幂级数展开课件

数学物理方法幂级数展开幂级数展开复级数幂级数和泰勒展开双边幂级数和罗朗展开孤立奇点本章小结复级数复数项级数形式：i=1ui

通项：ui为复数部分和：sn=nui

和：s=limsn

余项：rn=s-sn=un+1+un+2+…收敛：s存在>0,N(),s.t.n>N()=>|s-sn|<

绝对收敛定义：s

=i=1|ui|收敛性质：绝对收敛=>收敛复级数复函项级数形式：∑i=1ui(z)通项：ui(z)部分和函数：sn(z)

=∑i=1nui(z)

和函数：s(z)=limsn(z)

收敛域：{z|s(z)存在}定义：>0,N(,z),s.t.n>N(,z)|s(z)-sn(z)|<

一致收敛性：定义：>0,N(),,s.t.n>N()|s(z)-sn(z)|<性质：各项连续和连续，和的积分=各项积分之和；各项可导和可导，和的导数=各项导数之和幂级数和泰勒展开幂级数形式：s(z)=∑k=0ak(z-b)k收敛域：R=limk|ak/ak+1|=limk|ak+1(z-b)k+1/ak(z-b)k|=|z-b|/R|z-b|<R<1，绝对收敛；|z-b|=R=1，不确定；|z-b|>R>1，发散。一致收敛性：s(z)dz=k=0

ak(z-b)kdzs’(z)=k=0[ak(z-b)k]’幂级数和泰勒展开泰勒展开问题：一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？泰勒定理：一个在圆|z-b|=R内解析的函数f(z)可以展开为幂级数f(z)=∑k=0ak(z-b)k该幂级数在圆|z-b|=R内收敛；以b为中心的展开式是唯一的；系数ak=f(n)(b)/n!应用柯西积分公式，系数也可以表示为幂级数和泰勒展开例2：题目：在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。解答：f(z)=1/(1-z)f’(z)=1/(1-z)2f”(z)=2/(1-z)3f(n)(z)=n!/(1-z)n+1f(n)(0)=n!an=1f(z)=∑k=0zk该幂级数在圆|z|<1内收敛；幂级数和泰勒展开发散方法（用性质）线性组合的展开=展开之线性组合。和函数的积分=各项积分之和；和函数的导数=各项导数之和；例3：题目：在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开。解答：cosh(z)=[exp(z)+exp(-x)]/2exp(z)=∑k=0zk/k!exp(-z)=∑k=0(-z)k/k!cosh(z)=∑k=0[zk/k!+(-z)k/k!]/2=∑k=0z2k/(2k)!该幂级数在圆|z|<内收敛；幂级数和泰勒展开例4：题目：在b=0的邻域上把f(z)=ln(1-z)展开。解答：ln(1-z)=-∫(1-z)-1dz(1-z)-1=∑k=0zkln(1-z)=-∫∑k=0zkdz=-∑k=0zk+1/(k+1)例5：题目：在b=0的邻域上把f(z)=(1-z)-2展开。解答：(1-z)-2=[(1-z)-1]’(1-z)-1=∑k=0zk(1-z)-2=[∑k=0zk]’=∑k=0kzk-1双边幂级数和罗朗展开罗朗展开问题：一个双边幂级数是其收敛环内的解析函数，反之如何？罗朗定理：一个在环R1<|z-b|<R2内解析的函数f(z)可以展开为双边幂级数f(z)=k=

ak(z-b)k该幂级数在环R1<|z-b|<R2内收敛；同一环域中的罗朗展开式是唯一的；罗朗系数为双边幂级数和罗朗展开罗朗展开举例例1：题目：在|z|>0的区域上把f(z)=cosh(z)/z展开。解答：cosh(z)=∑k=0z2k/(2k)!cosh(z)/z=∑k=0z2k-1/(2k)!例2：题目：在|z|>0的区域上把f(z)=exp(1/z)展开。解答：exp(t)=∑k=0tk/k!exp(1/z)=∑k=0z-k/k!双边幂级数和罗朗展开例3：题目：以b=0为中心把f(z)=1/[z(z-1)]展开。分析因为f(z)有两个单极点z=0和z=1,所以它以b=0为中心的解析环有两个0<|z|<1和1<|z|<∞，需要分别展开解答：在环域0<|z|<1中f(z)=1/[z(z-1)]=-1/[z(1-z)]=-1/z∑k=0zk=-∑k=0zk-1在环域1<|z|<∞中f(z)=1/[z(z-1)]=1/[z2(1-z-1)]=1/z2∑k=0z-k

=∑k=0z-k-2孤立奇点分类原则：根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来分类；分类：极限为有限值，称为可去奇点，例如sinz/z；极限为(n阶)无穷大，称为(n阶)极点，例如1/zn；极限不存在，称为本性奇点，例如exp(1/z)；性质奇点邻域罗朗展开式可去奇点：无负幂项；(n阶)极点：有限个负幂项，(最高为n次)；本性奇点：无限多个负幂项；本章小结双边幂级数形式：s(z)=k=-

ak(z-b)k性质：在环域内一致收敛罗朗展开条件：在环R1<|z-b|<