离散数学课后练习1

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练习1.1

1、判断以下语句是否是命题，若是命题则请将其形式化：（1）a+b（2）x>0（3）“请进！〞

（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。（5）我明天或后天去苏州。

（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。（7）我明天或后天去北京或天津。

（8）假使买不到飞机票，我哪儿也不去。

（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。

（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必需充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。

（12）假使只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。（13）不管你和他去不去，我去。（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：《韩非子?显学》）

（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。（荀况：《荀子?劝学》）

解（1）a+b不是命题

（2）x>0不是命题（x是变元）

（3）“请进！〞不是命题

（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。是命题

可表示为p∧┐q，其中p：所有的人都是要死的，q：所有的人都怕死

（5）我明天或后天去苏州。是命题

可表示为p∨q，其中p：我明天去苏州；q：我后天去苏州

（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。是命题可表示为┐(p∨q)，其中p、q同（5）

（7）我明天或后天去北京或天津。是命题

可表示为p∨q∨r∨s，其中p：我明天去北京，q：我明天去天津，r：我后天去北京，

s：我后天去天津

（8）假使买不到飞机票，我哪儿也不去。是命题

可表示为┐p→┐q，其中，p：我买到飞机票，q：我出去（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。是命题

可表示为(p∧q→r)∧(┐p∧q→r)或q→r，其中p：他余款多，q：他出门，r：他买书

（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。是命题

可表示为(p∨q)?r，其中p：你陪伴我，q：你代我雇车，r：我去

（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必需充分考虑一切论证，才能得到可靠

见解。是命题

可表示为(p→q)∧(q→p)或p?q，其中p：你充分考虑了一切论证，q：你得到了可

靠见解

（12）假使只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。是命题可表示为(q→p)→┐q，其中p：我懂得希腊文，q：我了解柏拉图

（13）不管你和他去不去，我去。是命题

可表示为(p→r)∧(q→r)∧(┐p→r)∧(┐q→r)或r，其中p：你去，q：他去，r：我去

（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：《韩非子?显学》）是命题

可表示为((p∧q)→r)∧((┐p∧┐q)→┐r)，其中p：你奢靡，q：你懒惰，r：你贫困

（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石

可镂。（荀况：《荀子?劝学》）是命题

可表示为(p→┐q)∧(s→r)∧(m∧n→┐o)∧(m∧┐n→v)，其中p：骐骥一跃，q：骐骥一跃十步，r：驽马行千里，s：驽马不断奔跑，m：你雕刻，n：你放弃，o：将朽木折断，v：金石可雕刻

2、判定以下符号串是否为公式，若是，请给出它的真值表，并请注意这些真值表的特点（公式中省略了可以省略的括号）：（1）┐(p)（p为原子命题）（2）(p∨qr)→s（3）(p∨q)→p（4）p→(p∨q)（5）┐(p∨┐p)（6）p∧(p→q)→q

（7）p∧(p→q)∧(p→┐q)（8）(p→q)?(┐q→┐p)（9）┐(p∨q)?┐q∧┐p（10）┐p∨q?(p→q)

（11）(p→q)∧(q→r)→(p→r)

（12）(p∨q→r)?(p→r)∧(q→r)解（1）┐(p)不是公式

（2）(p∨qr)→s不是公式

（3）(p∨q)→p是公式p∨q(p∨q)→pp→(p∨q)pq00010110111011111111（4）p→(p∨q)是公式（真值表见上表，恒真）

（5）┐(p∨┐p)是公式（恒假）┐pp∨┐p┐(p∨┐p)p01101100

（6）p∧(p→q)→q是公式（恒真）p→qp∧(p→q)pq0010p∧(p→q)→q1011101101001111

（7）p∧(p→q)∧(p→┐q)是公式（恒假）pq┐qp→qp∧(p→q)p→┐q001101011010110100011110p∧(p→q)∧(p→┐q)0000

（8）(p→q)?(┐q→┐p)是公式（恒真）pq┐p┐qp→q┐q→┐p001101011100101011011101(p→q)?(┐q→┐p)1111

（9）┐(p∨q)?┐q∧┐p是公式（恒真）p∨q┐(p∨q)pq┐p┐q001101011100101001111000┐q∧┐p┐(p∨q)?┐q∧┐p10001111

（10）┐p∨q?(p→q)是公式（恒真）p→q┐p∨q?(p→q)pq┐p┐p∨q00110101100110111011111

（11）(p→q)∧(q→r)→(p→r)是公式（恒真）p→qq→rp→r(p→q)∧(q→r)pqr00001111001100110101010111110011110111011111010111010001(p→q)∧(q→r)→(p→r)11111111

（12）(p∨q→r)?(p→r)∧(q→r)是公式（恒真）p∨qp∨q→rp→rpqrq(p→r)∧(p∨q→r)?(p→→r00001111001100110101010100111111110101011111011111011101(q→r)11010101r)∧(q→r)11111111

*3、A国的人只有两种，一种永远说真话，一种永远说假话。你来到A国，并在一个二叉路口不知如何走才能到达首都。守护路口的士兵只准你问一个问题，而且他只答“是〞或“不是〞。你应当如何发问，才能从士兵处获知去首都的道路。

解设p：你是说真话的；q：我应当向右走去首都你应当问：p?q?当回复“是(真)〞，你选择向右走；当回复“不（假）〞时，你选择向左走。由于p?q真，当且仅当p真且q真（士兵说真话且应当向右走）

或p假且q假（士兵说假话且应当向左走）

p?q假，当且仅当p真且q假（士兵说真话且应当向左走）

或p假且q假（士兵说假话且应当向右走）

练习1.2

1、试判定以下各式是否为重言式：（1）(p→q)→(q→p)（2）┐p→(p→q)（3）q→(p→q)（4）p∧q→(p?q)

（5）(p→q)∨(r→q)→((p∨r)→q)（6）(p→q)∨(r→s)→((p∨r)→(q∨s))解（1）否（2）是（3）是（4）是（5）否（6）否

2、试用真值表验证E6，E8，E10，E11，E23。证（1）E6(A∨B)∨C?A∨(B∨C)B∨CABCA∨B(A∨B)∨C00001111

（2）E8

A∨(B∨C)01111111E6111111110011001101010101001111110111111101110111A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C)

A00001111B0011001101010101CB∨C01110111A∧(B∨C)00000111A∧B00000011A∧C00000101(A∧B)∨(A∧C)00000111E811111111

（3）E10┐(A∨B)?┐A∧┐BA∨B┐(A∨B)AB0011010101111000┐A1100┐B1010┐A∧┐B1000E101111

（4）E11┐(A∧B)?┐A∨┐BAB┐A┐BA∧B┐(A∧B)001101011100101000011110┐A∨┐B1110E111111

（5）E23(A∧B→C)?(A→(B→C))B→CABCA∧BA∧B→C000011110011001101010101000000111111110111011101A→(B→C)11111101E2311111111

3、不用真值表，用代入、替换证明E12，E13，E24。证（1）E12：A∨(A∧B)┝┥A

A∨(A∧B)┝┥(A∧t)∨(A∧B)据E17用RR┝┥A∧(t∨B)对E8用RS┝┥A∧t据E16用RR┝┥A据E17

（2）E13：A∧(A∨B)┝┥A

A∧(A∨B)┝┥(A∨f)∧(A∨B)据E18用RR┝┥A∨(f∧B)对E9用RS┝┥A∨f据E19用RR┝┥A据E18

（3）E24：A→B┝┥┐B→┐A

┐B→┐A┝┥┐┐B∨┐A对E14用RS┝┥B∨┐A据E1用RR┝┥┐A∨B对E4用RS┝┥A→B据E14

4、试用真值表验证I3，I4，I5，I6。证（1）I3A∧(A→B)→BA→BA∧(A→B)A∧(A→B)→BAB00110101110100011111

（2）I4(A→B)∧┐B→┐A┐B┐AAB0011010110101100A→B1101(A→B)∧┐B1000I41111

（3）I5┐A∧(A∨B)→B┐B∧(A∨B)→A┐AA∨B┐A∧(A∨B)AB0011

A0011B0101┐B1010A∨B0111┐B∧(A∨B)00100101110001110100┐A∧(A∨B)→B1111┐B∧(A∨B)→A1111

（4）I6(A→B)∧(B→C)→(A→C)A→BB→CABC00000011010111111101A→C1111(A→B)∧(B→C)1101I6111111110011010100111101010100011111

5、不用真值表，用代入、替换证明I7，I8。

证（1）I7：(A→B)∧(C→D)┝(A∧C)→(B∧D)(A→B)∧(C→D)┝┥(┐A∨B)∧(┐C∨D)(A∧C)→(B∧D)┝┥(┐A∨┐C)∨(B∧D)

┝┥(┐A∨┐C∨B)∧(┐A∨┐C∨D)由于

(┐A∨B)∧(┐C∨D)┝(┐A∨┐C∨B)∧(┐A∨┐C∨D)故(A→B)∧(C→D)┝(A∧C)→(B∧D)。

（2）I8：(A?B)∧(B?C)┝(A?C)

(A?B)∧(B?C)┝┥(A→B)∧(B→A)∧(B→C)∧(C→B)

┝┥((A→B)∧(B→C))∧((C→B)∧(B→A))┝(A→C))∧(C→A)┝┥(A?C)

6、用三种不同方法证明以下规律等价式：（1）A?B┝┥(A∧B)∨(┐A∧┐B)（2）A→(B→C)┝┥B→(A→C)（3）A→(A→B)┝┥A→B

（4）A→(B→C)┝┥(A→B)→(A→C)证（1）证法1：(A∧B)∨(┐A∧┐ABA∧B┐A┐B┐A∧┐BA?B001010000110101100100B)10011100011证法2：A?B┝┥(A→B)∧(B→A)┝┥(┐A∨B)∧(┐B∨A)┝┥(┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A)┝┥(A∧B)∨(┐A∧┐B)

证法3：先证A?B┝(A∧B)∨(┐A∧┐B)(a)

设?为任一指派，使?(A?B)=1，那么?(A)=?(B)=1或?(A)=?(B)=0，从而

?(A∧B)=1或?(┐A∧┐B)=1，即?((A∧B)∨(┐A∧┐B))=1。(a)得证；再证(A∧B)∨(┐A∧┐B)┝A?B(b)

设?为任一指派，使?(A?B)=0，那么?(A)=1，?(B)=0，或者?(A)=0，?(B)=1，从而?(A∧B)=0且?(┐A∧┐B)=0，即?((A∧B)∨(┐A∧┐B))=0。(b)得证。

（2）证法1：B→CA→CA→(B→C)B→(A→C)ABC00000101011011111111101111001101011101010111011101111111证法2：A→(B→C)┝┥┐A∨(┐B∨C)┝┥(┐A∨┐B)∨C┝┥(┐B∨┐A)∨C┝┥┐B∨(┐A∨C)┝┥B→(A→C)

证法3：先证A→(B→C)┝B→(A→C)(a)设?为任一指派，使?(A→(B→C))=1，那么ⅰ）?(A)=0，则?(A→C)=1，从而?(B→(A→C))=1ⅱ）?(A)=1，?(B)=0，则?(B→(A→C))=1ⅲ）?(A)=?(B)=?(C)=1，则?(B→(A→C))=1

综上，(a)得证；同理可证B→(A→C)┝A→(B→C)。

（3）证法1：A→(A→B)(A→(A→B))?(A→B)ABA→B00101011011011111111证法2：A→(A→B)┝┥┐A∨(┐A∨B)┝┥(┐A∨┐A)∨B┝┥┐A∨B┝┥A→B

证法3：先证A→(A→B)┝A→B(a)设?为任一指派，使?(A→B)=0，那么?(A)=1，?(B)=0，从而?(A→(A→B))=0。

(a)得证；

再证A→B┝A→(A→B)(b)

设?为任一指派，使?(A→(A→B))=0，那么?(A)=1，?(A→B)=0。(b)得

证。

（4）证法1：A→BA→CA→(B→C)(A→B)→(A→C)ABCB→C0000111001100101010101101110111100111110101111110111111011111111证法2：(A→B)→(A→C)┝┥┐(┐A∨B)∨(┐A∨C)┝┥(A∧┐B)∨(┐A∨C)┝┥((A∧┐B)∨┐A)∨C

┝┥((A∨┐A)∧(┐B∨┐A))∨C┝┥(t∧(┐A∨┐B))∨C┝┥(┐A∨┐B)∨C┝┥┐A∨(┐B∨C)┝┥A→(B→C)

证法3：先证A→(B→C)┝(A→B)→(A→C)(a)

设?为任一指派，使?((A→B)→(A→C))=0，那么?(A→B)=1，?(A→C)=0，

即?(A)=?(B)=1，?(C)=0，从而?(B→C)=0，?(A→(B→C))=0。(a)得证；再证(A→B)→(A→C)┝A→(B→C)(b)

设?为任一指派，使?(A→(B→C))=0，那么?(A)=1，?(B→C)=0，即?(B)=1，?(C)=0，从而?(A→B)=1，?(A→C)=0，?((A→B)→(A→C))=0。(b)得证。

7、用三种不同方法证明以下规律蕴涵式：（1）A∧B┝A?B（2）(A→B)→A┝A

（3）A→B┝((A?B)→A)→B

（4）(A∨B)∧(A→C)∧(B→C)┝C证（1）证法1：A∧B(A∧B)→ABA?B001010000100(A?B)11111111证法2：A∧B┝(A∧B)∨(┐A∧┐B)┝┥A?B

证法3：设?为任一指派，使?(A∧B)=1，则?(A)=?(B)=1，从而?(A?B)=1。A

∧B┝A?B得证。

（2）证法1：((A→B)→A)ABA→B(A→B)→A→A00101011000111111111证法2：(A→B)→A┝┥┐(┐A∨B)∨A┝┥(A∧┐B)∨A┝┥(A∨A)∧(┐B∨A)┝┥A∧(┐B∨A)┝A

证法3：设?为任一指派，使?(A)=0，则?(A→B)=1，从而?((A→B)→A)=0。(A

→B)→A┝A得证。

（3）证法1：(A→B)→ABA→BA?B(A?B)→A((A?B)→A)→B(((A?B)→A)→B)0010101101000111101111111111证法2：A→B┝┥┐A∨B((A?B)→A)→B┝┥┐((A?B)→A)∨B┝┥((A?B)∧┐A)∨B

┝┥(((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧┐A)∨B┝┥(┐A∧┐B)∨B┝┥┐A∨B∴A→B┝((A?B)→A)→B

证法3：设?为任一指派，使?(A→B)=1，则（ⅰ）?(A)=0；（ⅱ）?(B)=1。对

（ⅱ）显然有?(((A?B)→A)→B)=1；

对（ⅰ）则可令?(B)=0（?(B)=1的状况已证），于是?(A?B)=1，?((A?B)→A)=0，?(((A?B)→A)→B)=1。

A→B┝((A?B)→A)→B得证。

（4）证法1：A∨BA→CB→C(A∨B)∧(A→C)((A∨B)∧(A→C)∧ABC∧(B→C)0000111001100101010100011111111101011011100001010(B→C))→C111111111111111证法2：(A∨B)∧(A→C)∧(B→C)┝┥(A∨B)∧(┐A∨C)∧(┐B∨C)┝┥(A∨B∨C)∧(A∨B∨┐C)∧(┐A∨B∨C)∧(┐A∨┐B∨C)∧(A

∨┐B∨C)┝(A∨B∨C)∧(A∨┐B∨C)∧(┐A∨B∨C)∧(┐A∨┐B∨C)┝┥(A∨C)∧(┐A∨C)┝┥C

证法3：设?为任一指派，使?((A∨B)∧(A→C)∧(B→C))=1，则?(A∨B)=?(A→C)=?(B

→C)=1。由?(A∨B)=1有两种状况：（ⅰ）?(A)=1，由?(A→C)=1得?(C)=1；（ⅱ）?(B)=1，由?(B→C)=1得?(C)=1。(A∨B)∧(A→C)∧(B→C)┝C得证。

△8、验证以下规律等价式和规律蕴涵式，并写出它们的对偶式：（1）┐(┐A∨┐B)∨┐(┐A∨B)┝┥A

（2）(A∨┐B)∧(A∨B)∧(┐A∨┐B)┝┥┐(┐A∨B)（3）B∨┐((┐A∨B)∧A)┝┥t

（4）┐A∨(┐B∨C)┝┐(┐A∧B)∨(┐A∨C)

（5）┐(A∨B)∨C┝A∨(┐B∨C)

解（1）┐(┐A∨┐B)∨┐(┐A∨B)┝┥(A∧B)∨(A∧┐B)

┝┥A∧(B∨┐B)┝┥A

对偶式：┐(┐A∧┐B)∧┐(┐A∧B)┝┥A

（2）(A∨┐B)∧(A∨B)∧(┐A∨┐B)┝┥A∧(B∨┐B)∧(┐A∨┐B)┝┥A∧(┐A∨┐B)┝┥A∧┐B┝┥┐(┐A∨B)对偶式：(A∧┐B)∨(A∧B)∨(┐A∧┐B)┝┥┐(┐A∧B)

（3）B∨┐((┐A∨B)∧A)┝┥B∨((A∧┐B)∨┐A)┝┥B∨(┐B∨┐A)┝┥t对偶式：B∧┐((┐A∧B)∨A)┝┥f

（4）┐A∨(┐B∨C)┝A∨┐B∨┐A∨C┝┐(┐A∧B)∨(┐A∨C)对偶式：┐(┐A∨B)∧(┐A∧C)┝┐A∧(┐B∧C)

（5）┐(A∨B)∨C┝(┐A∧┐B)∨C┝(┐A∨C)∧(┐B∨C)┝┐B∨C┝A∨(┐B∨C)对偶式：A∧(┐B∧C)┝┐(A∧B)∧C

练习1.3

1、求以下公式的析取范式、合取范式及主析取范式、主合取范式，并据主析（合）取范式直接确定弄真该公式的指派和弄假该公式的指派：

（1）(┐p∨┐q)→(p?┐q)（2）q∧(p∨┐q)

（3）p∨(┐p→(q∨(┐q→r)))

（4）(p→(q∧r))∧(┐p→(┐q∧┐r))

（5）p→(p∧(q→r))

解（1）(┐p∨┐q)→(p?┐q)┝┥┐(┐p∨┐q)∨((┐p∨┐q)∧(p∨q))

┝┥(p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)（主析取范式）┝┥q∨(p∧┐q)（析取范式）

┝┥p∨q（合取范式、主合取范式）弄真指派：p101弄假指派：p0q110q0

（2）q∧(p∨┐q)┝┥q∧(p∨┐q)（合取范式）┝┥((p∧┐p)∨q)∧(p∨┐q)┝┥(p∨q)∧(┐p∨q)∧(p∨┐q)（主合取范式）┝┥p∧q（析取范式、主析取范式）弄真指派：p1弄假指派：p010q1q001

（3）p∨(┐p→(q∨(┐q→r)))┝┥p∨(p∨(q∨(q∨r)))

┝┥p∨q∨r（合取范式、主合取范式）

┝┥(p∧(q∨┐q)∧(r∨┐r))∨(q∧(p∨┐p)∧(r∨┐r))∨(r∧(p∨┐p)∧(q∨┐q))┝┥(p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧q∧r)∨

(┐p∧q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)（析取范式、主析取范式）

弄真指派：p1111000弄假指派：p0

q1100110q0r1010101r0

（4）(p→(q∧r))∧(┐p→(┐q∧┐r))┝┥(┐p∨(q∧r))∧(p∨(┐q∧┐r))┝┥(┐p∨q)∧(┐p∨r)∧(p∨┐q)∧(p∨┐r)（合取范式）

┝┥(┐p∨q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(p∨┐q∨┐r)∧(p

∨q∨┐r)（主合取范式）

┝┥(┐p∧p)∨(q∧r∧p)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(q∧r∧┐q∧┐r)（析取范式）┝┥(p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)（主析取范式）

弄真指派：p10弄假指派：p111000

q10q001110

r10r010011

（5）p→(p∧(q→r))┝┥┐p∨(p∧(┐q∨r))┝┥┐p∨(p∧┐q)∨(p∧r)（析取范式）

┝┥(┐p∧q∧r)∨(┐p∧q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧

┐q∧┐r)∨(p∧q∧r)（主析取范式）

┝┥(┐p∨p)∧(┐p∨┐q∧r)（合取范式）┝┥┐p∨┐q∧r（主合取范式）

弄真指派：p0000111弄假指派：p1

q1100001q1

r1010101r0

2、主析取范式的两个不同析取项可能在同一指派下均真吗？为什么？主合取范式的两个不同合取项可能在同一指派下均假吗？为什么？

答主析取范式的两个不同析取项不可能在同一指派下均真。由于给定命题公式，其每个命题变元p1,…,pn在每个析取项中均恰出现一次，要使某个析取项在某指派下为真，则该指派下p1,…,pn的取值完全确定，而两个析取项又不一致，所以一个指派最多弄真一个析取项。同理可知主合取范式的两个不同合取项不可能在同一指派下均假。

3、利用范式证明以下公式为永真式（证明合取范式的每一个合取项中含有互补文字、

n

或其主析取范式中含有2个析取项，n是公式中变元的个数）（1）(p→q)∧p→q

（2）((p→q)→(┐p→┐q))→((┐q→┐p)→(q→p))（3）(p?q)?((p∧q)∨(┐p∧┐q))

（4）(p?q)?((r∧p)?(r∧q))∧((r∨p)?(r∨q))（5）┐(p?q)?┐p?┐q

（6）┐(p?q)?┐p?┐q

证（1）(p→q)∧p→q┝┥┐((┐p∨q)∧p)∨q┝┥┐(┐p∨q)∨┐p∨q┝┥(p∧┐q)∨┐p∨q┝┥(p∨┐p∨q)∧(┐q∨┐p∨q)∵合取范式的每一个合取项中均含有互补文字∴原式为永真式

（2）((p→q)→(┐p→┐q))→((┐q→┐p)→(q→p))

┝┥┐(┐(┐p∨q)∨(p∨┐q))∨(┐(q∨┐p)∨(┐q∨p))┝┥((┐p∨q)∧(┐p∧q))∨((┐q∧p)∨(┐q∨p))

┝┥(┐p∧┐p∧q)∨(q∧┐p∧q)∨(┐q∧p)∨(┐q∧p)∨(┐q∧┐p)∨(p∧q)∨(p∧┐

q)

┝┥(┐p∧q)∨(┐q∧┐p)∨(p∧q)∨(p∧┐q)

∵主析取范式中含有22个析取项∴原式为永真式

（3）(p?q)?((p∧q)∨(┐p∧┐q))

┝┥(((p→q)∧(q→p))→((p∧q)∨(┐p∧┐q)))∧(((p∧q)∨(┐p∧┐q))→((p→q)∧(q→p)))┝┥(┐((┐p∨q)∧(┐q∨p))∨((p∧q)∨(┐p∧┐q)))∧(┐((p∧q)∨(┐p∧┐q))∨((┐p

∨q)∧(┐q∨p)))

┝┥((p∧┐q)∨(q∧┐p)∨(p∧q)∨(┐p∧┐q))∧(((┐p∨┐q)∧(p∨q))∨((┐p∨q)∧(┐

q∨p)))

┝┥((p∧┐q)∨(q∧┐p)∨(p∧q)∨(┐p∧┐q))∧((┐p∨┐q∨┐p∨q)∧(p∨q∨┐p∨q)

∧(┐p∨┐q∨┐q∨p)∧(p∨q∨┐q∨p))

┝┥(p∧┐q)∨(q∧┐p)∨(p∧q)∨(┐p∧┐q)

∵主析取范式中含有22个析取项

∴原式为永真式

（4）(p?q)?((r∧p)?(r∧q))∧((r∨p)?(r∨q))

┝┥(p→q)∧(q→p)?(((r∧p)→(r∧q))∧((r∧q)→(r∧p)))∧(((r∨p)→(r∨q))∧((r∨q)→

(r∨p)))

┝┥(┐p∨q)∧(┐q∨p)?((┐(r∧p)∨(r∧q))∧(┐(r∧q)∨(r∧p)))∧((┐(r∨p)∨(r∨q))

∧(┐(r∨q)∨(r∨p)))

┝┥(p∧q)∨(┐p∧┐q)?(┐p∨q∨┐r)∧(p∨┐q∨┐r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨r)┝┥(┐((p∧q)∨(┐p∧┐q))∨((┐p∨q∨┐r)∧(p∨┐q∨┐r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨

r)))∧(┐((┐p∨q∨┐r)∧(p∨┐q∨┐r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨r))∨((p∧q)∨(┐p∧┐q)))

┝┥((┐p∨┐q∨q∨r)∧(p∨q∨┐p∨r)∧(┐p∨┐q∨p∨r)∧(p∨q∨┐q∨r)∧(┐p∨

┐q∨p∨┐r)∧(p∨q∨┐q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨q∨┐r)∧(p∨q∨┐p∨┐r))∧((p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧q∧┐r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q)∨(┐p∧┐q))

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