全等三角形压轴题及分类解析

8年级三角形综合题归类一、双等边三角形模型1.（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.CBCBOD图7AEBAODCE图82.已知:点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O.①求证：AN=BM②求∠AOB的度数。③若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：PQ∥AB。（湘潭·中考题）AABCMNOPQ同类变式：如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图c3.如图9，若和为等边三角形，分别为的中点，易证：，是等边三角形．（1）当把绕点旋转到图10的位置时，是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当绕点旋转到图11的位置时，是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．图图9 图10图11图8同类变式：已知，如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．（1）求证：①；②；CENDABM图①CAEMBDN图CENDABM图①CAEMBDN图② 4.如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．（1）证明：△ABG△ADE；（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；考点2：利用角相等证明垂直已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状.拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．AABCDEF图9（提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）3.如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接，.

（1）试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4.如图1，的边BC在直线上，且的边也在直线上，边与边重合，且在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点,连接.猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q,连结,你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.ll(1)AB(F)(E)CPABECFPQ(2)lAABECFPl(3)Q三、等腰三角形（中考重难点之一）考点1：等腰三角形性质的应用如图，中，，，是中点，，与交于，与交于．求证：，．两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连结，取的中点，连结．试判断的形状，并说明理由．压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、．当绕点旋转到于时（如图1），易证．当绕点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1)BF=AC(2)CE=BF(3)CE与BC的大小关系如何。考点2：等腰直角三角形（45度的联想）如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明2.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．①求证：DG=DC②判断FH与FC的数量关系并加以证明．图1图2（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）图1图2同类变式：（期末考试原题哦）已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时eq\o\ac(○,1)猜想AE与EF满足的数量关系是.eq\o\ac(○,2)连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是.eq\o\ac(○,3)请证明你的上述猜想；（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？EE四、角平分线问题1.如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,∠AEB=90°,设AD＝,BC＝，且满足（1）求AD和BC的长；（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；ACACBDE2.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFA(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？4.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.五、中点问题1.在△ABC中,为的中点，过点的直线交于,交的平行线于点。,并交于点.连结.（1）求证:；（2）请猜想与的大小关系,并加以证明如右下图，在中，若，，为边的中点．求证：．已知中，，为的延长线，且，为的边上的中线．求证（提示：倍长中线试试）附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分别是、的中点．探究：与的位置关系及数量关系．⑴如图①当为直角三角形时，与的位置关系是；线段与的数量关系是；⑵将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．1．判断与说理（1）如图11－1，△ADE中，AE=AD且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°，EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；图11－1图11－2O（2）△ADE的位置保持不变，将△ABC绕点A逆时针旋转至图11－2的位置，图11－1图11－2O图12

－2图12图12

－2图12

－1①如图12-1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN.②如图12-2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN.图12

－3图12图12

－3图12

－4③如图12-3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN.（友情提示：正多边形的各边相等且各内角也相等）（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个说明理由；（2）请你继续完成下面的探索：图12

－5①如图12-4，在正n边形（n≥6）中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=图12

－5②如图12-5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON=108°时，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.解：（1）我选.（仅填写①、②、③中的一个）理由如下：（2）3.如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F。请你猜想∠ADC和∠BDE关系，并证明你的猜想。AABCDEF图94.如下几个图形是五角星和它的变形．ABABCDE(1)ABCDE(2)BACDE(3)（1）图⑴中是一个五角星形状，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=；（2）图⑴中的点A向下移到BE上时（如图⑵）五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图⑵中的点C向上移动到BD上时（如图⑶），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．（4）如图，在中，CD、BE分别是AB、AC边上的中线，延长CD到F，使FD=CD，延长BE到G，使EG=BE，那么AF与AG是否相等？F、A、G三点是否在一条直线上？说说你的理由.AABCABCABCD图（1）图（2）图（3）5、操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．ABABC图(4)根据上述内容，回答下列问题：思考验证：如图（4），在△ABC中，AB=AC．试说明∠B=∠C的理由．图（5）CA图（5）CABDE（1）BE与AD是否相等？为什么？（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由。（3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．6.如图13-1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.（1）求∶的值；（2）延长交正方形外角平分线（如图13-2），试判断的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．图13-1图13-1ADCBE图13-2BCEDAFPF7.团体购买某“素质拓展训练营”的门票，票价如表（a为正整数）：团体购票人数1～5051～100100以上每人门票价a元（a3）元（a6）元⑴某中学高一（1）、高一（2）班同学准备参加“素质拓展训练营”活动，其中高一（1）班人数不超过50，高一（2）的人数超过50但不超过80。当a=48时，若两班分别购票，两班总计应付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元。问这两个班级各有多少人？⑵某校学生会现有资金4429元用于购票，打算组织本校初三年级团员参加该项活动。为了让更多的人能参加活动，学生会统一组织购票，购票资金恰好全部用完，且参加人数超过了100人，问共有多少人参加了这一活动？并求出此时a的值。8.如下图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠B∶∠C的值为．AABCDEFO9.如左下图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，则图中全等三角形的组数是（）A.3B.4C.5D.610.两个全等的含300,600角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．11、（1）不用量角器，只利用刻度尺就能画出一个角的平分线，下面是小明的画法，你认为他的画法对吗？请你按照小明的画法，画出图形，说明理由。①利用刻度尺在∠AOB的两边上分别取OC＝OD；②连结CD，利用刻度尺画出CD的中点E③画射线OE射线OE即为∠AOB的角平分线。（2）请你探索只利用你的三角尺（可以量长度、画直角）画出一个角的平分线的画法。（要求：①画出图形；②简要说明画法；③说明理由。）12.（1）如图（1），正方形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），在（1）的条件下，连结AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系（不必说明理由）；（3）解决问题：①王师傅有一块如图所示的板材余料，其中==90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼的示意图；②王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．ABCDABCD图4ABCD图3ABCDABCDFE图２MABCDFE图１13.下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n．(1)将方程组1的解填入图中；…………方程组集合…………方程组集合对应方程组解的集合(3)若方程组的解是，求m、n的值，并判断该方程组是否符合(2)中的规律？14．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒．(长方形的宽与正方形的边长相等)(1)现有正方形纸板50张，长方形纸板l00张，若要做竖式纸盒x个，横式纸盒y个．①根据题意，完成以下表格：②若纸板全部用完，求x、y的值；(2)若有正方形纸板80张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好全部用完．已知162<n<172，求n的值．15．（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（说明：每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形）①如图1，求证：；②探究：如图1，；如图2，；如图3，．（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．①猜想：如图4，（用含的式子表示）；②根据图4证明你的猜想．16．按照指定要求画图(1)如下图1所示，黑粗线把一个由18个小正方形组成的图形分割成两个全等图形，请在图2中，仿图1沿着虚线用四种不同的画法，把每图形分割成两个全等图形．(2)请将下面由16个小正方形组成的图形，用两种不同的画法沿正方形的网格线用粗线把它分割成两个全等图形17.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。（1）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图a），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并说明理由；（2）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图b），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。（本题12分）18.如图，在下列网格中，⊿ABC和⊿DEF全等，且DE与AB是对应线段，则符合条件的F点的个数为（）.A.1个B.2个C.3个D.4个19、已知：如图①所示，在和中，，，∠BAC=∠DAE=α，且点在一条直线上，连接分别为的中点．（1）求证：；（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；CENDABM图CENDABM图①CAEMBDN图②第27题图·······ABCDE21.如右图所示，方格纸中有A、B、C、D、E五个格点(图中的每一个方格均表示边长为1个单位的正方形)，以其中的任意3个点为顶点，画出所有的三角形，数一下，共构成________个三角形，其中有_______对全等三角形，它们分别___________________________________________________请选取一对非直角全等三角形，说明全等的理由．22．已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：CD=CE当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．23．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③EM＝BN．其中，正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个24．锐角为45o的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置，其中边BC、FP均在直线l上，边EF与边AC重合．(1)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．