2016年四川省绵阳市中考数学试卷及答案

#/26［分析］设DF=a,则DF=AE刊AF=EB=2a,由△HFDs-FA,得皿二卯=HF 求出FH/ABAFFB2再由HD〃EB,得△DGHs^EGB,得国二HPJ5己=3,求出BG即可解决问题.GBEB2a4［解答］解：:•四边形ABCD是菱形，.\AB=BC=CD=AD,：AF=2DF,设DF=a,则DF=AE=a,AF=EB=2a,VHD/7AB,Ahfd^Abfa,HD_DF_HF_1••―—―.ABAFFB2.\HD=1.5a,M=X,BH3・・.fh=Lbh,3VHD/7EB,ADGH^AEGB,HG_HD_1.5a_3•• 7GBEB2a4,BG-4,.>HB7.・.bg=Ahb,7工处工BGyBH12故选：B.［点评］本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型.12.(3分〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b<2a；②a+2c-b>0；③b>a>c；@b2+2ac<3ab.其中正确结论的个数是( 〕A.1B.2C.3D.4［分析］根据抛物线的图象，对称轴的位置,利用二次函数的性质一一判断即可.［解答］解：由图象可知,a>0,b>0,c>0,•・•--L>-1,2a・・・b<2a,故①正确，如图易知A(-1,0〕，B(-l,a-b+c〕，C(0,c),当AB=OC时，-(a-b+c)=c,可得a+2c-b=0,当AB>OC时，-(a-b+c)>c，可得a+2c-b<0,当AB<OC时，-(a-b+c)<c,可得a+2c-b>0,故②错误，--L<-L,2a2b>a,设xx>x2•/-9Vxi<0,-2<x2<-1,X1*X2<1,a.*.a>c,・・・b>a>c,故③正确，b2-4ac>0,2ac<—b2,2Vb<2a,k2<3ab,2-?-b2=b2+_kb2>b2+2ac,2 2b2+2ac<-b2<3ab,2.,.b2+2ac<3ab.故④正确.故选：C.［点评］本题考查二次函数的性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象信息解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题.二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上..〔3分〕因式分解：2mx2-4mxy+2my2=2m1x-y〕2.［分析］先提取公因式2m,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.［解答］解：2mX2-4mxy+2my2,=2m(X2-2xy+y2］,=2m(x-y］2.故答案为：2m(x-y］2.［点评］本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止..［3分〕如图,AC〃BD,AB与CD相交于点0,若AO=AC,NA=48o,ND=6§^.［分析］先依据等腰三角形的性质得到NACO=NAOC,然后依据三角形的内角和定理可求得NC的度数，然后依据平行线的性质可求得④的度数.［解答］解:・・・OA=AC,，NACO=NAOC=LX〔180°-NA〕=上X〔180°-48°〕=66°.2 2：AC〃BD,.•・ND=NC=66°.故答案为：66°.［点评］本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质的应用，求得NC的度数是解题的关键..〔3分〕根据##市统计年鉴,20##末##市户籍总人口数已超过548万人,548万人用科学记数法表示为5.48X106人.［分析］科学记数法的表示形式为aX10n的形式，其中1<|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数；当原数的绝对值<1时,n是负数.［解答］解：将548万用科学记数法表示为：5.48X106.故答案为5.48X106.［点评］此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10n的形式,其中1<|a|<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以与n的值..〔3分〕△OAB三个顶点的坐标分别为O〔0,0〕，A〔4,6〕，B〔3,0〕，以O为位似中心，将4OAB缩小为原来的L得到△OA'B’,则点A的对应点A’的坐标为〔-2,-3〕或12,3〕 .［分析］根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k进行解答.［解答］解：•・•以原点O为位似中心，将4OAB缩小为原来的La〔4,6〕，2则点A的对应点A’的坐标为〔-2,-3〕或〔2,3〕，故答案为：［-2,-3〕或〔2,3〕.［点评］本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k..〔3分〕如图，点O是边长为4.与的等边4ABC的内心，将4OBC绕点O逆时针旋转30°得到^OB1c〃B1cl交BC于点D,B1cl交AC于点E,则DE=6-2-J.［分析］〔方法一〕令OB1与BC的交点为F,B1cl与AC的交点为M,过点F作FN±OB于点N,根据等边三角形的性质以与内心的性质找出AFOB为等腰三角形，并且△BFOs^B1FD,根据相似三角形的性质找出B1D的长度，再通过找全等三角形以与解直角三角形求出C1E的长度，由此即可得出DE的长度.〔方法二〕令OB1与BC的交点为F,根据等边三角形的性质结合点O为^ABC的内心，可得出OB的长度，由旋转角度为30°可得出△BOF、^B1FD为等腰三角形,进而可求出BF、FD的长度，再在Rt^DCE中,可求出DE的长度.［解答］解：〔方法一〕令OB1与BC的交点为F,B1cl与AC的交点为M,过点F作FN±OB于点N,如图所示.•・•将4OBC绕点O逆时针旋转30°得到^OB1c1,.•・NBOF=30°,•・•点O是边长为4.5的等边4ABC的内心，.•・NOBF=30°,OB=£!aB=4,3.△FOB为等腰三角形,BN=1OB=2,2，BF= 理 =4?=OF.cosZ^OBF3VZOBF=ZOB1D,ZBFO=ZB1FD,.△BFOS4B1FD,BLF• 二 •OB-BFVB1F=OB1-OF=4-亭,.•・BXD=4V3-4.rZOBF=Zoa在△BFO和△CMO中，有OB=OC,、ZBOF=COJIABFO^ACMO(ASA),・・OM=BF二*,C1M=4-呼,在△(：1ME中,NC1ME=NMOC+ZMCO=60°,ZC『30°,AZC1EM=90°,/.C1E=C1M*sinZC1ME=[4-羊〕X苧=2^-2.，DE=B1cl-BQ-C产代丐-(4/3-4)-〔2①-2〕=6-2代故答案为：6-〔方法二〕令081与设的交点为F.「△ABC是边长为依行的等边三角形,0为AABC的内心，・・OB=Zx叵\B=4.3 2・•旋转的角度为30°,ZBOB1=ZB1DF=30°.VZOBF=ZDB1F=30°,••△BOF、为等腰三角形，.•・BF=OF=里■二!里B1F=FD=OB1-0F=4-$履.4ACDE中,NDCE=60°,NCDE=30°,二DE二四CD二北(BC-BF-FD〕=6-二DE二四2故答案为：6-2..4［点评］本题考查了等边三角形的性质、三角形内心的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以与解直角三角形，解题的关键是：〔方法一〕求出线段B1D、C1E的长度；〔方法二〕根据等边三角形的性质、三角形内心的性质

结合旋转，求出BF、DF的长度.18.13分〕如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形.现用片表示第三行开始，从左往右，从上往下,依次出现的第i个数，例如：八『1儿=2人3=1人尸1人5=3人=3人7=1,则A2Q1.=1953.［分析］根据杨辉三角中的已知数据，可以发现其中规律，每行的数的个数正好是这一行的行数，由题意可以判断A2。*在哪一行第几个数,从而可以解答本题.［解答］解：方法一：由题意可得，第n行有n个数，故除去前两行的总的个数为：还把13，2当n=63时产（门;D_歹2013,V2013<2016,・・g2。］6是第64行第三个数，•・•每行的第三个数的特点都是：第三行是L第四行是1+2,第五行是1+2+3,•.第64行第三个数是：l+2+3+-+62=&2X^2+1^=1953z2故答案为：1953.方法二：由题意可得，第n行有n个数，故除去前两行的总的个数为：血生13,2 。当n=63时产（门;1）_,2013,V2013<2016,・・g2。］6是第64行第三个数,AA =63X62AA =63X6220162X1.=1953,故答案为：1953.此题考查数字排列的规律，解题的关键是明确题意，发现其中的规律，计算出所求问题的答案.三、解答题：本大题共7个小题，共86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔8分〕计算：〔n-3.14〕0-|五sin60°-4|+〔工〕-1.［分析］本题涉与零指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.［解答］解：：5-3.14］o-|V12sin60o-4|+〔上〕-1=1-|2V3X^1-4|+22=1-|-11+2=2.［点评］本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握零指数嘉、二次根式化简、绝对值等考点的运算..18分〕先化简，再求值：0T〕♦三1淇中好4+1.a2-aa2-2a+la［分析］先算括号里面的，再算除法,最后把a的值代入进行计算即可.［解答］解：原式曰-3TlJ・3a(a-l)3-1产a-L=［a+1-J_］._a_a(a-l)a-la-l=1・3a(a-l)a-1二1,(a-1)2当a=V3+1时,原式= ==—•(Vs+1-l)23［点评］本题考查的是分式的化简求值，式中的一些特殊求值题并非是一味的化简,代入，求值.许多问题还需运用到常见的数学思想如化归思想〔即转化〕、整体思想等,了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助..〔11分〕##七一中学开通了空中教育互联网在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会把该平台使用情况分为A〔经常使用〕、B〔偶尔使用〕、C〔不使用〕三种类型，并设计了调查问卷、先后对该校初一〔1〕班和初一〔2〕班全体同学进行了问卷调查,并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图##息解答下列问题：〔1〕求此次被调查的学生总人数；〔2〕求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线统计图；〔3〕若该校初一年级学生共有1000人，试根据此次调查结果估计该校初一年级中C类型学生约有多少人.［分析］〔1〕先由折线统计图得到偶尔使用的学生有58人，再由扇形统计图得到了解很少的学生所占的百分比，然后用58除以这个百分比即可得到接受问卷调查的学生人数；〔2〕先用总数分别减去其它三组的人数得到C的学生数,再补全折线统计图；用c部分所占的百分比乘以360。即可得到c部分所对应扇形的圆心角的大小；〔3〕利用样本中c程度的百分比表示该校这两项所占的百分比,然后用1000乘以这个百分比即可得到c程度的总人数的估计值.［解答］解：⑴由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%,从折线图知B类型总人数=26+32=58人，所以此次被调查的学生总人数=58・58%=100人；⑵由折线图知A人数=18+14=32人，故A的比例为32・100=32%,所以C类比例=1-58%-32%=10%,所以类型C的扇形的圆心角=360。义10%=36。，C类人数=10%X100-2=8人,折线图如下：〔3〕根据此次可得C的比例为10%,估计该校初一年级中C类型学生约1000X10%=100人.［点评］本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来.以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化.折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况.也考查了扇形统计图和用样本估计总体..〔11分〕如图，直线y=kj+7〔k1c0〕与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数小手_ 的图象在第一象限交于C、D两点，点0为坐标原点,AAOB的面积为理，点C横坐标为1.2〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为"整点〃，请求出图中阴影部分〔不含边界〕所包含的所有整点的坐标.［分析］〔1〕分别令x=0、y=0,求得对应y和x的值,从而的得到点A、B的坐标，然后依据三角形的面积公式可求得k1的值，然后由直线的解析式可求得点C的坐标,由点C的坐标可求得反比例函数的解析式；〔2〕由函数的对称性可求得D〔6,1〕，从而可求得x的值X围，然后求得当x=2、3、4、5时，一次函数和反比例函数对应的函数值，从而可得到整点的坐标.［解答］解：〔1〕•.•当x=0时,y=7,当y=0时,x=-二，如AA(-工,0〕、B［0、7〕.kl△aob^IOAI•IOBI=Xx(-/-〕X7二号，解得k『-1.••直线的解析式为y=-x+7..*当x=l时,y=-1+7=6,AC11,6〕.k2=lX6=6.•・反比例函数的解析式为卢且〔2〕•・•点C与点D关于y=x对称，AD［6,1〕.当x=2时，反比例函数图象上的点为12,3〕，直线上的点为12,5〕，此时可得整点为12,4〕；当x=3时，反比例函数图象上的点为13,2〕，直线上的点为13,4〕，此时可得整点为13,3〕；当x=4时，反比例函数图象上的点为14,三〕，直线上的点为14,3〕，此时可得整点2为14,2〕；当x=5时，反比例函数图象上的点为15,旦〕，直线上的点为15,2〕，此时，不存在整

5点.综上所述，符合条件的整点有12,4〕、13,3〕、14,2〕.［点评］本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，依据三角形的面积求得勺的值是解题的关键.23.〔11分〕如图,AB为。0直径,C为。0上一点，点D是前的中点,DELAC于E,DF±AB于F.〔1〕判断DE与。O的位置关系，并证明你的结论；⑵若0F=4,求AC的长度.［分析］⑴先连接OD、AD,根据点D是标的中点，得出NDAO二NDAC,进而根据内错角相等，判定OD〃AE,最后根据DELOD,得出DE与。0相切；〔2〕先连接BC交0D于H,延长DF交。0于G,根据垂径定理推导可得0H=0F=4,再根据AB是直径，推出0H是4ABC的中位线，进而得到AC的长是0H长的2倍.本题也可以过0作OMLAC于M,根据全等三角形的性质以与垂径定理进行求解.［解答］解：⑴DE与。。相切.证明：连接OD、AD,・•点D是前的中点，BD=CD,ZDAO=ZDAC,OA=OD,.\ZDAO=ZODA,，NDAC=NODA,，OD〃AE,DEXAC,.\DE±OD,ADE与。。相切.⑵解法1：连接BC交OD于H,延长DF交。。于G,由垂径定理可得：OH，BC；I港而•・DG=BC,.•・DG=BC,，弦心是巨OH=OF=4,AB是直径，•・BC1AC,XVOH#AC,.OH是^ABC的中位线，，AC=2OH=8.解法2：如图，过0作OMLAC于M,则四边形DOME是矩形，ZDOM=90°,XVDF1AB,ZFDO+ZFOD=ZMOA+ZFOD=90°,.\ZFDO=ZMOA,在△FDO和△MOA中，VDPO=ZOMA=90°,ZFD0=ZM0A,ldo=oa.•.△fdo24moa〔aas〕,，AM=OF=4,又：OM，AC,，AC=2AM=8.［点评］本题主要考查了直线与圆的位置关系以与垂径定理的运用，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线.本题也可以根据^ODF与4ABC相似，求得AC的长.24.〔11分〕##人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同.〔1〕求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？〔2〕若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元,乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润〔利润=售价-进价〕超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？［分析］〔1〕设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件〔x-5〕元,由题意列出关于x的方程，求出x的值即可；〔2〕设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶〔3y-5〕件，根据题意列出关于y的不等式组，求出y的整数解即可得出结论.［解答］解：〔1〕设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件〔x-5〕兀，由题意得，9。J。。,解得x=50.x-5x经检验,x=50是原分式方程的解，且符合实际意义故乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元.⑵设购进乙种牛奶y件,则购进甲种牛奶〔3y-5〕件,由题意得，解得23由题意得，解得23<yW25.(49-45)(3y-5)+(55-5Q)y>37]•:V为整数，，y=24或25,・•.共有两种方案:方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件.［点评］本题考查的是分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.25.〔12分〕如图,抛物线y=ax2+bx+c〔a/0〕与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C〔0,3〕，且此抛物线的顶点坐标为M〔-1,4〕.〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当^ACD与4ACB面积相等时,求点D的坐标；〔3〕点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线,垂足为巳将4PCE沿直线CE翻折，使点P的对应点P'与P、E、C处在同一平面内，请求出点P'坐标，并判断点P’是否在该抛物线上.［分析］〔1〕由抛物线经过的C点坐标以与顶点M的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；〔2〕设点D坐标为〔-1,yD〕，根据三角形的面积公式以与△ACD与^ACB面积相等,即可得出关于yD含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；〔3〕作点P关于直线CE的对称点P',过点P'作PH±y轴于H,设P'E交y轴于点N.根据对称的性质即可得出^EON2△CP’N,从而得出CN=NE,由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，进而得出点P的坐标，在RSP'NC中,由勾股

定理可求出CN的值，再由相似三角形的性质以与线段间的关系即可找出点，的坐标，将其代入抛物线解析式中看等式是否成立,由此即可得出结论.［解答］解：⑴•・•抛物线y=ax2+bx+c经过点C〔0,3〕，顶点为M1-1,4〕，c=3二-Lc=3二-L解得:La-b+c=4ra=-l*b=-2-、七二3・••所求抛物线的解析式为y=-X2-2x+3.〔2〕依照题意画出图形，如图1所示.令y=-X2-2x+3=0,解得：x=-3或x=l,故A1-3,0〕，B(1,0),?.oa=oc,Aaoc为等腰直角三角形.设AC交对称轴x=-l于F1-1加，由点A(-3,0KC〔0,3〕可知直线AC的解析式为y=x+3,yF=-1+3=2,即F1-1,2〕.设点D坐标为(-l,yD),则Sadc=1dF-AO=1x|yD-2|X3.△ADCQ in U又・・・S=l_AB・OC=1x[1-〔-3〕]X3=6,且S=S/\AdCi-i i-। /\AdC.A±X|yD-2|X3.=6,解得：丫广-2或丫广6.••点D的坐标为1-1,-2〕或〔-1,6〕.〔3〕如图2,点，为点P关于直线CE的对称点，过点P作PH，y轴于H,设P乍交y轴于点N.2cnp'=ZEN0在△eon和ACP®中,，ZCPXN=ZEON=90",FC=PC=0EAEON^ACP'N(AASb设NOm,则NE=m,VA(-3,0KM(-1,4〕可知直线AM的解析式为y=2x+6,••当y=3时,x=一旦即点P(一旦3〕.2 2.•・P'C=PC=旦P'N=3-m,2在RgP，NC中，由勾股定理，得：［3-m〕2=m2,解得：m=li.8・・Swnc总cn・p，h=¥，n・pc•・PzH=-L.10由△CHP'S^CP®可得：CPy-CNOH=3--,55•・，的坐标为〔』-£〕.105将点，£包代入抛物线解析式，105得：y=- )2-2X_L+3=^-^-5_,k10J10 1005••点P'不在该抛物线上.［点评］本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、全等三角形的判定与性质以与相似三角形的性质，解题的关键是：〔1〕利用待定系数法求出函数解析式；〔2〕找出关于y。含绝对值符号的一元一次方程；〔3〕求出点，坐标.本题属于中档题，难度不小，〔3〕中求出点，的坐标是本题的难点，使用垂直平分线的性质找点的坐标亦可.26.〔14分〕如图,以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为1-2时,0〕、9-正〕，直线DE1DC交AC于E,动点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿着A玲D玲C的路线向终点C匀速运动，设4PDE的面积为S〔SW0〕，点P的运动时间为t秒.〔1〕求直线DE的解析式；〔2〕求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值X围；〔3〕当t为何值时,NEPD+NDCB=90°?并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值.［分析］〔1〕先有菱形的对称性得出点C,D坐标,然后用NDCO的正切值，以与等角的三角函数值相等列出方程，最后用待定系数法求出直线DE解析式.〔2〕先求出菱形的边长,再求出EF,分点P在AD和DC边上，用面积公式求解；〔3〕先求出NEPD二NADE,分两种情况用由菱形的边长建立方程求出时间t,用相似三角形的比例式建立方程求出0Q,解直角三角形即可.［解答］解：由菱形的对称性可得,C〔2限〕，D10,后，AOD=V5,OC=2>/5,tanZDCO=亚二1，OC2VDE±DC,ZEDO+ZCDO=90°