全等三角形在初中数学中的应用

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本科生毕业论文

论文题目:全等三角形的证明在初中数学中的应用

、学号：李发蝌2023111233

学院、年级：数学与信息科学学院2023级学科、专业：数学数学与应用数学指导教师：罗红英完成日期：2023年5月20日

曲靖师范学院教务处

全等三角形的证明在初中数学中的应用

摘要

“全等三角形的证明〞是在初中数学平面几何中占重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中都有出现，新课标的要求是“摸索并把握两个三角形全等的条件〞，因此把握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。其证明方法繁多，技巧性强，有一定的通法，所以研究范围极广，难度极大．论文整理和归纳了全等三角形证明的步骤及其本卷须知，分别列举了几种常用的全等三角形的证明方法，让每一种方法兼有理论与实践性．旨在使学生对全等三角形证明及其应用问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关全等三角形问题时能融会贯穿、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工提供参考．

学思想.同时，还要让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的基才能实，从而激发学生学习数学的兴趣.杨晓军在文[3]中精选了有关全等三角形的中考题进行解析，让同学们找到中考复习方向，引领学生成功中考.林伟杰在文[4]全析了全等三角形的性质、判定及其应用.刘申强在文[5]中编著了全等三角形在生活中的应用，从生活中的不同角度研究了全等三角形，发现数学在现实生活中的美.黎强在文[6]提出了《全等三角形》的教学设想，指出了如何确定教学目标，教学重难点.喻俊鹏在文[7]中，编著了全等三角形的易错题，并结合实例列举了初中数学中全等三角形的若干案例，分析出了学生在有关全等三角形的证明解题过程中存在的各种问题.刘玉东、董云霞、查贵宾在文[8]、[9]、[10]中探讨了构造全等三角形的方法与技巧.张文国在文[11]中总结了全等三角形的创新题，让读者以创新思维思考全等三角形的证明.保明华在文[12]中探讨了全等三角形中考摸索题，让学生感受证明全等三角形的摸索性和创新性，并且辅导学生把握全等三角形的证明的方法.李怀奎在文[13]中指出如何对基本图形的认识来找全等三角形，从基本的图形认识开始发现全等三角形.解广义在文[14]中进行了全等三角形的教学设计，生动形象的设计了全等三角形证明的教学过程.姜彰全,吴颖二人在文[15]中讲解了如何巧证全等三角形，淋漓尽致地写出了全等三角形的证明技巧.

2．2国内研究评价

从查到的国内文献来看，国内研究者对全等三角形的证明方法介绍了好多，文献[1-15]分别全等三角形的性质、不同证明方法及应用作了论述，文献中阐述一种或几种全等三角形的证明方法，一些文献写理论较多，一些文献写例子较多，理论很少，而且大量方法有名称不一而本质一样的情形，如构造法在形式上都是根据三角形的性质来进行分解求解的，但不同的图形有不同的构造方法，所以，有必要重新整理和归纳全等三角形证明方法，让每一种方法兼具理论与实践性.

2．3提出问题

全等三角形的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，而且全等三角形的证明历来是中学特别是初中数学教学的一个重点和难点.因此，在前人研究全等三角形的证明方法的基础上，试图完整地整理出常用的几类方法，使之系统化，并在此基础上探寻新的证明方法.

3证明全等三角形的知识梳理及本卷须知

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3．1全等三角形知识梳理

定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形（注：相像三角形的特别状况是全等三角形）.

当两个三角形完全重合时，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.

所以，可以得出：全等三角形的对应角相等，对应边相等.

(1)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(2)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，公共角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；三角形全等的判定公理及推论

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称“边边边〞或“SSS〞)，这一条说明白三角形具有稳定性.

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边〞或“SAS〞).3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(“角边角〞或“ASA〞).4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边〞或“AAS〞).

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边，直角边〞或“HL〞).

所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理.

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种状况都不能唯一确定三角形的形状.

全等三角形的性质

1、全等三角形的对应角相等、对应边相等.

2、全等三角形的对应边上的高对应相等.3、全等三角形的对应角平分线相等.4、全等三角形的对应中线相等.5、全等三角形面积相等.6、全等三角形周长相等[1].

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3．2证明全等三角形的步骤及本卷须知

如何学好全等三角形的证明呢？这就要小步走，勤思考，进行由易到难的训练，实现由实（题目已有现成图形）到虚（要自己画图形或需要添加辅助线）、由模仿证明到独立推理的升华.具体可分为三步走：第一步，学会解决只证一次全等的简单问题，重在模仿.这期间要注意课本例题证明的模仿，使自己的证明语言确凿，格式标准，过程简练.证明两个三角形全等，一定要写出在哪两个三角形，这既为以后在繁杂图形中有意识去寻觅需要的全等三角形打下基础，更便利批阅者；同时要注意顶点的对应，以防对应关系出错；证全等所需的三个条件，条件不明显的要先证明，最终用大括号括起来；每一步要填注理由，训练思维的严密性.通过训练一段时间，对证明方向明确、内容变化少的题目，要能熟练地独立思考证明，切实迈出坚实的第一步.其次步，能在一个题目中用两次全等证明过渡性结论和最终结论，学会分析.在学习等腰三角形全等、直角三角形时逐步加深难度，学会一个题目中证两次全等，特别要学会用分析法有条不紊地寻觅证题途径，分析法目的性强，条理明白，结合综合法，能有效解决较繁杂的题目.同时，这时的题目一般都不只一种解法，要求一题多解，比较优劣，总结规律.第三步，学会命题的证明，把握添加辅助线的常用方法.命题的证明可全面培养数学语言（包括图形语言）的运用能力，则在已知和未知间架起一座沟通的桥梁就要用到辅助线，这都有一定的难度，切勿前功尽弃，放松努力.同时要熟悉一些基本图形的性质，如“角平分线＋垂直＝全等三角形〞.证明全等不外乎要边等、角等的条件，因此在平日学习中就要积累存在或可推出边等（或线段等）、角等的状况.应用起来自然会得心应手.

4证明全等三角形的构造法

所谓构造法，就是指通过分析条件和结论充分细致，抓住问题的特征，恰当地构造辅助元素，联想熟知的数学模型，然后变换命题，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学思考方法.构造法本质上是化归思想的运用，但它往往表现出精良、简捷、明快、别致等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性.

4．1构造全等三角形的常用方法

截长补短法、平行线法（或平移法）、旋转法、倍长中线法、翻折法.4．1．1截长补短法（寻常用来证明线段和差相等）

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“截长法〞即根据已知条件把结论中最大的线段分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法〞为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等.

例1如图（1）已知：正方形ABCD中，?BAC的平分线交BC于E，求证：

AB?BE?AC.

简析：图中没有直接给出与问题有关的全等三角形，所以要延长一条直线，构造出全等三角形，根据角相等证明出三角形是等腰三角形，然后利用转换思想BE?BF，就可以证明出结果.

证明:延长AB至F使AF?AC∵AE是?CAB的平分线∴?FAE??CAE在?FAE和?CAE中∵AF?AC∵?FAE??CAE∵AE?AE

∴?FAE??CAE(SAS)∴?EFA??ECA?45?∴?BFE是等腰直角三角形∴BE?BF

∴AF?AB?BF?AB?BE∴AB?BE?AC

小结：线段的和差问题往往借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两

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条（或几条）线段转化到同一直线上．证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：延长其中一条短线段，在上面上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法〞．在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法〞．证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法就是这两种．

4．1．2平行线法（或平移法）

若题目中含有中点可以试过中点作平行线或中位线（平行且等于第三边的一半），对直角三角形,有时可作出斜边的中线．

例2如图，在?ABC中，?BAC?60?，?C?40?,AP平分?BAC交BC于点P，

BQ平分?ABC交AC于Q，求证:AB?BP?BQ?AQ图（3）

说明:(1)此题可以在AB截取AD?AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法\．

(2)此题利用“平行线法〞的解法较多，举例如下：

①如图（2），过O作OD//BC交AC于D，则证明?ADO??ABO解决．②如图（3），过O作DE//BC交AB于D，交AC于E，则证明?ADO??AQO和

?ABO??AEO解决．

③如图（4），过P作PD//BQ交AB的延长线于D，则需证明?APD??APC解决．④如图（5），过P作PD//BQ交AC于点D，则只需证明?ABP??ADP解决．4．1．3旋转法

对题目中出现相等的线段有一个公共端点时，可尝试用旋转法来构造全等三角形例3如图，设点P为等边三角形ABC内任一点，试比较线段PA与PB?PC的大小．

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图（6）

简析：题目虽然短，但涉及到的知识点好多．由于?ABC是等边三角形，所以可以将?ABP绕点A旋转60?到?ACP?的位置（用到等量代换），连结PP?，则

?ACP???ABP(SAS)，所以AP??AP，CP??BP，则?APP?是等边三角形，即PP??PA，

在?CPP?中，由于PP??PC?P?C，所以PA?PB?PC．

说明：由于图形旋转的前后，只是变化了位置，而大小和形状都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特别的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形解题．4．1．4倍长中线法

题目中若条件有中线，可将其延长一倍，以构造新的全等三角形，从而使分散条件集中在一个三角形内．

例4如图，在?ABC中，AD是它的中线，作BE交AD于点F，使AE?EF．说明线段AC与BF相等的理由．

图（7）

简析：由于AD是?ABC中线，于是可延长中线AD到G，使DG?AD，连结BG，则在?ACD和?GBD中，AD?GD，?ADC??GDB，所以?ACD??GBD(SAS)，则

AC?GB，?BFG??G，而AE?EF，所以?CAD??AFE，又由于?AFE??BFG，

所以?BFG??G，BF?BG，即AC?BF．

说明：要说明线段或角相等，寻常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而

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遇到中线时又寻常通过延长中线来构造全等三角形．4．1．5翻折法

若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．

例5如图，已知：在?ABC中，?A?45?，AD?BC，假使BD?4，DC?3，求

?ABC的面积．

图（8）

解：以AB为轴将?ABD翻转180o，得到与它全等的?ABE，以AC为轴将?ADC翻转180o，得到与它全等的?AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方

t?BGC形，设它的边长为?，则BG???4，CG???3，在R中，(??4)2?(??3)2?52,

解得??8，则AD?6，所以S?ABC?5?8?20．2说明：当从题目已知中不能直接明确的求出问题时，我们可以从一般图形通过翻转转变为特别的图形，用简便的方法求解，变换可以有一步或几步．

4．2由角平分线构造全等三角形

不管是两个图形轴对称还是轴对称图形，我们都不难发现轴上一点（此点作为顶点）与对应点组成的角被轴平分，便利我们在做题中假使遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把线段、角转移达到解题目的．

例6如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，?DBC?45?，翻折梯形ABCD，使点

B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD?4，BC?10．求BE的长．

图（9）图（10）

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解：由题意得

根据翻折重合，得?BFE??DFE，∴DE?BE

在?BDE中，DE?EB，且?EBD?45?∴?EDB??EBD?45?∴?BED?90?，即BC?DE，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，

过A作BC?AG，交BC于G，如图（10），四边形AGED是矩形∴GE?AD?4在Rt?ABG和RtRt?DCE中，DC?AB，DE?AG∴Rt?ABG?Rt?DCE(HL)，∴BG?CG∴CE?∴BE?6．

说明：由角平分线构造全等三角形，这类题是很简单的，可以根据角平分线上的点到两边的距离相等，就构造出直角三角形，进而对称轴就是公共边，就可以用HL证明全等三角形.

1?BC?AD??424．3添加辅助线构造全等三角形

在证明几何图形题目的过程中，寻常需要先通过证明全等三角形来研究转移线段或角，或者两条线段或角的相等关系。但有些时候，这样要证明的全等三角形在题设中，并不是十明显显。针对这样的题型我们需要通过添加辅助线，构造出全等三角形，进而就可以证明所需的结论.

在这里，我尝试通过几个典型例题让大家了解添加辅助线构造全等三角形的方法.当然这些例题表达了添加辅助线的方法是从简单到繁杂，从特别到一般，研究线段的长短关系是表达了从不相等到相等的递进关系[2].

注意：添加的辅助线都是用虚线表示.4．3．1直接证明线段（角）相等

例7如图，已知AB?AD，CB?CD，(1)求证：?B??D；(2)若AE?AF，试猜想CE与CF的大小关系.

如图（11）

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简析：第（1）小问考虑到在没有学习等腰三角形的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。此题要证明?B??D．在题目的已知条件中明显缺少全等的三角形，我们就要想到添加辅助线连结AC后，以AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看出?ABC??ADC，进而就证明?B??D.假使在学习等腰三角形的知识后还可以连结BD，通过说明等边对等角，再用角的等量代换关系得到

?B??D更加简单.

第（2）小问猜想CF?CE，在连结AC证明?ABC??ADC后，得到?CAE??CAF，再证明?CAE??CAF，进而证明EC?FC.

如何添加辅助线：方法1添加辅助线，连结AC，证明?ABC??ADC，进而?B??D.

BD??CDB方法2添加辅助线连接BD，由于AB?AD，所以，?ABD??ADB．即?C，

?ABD??CBD??ADB??CDB，即?B??D.又由于BE?DF，CB?CD,故?BCE??CDF，进而CE?CF.

小结：通过例7我们初步体会添加辅助线的必要性，例7的两个小问的简析，从添加辅助线证明一次全等三角形得角相等，然后到添加辅助线证明二次全等三角形得线段相等，我们可以感觉到问题层次的递进.特别是例7(1)中假使B、C、D共线的时候可以得到等边对等角的结论，为第（2）问做铺垫.4．3．2转移线段到一个三角形中证明线段相等

例8如图，已知AD是?ABC的中线，且BE交AC于点E，交AD于点F，且

EA?EF.求证：AC?BF.

图（12）

简析：要证AC?BF，我们可以把线段AC、BF转移到它们所在的三角形中，然后证明这两个三角形全等，显然图中没有直观的给出含有AC、BF的两个全等三角形图形，但我们可以根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不是太简单，这时我们就要重新思考一条出路，想到在同一个三角形中等角对等边，这时能够把两条线段转移到同一个三角形中，我们只要说明转移在同一个三角形后的这两条线段

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所对的角相等就可以了.

BF，简析：思路1以?ACD为基础三角形，来转移线段AC、使这两条线段在?BFH中.法一：延长AD到H，使HD?AD，连结BH，再证明?ACD和?HBD全等，可得

AC?BH.通过证明?DHB??HFB，就可得到BF?BH.

图（13）

证明：添加辅助线延长AD到H，使HD?AD，连结BH∵D是BC中点∴BD?CD

在△?ACD和?BDH中

?DH?AD???BDH??ADC?BD?CD?∴?ACD??BDH(SAS)∴AC?BH，?DHB??HFB∵AE?EF∴?EAH??EFA又∵?BFH??AFE∴BH?BF∴AC?BF

法二：可以过点B作BH平行AC与AD的延长线相交于点H，证明?ACD和?BDH全等.

小结：对于含有中线的全等三角形问题，可以通过“倍长中线〞法得到两个全等三

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角形.但是过一点作己知直线的平行线，可起到转移角的作用，也起到构造全等三角形的作用.

思路2以?BFD为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在两个全等三角形中.法三：添加辅助线延长FD至H，使HD?FD，然后连结HC，证明?HDC和?FDB全等.

图（14）

证明：延长FD至H，使HD?FD，连结HC∵D是BC中点∴BD?CD在?HDC和?FDB中

?FD?HD???ADB??HDC?BD?CD?∴?HDC??CHD(SAS)∴?H??CAH∵AE?FE∴?HAC??AFE又∵?AFE??BFH∴?H??HAC∴CH?CA∴AC?BF

法四：过点C作CH平行FB与AD的延长线相交于点H，证明△?HDC和△FDB全等.

小结：通过添加辅助线的方法一题多解，我们可以体会到添加辅助线目的在于构造

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全等三角形.而从不同途径来可以有不同的添加方法，实际是实现线段的转移体会构造全等三角形在线段转移中的地位.从变换的观念可以看到，不管是作平行线法还是倍长中线法，实质都是一个以中点为旋转中心的三角形旋转变换构造了全等.

熟悉法一、法三“倍长中线〞法的辅助线所用到的基本图形“八字型〞和“倍长中线〞两种基本添加辅助线方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段的证明全等三角形的方法有技巧可寻.

图（15）

4．3．3转移线段到一个三角形中证明线段不等关系

例9如图，已知AD是?ABC的中线，求证：AB?AC?2AD.

简析：用例8的辅助线的添加方法，学会识别基本图形，并利用它们去解决不等关系的问题.AB、AC、2AD不在同一个三角形中，假使能将中线倍长，转移AC就可在同一个三角形找出与AB、AC、2AD相关的线段，再利用三角形两边之和大于第三边可以很简单的解决。

图（16）

证明：添加辅助线延长AD至E，使ED?AD，连接BE．∵AD是?ABC的中线，在?ACD和?EBD中，

?AD?ED?∵??ADC??EDB

?CD?BD?13

∴?ACD??EBD（SAS）∴AC?BE

在?ABE中，AB?BE?AE,∴AB?AC?2AD.

5全等三角形的证明在初中数学中的应用

例10（2023年云南省中考题）如图，在?ABC和?ABD中，AC与BD相交于点E，

AD?BC，?BAD??ABC，求证：AC?BD．

图（17）

简析:可以根据“SAS〞证明三角形ABD和三角形BCA全等，这里要用到化归思想，要证明线段相等可以化归为证明三角形全等，由全等三角形的性质可证明AC?BD．

证明：在?ABD和?BCA中，

?AD?BC???BAD??ABC?AB?BA?∴?ADB??BAC（SAS）∴AC?BD

说明：此题考察了证线段相等化归为证全等三角形，而全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

例11（2023年曲靖市中考题)如图，?ACD?90?，AC?BC，AD?CE于点D，

BE?CE于点E.（1）求证：?ACD??CBE；（2）已知AD?6，DE?2，求EF的长.

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图（18）

简析：第（1）问在?ACD和?CBE中，已知有AC?BC，还有一组直角相等，现在我们可以找一条对应边用“SAS〞证明全等三角形或者是找一个对应角用“AAS〞证明，这时就要根据已知条件去找，哪个便利就用哪个，由已知条件可以根据同角的余角相等来证明.

证明：如图，∵AD?CE∴?2??3?90?又∵?1??2?90?∴?1??3

又∵AD?CE，BE?CE∴?E??ADC?90?在?ACD和?CBE中

??E??ADC???1??3

?AC?BC?∴?ACD??CBE（AAS）

简析：第（2）问此题求的长，从直观上看不能用简便的方法求，可以把放到两个相像的三角形中，可以通过证两个相像三角形来求.

解：∵?ACD??CBE∴CE?AD?6

∴CD?CE?ED?6?2?4∵?E??ADF，?BFE??AFD∴?BEF~?ADF∴

BEEF?ADDF设EF??，则DF?2??∴

4??62??4515

∴??

即EF?45说明：这个题把全等三角形和相像三角形有机的结合在一起考学生，对学生有意识的进行选拔，也对学生高要求，它着重强调全等三角形和相像三角形的一致点和不同点，让学生能区分开，这类题型在中考中也算是中难度的题了.

例12（2023年上海市中考题）如图，在△ABC中，?ACD?90?，?B??A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．求证：

ADE?EF.

B

DEFC图（19）

简析：要证DE?EF，从题目中我们不能直观的证明它们相等，要先转化证明平行四边形再证全等三角形，通过两对边分别平行的性质证明四边形BCFD是平行四边形

BCFD，然后把边DE和EF放在?CED和?CEF中，证明这两个三角形全等，进而就

可以证明DE?EF.

证明：∵DE∥BC，CF∥AB

∴四边形BCFD是平行四边形BCFD∴BD?CF,DF?AC∴?CED和?CEF是直角三角形

又∵?ABC是直角三角形，且D为AB的中点∴CD?BD∴CD?CF

在Rt?CED和Rt?CEF中

?CE?CE??CF?CD16

∴Rt?CED?Rt?CEF(HL)∴DE?EF

说明：几何图形之间线段与角的关系是有联系的，但是要对每个图形的性质把握，才能搭起桥梁，建立关系.

例13(2023年云南省中考题)如图，在?ABC中，?C?90?，点D是AB边上的一点，DM?AB，且DM?AC，过点M作ME//BC交AB于点E.求证?ABC??MED.

图（20）

简析：题目中给得每个已知条件都是关键，有直角三角形就想到用“HL〞,但是已知条件中没有明确给出斜边AB?ME，所以我们要另谋出路，根据ME//BC，

?MED??ABC，用“AAS〞来证明?ABC??MED.

证明：∵DM?AB

∴?MDE??C?90?又∵ME//BC∴?CBA??DEM