等差数列测试题

一、等差数列选择题1．设等差数列的前项和为，且，则（）A．15 B．20 C．25 D．302．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（）A．161 B．155 C．141 D．1393．等差数列中，，公差，则=（）A．200 B．100 C．90 D．804．等差数列中，已知，则（）A．13 B．14 C．15 D．165．设等差数列的前项和为，公差，且，则（）A．2 B．3 C．4 D．56．在等差数列中，，，则（）A． B． C． D．7．已知为等差数列的前项和，，，则（）A． B． C． D．8．已知数列的前项和满足，则数列的前10项的和为（）A． B． C． D．9．数列是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大，则该数列的项数是（）A．8 B．4 C．12 D．1610．已知等差数列的前项和为，，则（）A．121 B．161 C．141 D．15111．已知数列中，，，对都有，则等于（）A． B． C． D．12．在等差数列中，，，则中最大的是（）A． B． C． D．13．已知等差数列的公差为正数，为常数，则（）A． B． C． D．14．已知等差数列中，，则数列的公差为（）A． B．2 C．8 D．1315．在等差数列的中，若，则等于（）A．25 B．11 C．10 D．916．设等差数列的前项和为，若，则必定有（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且17．已知等差数列的前项和为，且，则（）A．51 B．57 C．54 D．7218．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且(n≥2)，则xn等于（）A．()n－1 B．()n C． D．19．在等差数列中，，S，是数列的前n项和，则S2020=（）A．2019 B．4040 C．2020 D．403820．已知数列为等差数列，，，则（）A． B． C． D．二、多选题21．(多选)在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A．若是等差数列，则是等方差数列B．是等方差数列C．是等方差数列.D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列22．设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是（）A．若，则既是等差数列又是等比数列B．若(，为常数，)，则是等差数列C．若，则是等比数列D．若是等差数列，则，，也成等差数列23．已知数列满足，()，数列的前项和为，则（）A． B．C． D．24．已知数列满足，且，则（）A． B．C． D．25．已知递减的等差数列的前项和为，，则（）A． B．最大C． D．26．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（）A．若，则，；B．若，则使的最大的n为15；C．若，，则中最大；D．若，则.27．已知数列，则前六项适合的通项公式为（）A． B．C． D．28．设是等差数列，是其前项和，且，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．的最大值29．记为等差数列的前项和.已知，，则（）A． B．C． D．30．设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则对描述正确的有（）A．是唯一最小值 B．是最小值C． D．是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题1．B【分析】设出数列的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到，然后代入求和公式即可求解【详解】设等差数列的公差为，则由已知可得，所以故选：B2．B【分析】画出图形分析即可列出式子求解.【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：，解得.故选：B.3．C【分析】先求得，然后求得.【详解】依题意，所以.故选：C4．A【分析】利用等差数列的性质可得，代入已知式子即可求解.【详解】由等差数列的性质可得，所以，解得：，故选：A5．B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为为等差数列的前项和，公差，，所以，解得.故选：B.6．A【分析】利用等差数列的通项公式求解，代入即可得出结论.【详解】由，，又为等差数列，得，，解得，则；故选：A.7．B【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列的通项公式可求.【详解】因为，，所以，所以，所以，故选：B.8．C【分析】首先根据得到，设，再利用裂项求和即可得到答案.【详解】当时，，当时，.检验，所以.设，前项和为，则.故选：C9．A【分析】设项数为2n，由题意可得，及可求解．【详解】设等差数列的项数为2n，末项比首项大，，，．由，可得，，即项数是8，故选：A.10．B【分析】由条件可得，然后，算出即可.【详解】因为，所以，所以，所以，即所以故选：B11．D【分析】利用等差中项法可知，数列为等差数列，根据，可求得数列的公差，可求得的值，进而可求得的值.【详解】对都有，由等差中项法可知，数列为等差数列，由于，，则数列的公差为，所以，，因此，.故选：D.12．B【分析】设等差数列的公差为d.由已知得，可得关系.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项.【详解】设等差数列的公差为d.由得，，整理得，.又，所以，因此，所以最大.故选：B.13．A【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】，,令，则，解得令，则，即，若，则，与已知矛盾，故解得等差数列，，即，解得则公差，所以.故选：A14．B【分析】设公差为，则，即可求出公差的值.【详解】设公差为，则，即，解得：，所以数列的公差为，故选：B15．D【分析】利用等差数列的性质直接求解．【详解】因为，，故选：D．16．A【分析】根据已知条件，结合等差数列前项和公式，即可容易判断.【详解】依题意，有，则故选：.17．B【分析】根据等差数列的性质求出，再由求和公式得出答案.【详解】，即故选：B18．C【分析】由已知可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列是等差数列，且，故公差则，故故选：C19．B【分析】由等差数列的性质可得，则可得答案.【详解】等差数列中,故选：B20．A【分析】根据等差中项的性质，求出，再求;【详解】因为为等差数列，所以,∴.由,得,故选：A.二、多选题21．BD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B，数列中，是常数，是等方差数列，故B正确；对于C，数列中，不是常数，不是等方差数列，故C错误；对于D，是等差数列，，则设，是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.22．BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A:,得是等差数列，当时不是等比数列，故错;选项B:,,得是等差数列，故对;选项C:,,当时也成立，是等比数列，故对;选项D:是等差数列，由等差数列性质得，，是等差数列，故对;故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前项和公式是解题关键.23．BC【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A错，B正确；根据求和公式，得到，求出，可得C正确，D错.【详解】由可知，即，当时，则，即得到，故选项B正确；无法计算，故A错；，所以，则，故选项C正确，选项D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如的数列，求通项时，常用累乘法求解；（3）构造法，形如（且，，）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知与的关系求通项时，一般可根据求解.24．ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD．【详解】由题意，，A正确，，C正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B错；，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．25．ABD【分析】转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，，故A正确；所以最大，故B正确；所以，故C错误；所以，故D正确.故选：ABD.26．ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A正确；对于B：因为，则，所以，又，所以，所以，，所以使的最大的n为15，故B正确；对于C：因为，则，，则，即，所以则中最大，故C错误；对于D：因为，则，又，所以，即，故D正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.27．AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；对于选项B，取前六项得：，不满足条件；对于选项C，取前六项得：，满足条件；对于选项D，取前六项得：，不满足条件；故选：AC28．ABD【分析】由，判断，再依次判断选项.【详解】因为，，，所以数列是递减数列，故，AB正确；，所以，故C不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的前项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.29．AC【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项