平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题

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七下平行线，平面直角坐标系压轴题

一．填空题（共13小题）

1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为．

2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为．

碰见矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是；点P2023的坐标是．

5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），AB=5.对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2023的直角顶点的坐标为．

3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的状况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）．

6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2023次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2023的位置，则P2023的坐标为．

4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰见矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰见矩形的边时的点为P1，第2次碰见矩形的边时的点为P2，…，第n次

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7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→〞方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2023个点的横坐标为．

10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→〞方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，

根据这个规律摸索可得，第90个点的坐标为．

8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2023次，依次得到点P1，P2，P3…P2023．则点P2023的坐标是．

9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为．

11．如下图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律摸索可得，第102个点的坐标为．

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二．解答题（共27小题）

14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在以下解答中，填写相应的理由：

解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．

∵AB∥CD（已知），

∴MQ∥CD（假使两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互

12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，其次次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…

已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观测每次变换前后的三角形有何变化，依照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是，B5的坐标是．

相平行）

∴∠1=∠3，∠2=∠4（）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．

∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）

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13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至点A1（﹣1，1），其次次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动点A4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A第2023次跳动至点A2023的坐标是．

∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（）

∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；

（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；

（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；

（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）

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16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．（1）若E是AB，CD内一点．

①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．

②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．（2）若E是AB，CD外一点．

①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．

17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．

（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED=°；

（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；

（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．

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18．小明在学习了“平行线的判定和性质〞知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．（1）当点E分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度数是．（直接写出结果，不

用

写

计

算

过

程

）

19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．

（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；

（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；

（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．

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20．已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则

=．

21．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；

（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；

（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．

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22．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，其次次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

23．“一带一路〞让中国和世界更紧凑，“中欧铁路〞为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便马上回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便马上回转，两灯不停交织照射巡查．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．

（1）填空：∠BAN=°；

（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束相互平行？

（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；

（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．

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24．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．25．已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．

（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．

（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．

（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．

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26．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；

（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．

27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．（1）求证：EM∥NG；

（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．

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28．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；

（2）把“∠AOB=90°〞改为“∠AOB=120°〞，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．

29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．

（1）填空：AB与CD的关系为，∠B与∠D的大小关系为（2）如图2，若∠B=60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．

（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG=．

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30．已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回复以下问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）

（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．

（ⅰ）求∠EOC的度数；

（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；

（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）

31．数学思考：

（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．推广延伸：

（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；

②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系．拓展应用：

（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A．α+β+γB．β+γ﹣αC.180°﹣α﹣γ+βD.180°+α+β﹣γ

②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．

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32．已知，直线AB∥CD

（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立？假使成立，请证明；假使不成立，请写出你的猜想，并证明．

33．阅读以下材料并填空：

（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？

我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画线，平面内有3个点时，一共可以画一共可以画

条直

条直线，平面上有4个点时，

条直线，平面内有5个点时，一共可以画条

直线，…平面内有n个点时，一共可以画条直线．

（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必需比赛一场），一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行

场比赛，有3个球队时，要进行

场比赛，有4个球队时，

要进行场比赛，…那么有20个球队时，要进行场比赛．

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35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．

（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠34．若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β

CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求∠EKD的度数．

（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．

（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）

（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5=．（用α、β表示）

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36．已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．（1）探究发现：（填空）填空：如图1，过P作PQ∥AB，∴∠A+∠1=°（）∵AB∥CD（已知）∴PQ∥CD（）∴∠C+∠2=180°

结论：∠A+∠C+∠APC=°；（2）解决问题：

①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P与∠F存在怎样的数量关系并说明理由；

②如图3，若∠APC=100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，则∠M的度数为（直接写出结果）．

37．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．

（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；

（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．

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38．试验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1=∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=°，∠3=°．

（2）在（1）中m∥n，若∠1=55°，则∠3=°；若∠1=40°，则∠3=°．

（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？

（4）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试摸索α与β的数量关系．直接写出答案．．

39．已知EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．（1）如图1，若∠1=60°，则∠2=度；（2）如图2，若∠1=∠B﹣20°．则∠2=度；

（3）如图3，延长AC交直线MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN交GH于K，问∠GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由．

40．已知AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．（1）如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．

（2）如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．

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1.（﹣5，2）或（5，2）;2.（1，3）或（5，1）3.B;4.（8，3），（5，0）;5.（8052，0）6.（2023，1）7.45．8.（4023，

）．9.（5，﹣5）．

线上，

∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．∴y=2．

∵点N到y轴的距离为5，∴|x|=5．得，x=±5．

∴点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．故答案为：（﹣5，2）或（5，2）．

此题考察坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．

2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（1，3）或（5，1）．

10.（﹣5，13）．11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）;13.（﹣1009，1009）

七下平行线，平面直角坐标系压轴题

参考答案与试题解析

一．填空题（共13小题）

1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．根据点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．解：∵点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直

分两种状况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．

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解：①如图1，当A平移到点C时，化状况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为

（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的状况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是B（填A、B、C、D或E）．

∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为（1，3），②如图2，当B平移到点C时，

根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．

解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．

∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），

∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），∴点B经过点（75，0）．故答案为：B．

∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为（5，1），故答案为：（1，3）或（5，1）．

此题考察坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移一致，从而通过某点的变

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此题考察了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就是经过（5，0）的点．

4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰见矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰见矩形的边时的点为P1，第2次碰见矩形的边时的点为P2，…，第n次碰见矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是（8，3）；点P2023的坐标是（5，0）．

∵2023÷6=335…4，

∴当点P第2023次碰见矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（8，3），（5，0）．

此题主要考察了点的坐标的规律，作出图形，观测出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．

5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2023的直角顶点的

坐标为（8052，0）．

根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2023除以6，根据商和余数的状况确定所对应的点的坐标即可．

解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），当点P第3次碰见矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；

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根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置一致可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2023除以3，根据商为671可知第2023个三角形的直角顶点为循环组的最终一个三角形的顶点，求出即可．

解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB=

=5，

点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2023的位置，则P2023的坐标为（2023，1）．

根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2023变形，

由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2023÷3=671，

∴△2023的直角顶点是第671个循环组的最终一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，

∴△2023的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．

此题是对点的坐标变化规律的考察了，难度不大，细心观测图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．

6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2023次，

得出结论．

解：根据规律

P1（1，1），P2（2，0）=P3，P4（3，1），P5（5，1），P6（6，0）=P7，P8（7，1）…

每4个一循环，可以判断P2023坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致，坐标应当是（2023，1）故答案为：（2023，1）

此题主要考察了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和把握，表达了由特别到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考察本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．

7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺

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序按图中“→〞方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2023个点的横坐标为45．

…

右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2023个点是（45，13），

所以，第2023个点的横坐标为45．故答案为：45．

此题考察了点的坐标，观测出点个数与横坐标的存在的平方关

系是解题的关键．

8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2023次，依次得到点P1，P2，P3…P2023．则点P2023的坐标是（4023，）．

观测图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最终以横坐标为该数，纵坐标为0终止，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点终止，根据此规律解答即可．

解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，

例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，

根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1，

）；在等边三

角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2023的坐标．

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解：易得P1（1，而P1P2=P2P3=2，∴P2（3，依此类推，Pn（1+2n﹣2，当n=2023时，P2023（4023，故答案为：（4023，

）．

）；），P3（5，

）；

）；

由

=5易得A20在第四象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12

的坐标不难推出A20的坐标．解：∵

=5，

），即Pn（2n﹣1，）．

∴A20在第四象限，

∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，﹣1），

同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），∴A20的坐标为（5，﹣5），故答案为：（5，﹣5）．

此题考察坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限．

10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→〞方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律摸索可得，第90个点的坐标为（﹣5，13）．

考察了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，寻常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．

9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为（5，﹣5）．

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∴第91个点的坐标为（﹣6，13），第90个点的坐标为（﹣5，13）．故答案为：（﹣5，13）．

此题考察了点的坐标与规律变化问题，观测出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．

11．如下图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律摸索可得，第102个点的坐标为（14，10）．

观测可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．解：（0，1），共1个，（0，2），（1，2），共2个，

（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，…，

依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，

1+2+3+…+n=当n=13时，

，

=91，

应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．

解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为其次列，依此类推，则第一列有一个数，其次列有2个数，第n列有n

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所以，第90个点的纵坐标为13，（13﹣1）÷2=6，

个数．则n列共有数列点的顺序由下到上．

个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶

等，所以A5的纵坐标是3；

这些点的横坐标有一定的规律：An=2n．因而点A5的横坐标是25=32；B、B1、B2…Bn都在x轴上，B5的纵坐标是0；

这些点的横坐标也有一定的规律：Bn=2n+1，因而点B5的横坐标是B5=25+1=64．

∴点A5的坐标是（32，3），点B5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．

考察X轴上的点的特征与平行于X轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．

13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至点A1（﹣1，1），其次次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动点A4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A第2023次跳动至点A2023的坐标是（﹣1009，1009）．．

由于105=1+2+3+…+14，则第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐标是（14，10）．故答案填：（14，10）．

此题考察了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．

12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，其次次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…

已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观测每次变换前后的三角形有何变化，依照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是（32，3），B5的坐标是（64，0）．

寻觅规律求解．

解：A、A1、A2…An都在平行于X轴的直线上，点的纵坐标都相

根据图形观测发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数

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的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标一致，然后写出即可．

解：观测发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…

第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），

则第2023次跳动至点的坐标是（1010，1009），第2023次跳动至点A2023的坐标是（﹣1009，1009）．故答案为：（﹣1009，1009）．

此题考察了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化状况是解题的关键．

二．解答题（共27小题）

14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；

请在以下解答中，填写相应的理由：

解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．

∵AB∥CD（已知），

∴MQ∥CD（假使两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行）

∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．

∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）

∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）

∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；

（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

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∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．

由（1）得：∠HMF=（∠EHP+∠DFP）=×90°=45°．

（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；

（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；

（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最终根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．

解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；

由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．

故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．

（3）如图3，∵NQ⊥FM，

∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）．∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．

∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，

又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠HFE+∠EFD）=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，

∴∠EHF+∠HFD=180°，

∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2（90°﹣∠FNQ）=2∠FNQ，即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

（2）如图2，∵HP⊥EF，∴∠HPE=90°，

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此题主要考察了平行线的性质与判定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的关键是把握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；

（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；

（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）

（1）根据平行线的性质即可得到∠AEC=∠AFM，再根据∠AEC=∠BAC，可得∠AFM=∠BAC，根据∠BFA+∠AFM=180°，可得结论；（2）根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到与∠CAF相等的角；

（3）过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，根据平行线的性质，即可得到∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，再根据∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，可得∠CEM+∠FBM=（∠CED+∠FBD），进而得到∠M的度数．解：（1）如图1，∵直线m∥n，∴∠AEC=∠AFM，∵∠AEC=∠BAC，∴∠AFM=∠BAC，又∵∠BFA+∠AFM=180°，

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∴∠BFA+∠BAC=180°；

（2）与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG．证明：∵∠AEC=∠BAC，∠ACE=∠NCA，∴∠CAE=∠ANC=∠BNG，∵m∥n，

∴∠ABF=∠ANC，

∴与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG；

（3）如图2，过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，∵BF∥CE，

∴DH∥BF∥CE，MG∥BF∥CE，∴∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，

∴∠CED+∠FBD=∠EDB=180°﹣∠ADC=180°﹣α，∵∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，

∴∠CEM+∠FBM=（∠CED+∠FBD）=（180°﹣α）=90°﹣α，∵MG∥BF∥CE，

∴∠CEM=∠GME，∠FBM=∠GMB，

∴∠BME=∠GME+∠GMB=∠CEM+∠FBM=90°﹣α．

此题主要考察了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．（1）若E是AB，CD内一点．

①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．

②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．

（2）若E是AB，CD外一点．

①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠

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MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．

∵AB∥CD，∴EF∥CD，

∴∠BME+∠FEM=180°，∠DNE+∠FEN=180°，∴∠BME+∠FEM+∠DNE+∠FEN=180°+180°=360°，

即∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②如图乙，过F作FG∥AB，

（1）①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，同旁内角互补进行推导，即可得到∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②过F作FG∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠MFN=∠1+∠2，再结合①的结论，即可得出3∠MFN+∠MEN=360°；

（2）①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行推导计算，即可得到∠DNE﹣∠BME=∠MEN；②设∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，根据8字形结构得到∠GNQ=3α+3β，根据三角形外角性质以及平行线的性质，得到∠GND=∠1=α+β，据此可得∠ENG：∠GND的值．解：（1）①∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．证明：如图甲，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴FG∥CD，

∴∠1=∠MFG，∠2=∠NFG，∴∠MFN=∠1+∠2，

又∵∠1=∠BME，∠2=∠DNE，∴∠BME=3∠1，∠DNE=3∠2，又∵∠BME+∠DNE+∠MEN=360°，∴3∠1+3∠2+∠MEN=360°，即3∠MFN+∠MEN=360°；

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（2）①∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系为：∠DNE﹣∠BME=∠MEN．理由如下：如图丙，过E作EF∥AB，

∵∠1是△GFM的外角，∴∠1=∠G+∠GMF=β+α，又∵AB∥CD，∴∠GND=∠1=α+β，

∴∠ENG：∠GND=（3α+3β）：（α+β）=3．

此题主要考察了平行线的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质的运用，过拐点作平行线，确凿识图，理清图中各角度之间的关系是解决问题的关键．

17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．

（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED=70°；

（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；

∵AB∥CD，∴EF∥CD，

∴∠DNE=∠FEN，∠BME=∠FEM，又∵∠FEN﹣∠FEM=∠MEN，∴∠DNE﹣∠BME=∠MEN；②点G的大致位置如图丁所示：

（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．

设MG与NE交于点Q，NG与AB交于点F，设∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，∵∠EQM=∠GQN，

∴∠E+∠EMQ=∠G+∠GNQ，

即∠GNQ=∠E+∠EMQ﹣∠G=4β+3α﹣β=3α+3β，

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（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．理由：∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHC，

∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHG=∠AED+∠EDG，

∴∠EAF=∠AED+∠EDG；

（1）延长DE交AB于H，依据平行线的性质，可得∠D=∠AHE=40°，再根据∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°；（2）依据AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角，即可得到∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG；

（3）设∠EAI=α，则∠BAE=3α，进而得出∠EDK=α﹣2°，依据∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，可得3α=22°+2α﹣4°，求得∠EDK=16°，即可得出∠EKD的度数．

解：（1）如图，延长DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D=∠AHE=40°，∵∠AED是△AEH的外角，

∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°，故答案为：70；

（3）∵∠EAI：∠BAI=1：2，∴设∠EAI=α，则∠BAE=3α，

∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI，

又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，∴∠EDK=α﹣2°，∵DI平分∠EDC，

∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4°，∵AB∥CD，

∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，即3α=22°+2α﹣4°，解得α=18°，∴∠EDK=16°，

∴在△DKE中，∠EKD=180°﹣16°﹣22°=142°．

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（1）依据图①、图②和图③所示的位置，直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系即可；（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠B和∠C、∠BEC的数量关系；（3）由图②的结论可得，∠ABE+∠DCE=360°﹣∠E=360°﹣100°=260°，再根据BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，可得∠PBE+∠PCE=130°，利用四边形PCEB内角和进行计算即可．

解：（1）图①：∠B+∠C=∠BEC；图②：∠B+∠C+∠BEC=360°；图③：∠C﹣∠B=∠BEC．（2）选图①证明：证明：过点E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（平行于同一条直线的两直线相互平行），∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等），∵EF∥AB，

∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等），∴∠B+∠C=∠CEF+∠BEF（等式的性质），

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此题主要考察了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

18．小明在学习了“平行线的判定和性质〞知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接B