(AC,AD?,AB?)

???????????????????????????????????(a?b,b?c,c?a)

??????=(a?b)?(b?c)?(c?a)

=(a?b?a?c?b?b?b?c)?(c?a)

????????????????????????????=a?b?c?a?b?a?a?c?c?a?c?a?b?c?c?b?c?a

???=2a?b?c

???=2(a,b,c)

=2V命题得证.2求异面直线的距离

定理设两条异面直线L1,L2的方程分别为

L1:x?x1y?y1z?z1??m1n1p1x?x2y?y2z?z2??m2n2p2L2:??其中s1?(m1,n1,p1),s2?(m2,n2,p2)分别是直线L1,L2的方向向量，M1(x1,y1,z1)，

M2(x2,y2,z2)分别是直线L1,L2上的已知点，则异面直线是我距离为

m1(s1?s2)?M1M2d?s1?s2?????n1n2y2?y1im1m2jn1n2kp1p2p1p2z2?z1m2?x2?x1

例2设空间两条异面直线L1,L2的方程分别为

L1:x?2y?3z?4??112x?1y?1zL2:??33?1??解两条直线的方向向量分别为s1?(1,1,2),s2?(3,2,?1)，两条直线分别过点

M1(2,3,4)，M1(?1,1,0)，得M1M2?(?3,?2,?4),所以三向量s1，s2，M1M2不共

????面，由定理得

1(s1?s2)?M1M2d?s1?s2?????12jk22?1=

3=

?3?2?1i11562?5626232?1所以两条异面直线之间的距离为

d?562.62例3已知AC1为棱长为a的正方体,求异面直线BD和AC1之间的距离.解如图

建立如下图的坐标系,易得异面直线BD和AC1的方程分别为

AC1:x?0y?0z?0??aaax?0y?0z?0BD:???aa0???所以三个不共面的向量分别为AC1?(a,a,a),BD?(?a,a,0),AB?(a,0,0).根据定理得

(AC1?BD)?ABd?AC1?BD??????6a.6计算结果与中学立体几何中求得的结果完全一致,但是用向量代数知识处理更加便利、快捷.

三、在空间解析几何中的应用

在空间解析几何中的应用我们主要看看一题多解的状况，从而来看混合积解题的优点.

?y?3x?5例4一直线通过A(?3,5,?9)且与两直线L1:?，L2?z?2x?3?y?4x?7:?相?z?5x?10

交，求此直线方程.

解1过点A与直线L1,L2分别决定两个平面?1与?2，则这两个平面的交线即为所求.

将L1化为对称式，

?y?5z?3L1:x??,方向向量a?(1,3,2)

32在L1上取一点P1?(0,5,?3)，则AP1?(3,0,6)

?????i?j?k所以过点A与直线L1的平面?1的法向量n1?a?AP1?13因而平面?1的方程为18(x?3)?9(z?9)?0，即

2x?z?3?0.

302?(18,0,?9)6同理，过点A与直线L2所确定的平面?2的方程为；

34x?y?6z?53?0.

即所求直线方程为

2x?z?3?0?.?34x?y?6z?53?0?解2应用平面束方程来求解,

过直线L1的平面方程为2x?z?3??(3x?y?5)?0（1）（?为任意实数），又点A(?3,5,?9)在平面上，将点A带入（1），得??0.

所以平面?1:2x?z?3?0.

过直线L2的平面方程为4x?y?7??(5x?z?10)?0（2）（?为任意实数），又点A(?3,5,?9)在平面上，将点A带入（2），得??6.

所以平面?2:34x?y?6z?53?0.

2x?z?3?0?.从而所求直线方程为?34x?y?6z?53?0?解3应用混合积求解

在所求直线上任取一点P(x,y,z)，在L1上取一点P1?(0,5,?3)，L1的方向向

量为a?(1,3,2)，则三向量AP,AP1,a共面，从而混合积(AP,AP1,a)?0.即

x?331y?5z?90362?????????0，即?1:2x?z?3?0.

同理在L2上取一点P2?(0,?7,10)，L2的方向向量为a?(1,4,5)，则三向量

AP,AP2,a共面，从而混合积(AP,AP2,a)?0.即

??????x?331y?5z?9?12419?0，即?2:34x?y?6z?53?0.52x?z?3?0?.所以所求直线方程为??34x?y?6z?53?0四、在数学分析中的应用

利用混合积证明三重积分的变量代换

引理1设e1,e2,e3是三个线性无关的向量，又设?1,?2,?3是任意三个向量，

?????1?a1e1?a2e2?a3e3???????且??2?b1e1?b2e2?b3e3

???????3?c1e1?c2e2?c3e3?那么

??????(?1,?2,?3)?b1c1???a1a2b2c2a3c3b3(e1,e2,e3)

???证明先作向量积?1??2的运算,

???1??2=(a1e1?a2e2?a3e3)?(b1e1?b2e2?b3e3)

?a1b1(e1?e1)?a2b1(e2?e1)?a3b1(e3?e1)

?????????????????????a1b2(e1?e2)?a2b2(e2?e2)?a3b2(e3?e2)

?a1b3(e1?e3)?a2b3(e2?e3)?a3b3(e3?e3)

???????(a1b2?a2b1)e1?e1?(a1b3?a3b1)e1?e3?(a2b3?a3b2)e2?e3

?a1b1a2b2(e1?e2)?????????a1b1a3b3(e1?e3)???a2b2a3b3(e2?e3)

??这里设

A???a1b1a2b2,B?a1b1a3b3,C?a2b2a3b3

再把?1??2与?3作数量积运算

?(?1??2)??3=(A(e1?e2)?A(e1?e3)?C(e2?e3))?(c1e1?c2e2?c3e3)

?c1A(e1?e2)?e1?c1B(e1?e3)?e1?c1C(e2?e3)?e1?????????????????????

?c2A(e1?e2)?e1?c2B(e1?e3)?e1?c2C(e2?e3)?e1?c3A(e1?e2)?e1?c3B(e1?e3)?e1?c3C(e2?e3)?e1?c1C(e2?e3)?e1?c2B(e1?e3)?e2?c3A(e1?e2)?e3???????????????????????????

即

(?1??2)??3?c1???a2b2a3b3((e2?e3)?e1)?c2???a1b1a3b3((e1?e3)?e2)?c3???a1b1a2b2((e1?e2)?e3)???这里

(e2?e3)?e1?(e1,e2,e3)(e1?e3)?e2??(e1,e2,e3)

所以

a1a2b2c2a3c3a3????????????(?1??2)??3?b1c1即

(?1,?2,?3)?b1c1??????b3(e1?e2)?e3c3???a1a2b2c2b3(e1,e2,e3)证毕.

???例5利用坐标变换证明下面命题

设函数x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)在uvw空间某个闭区间??上有连续的一阶偏导数，变换