本征值和本征向量

7.5本征值和本征向量17.5.1本征值和本征向量的定义.定义1设V

是数域F上的一个向量空间，,如果对于F中的一个数λ,存在V中非零向量使得,则称λ为线性变换σ的一个本征值，而叫做σ的属于本征值λ的一个本征向量.问题1

定义为什么限制非零?问题2属于σ的本征值λ是否被本征向量唯一确定?问题3属于σ的同一本征值λ的本征向量是否唯一确定?问题4F上的向量空间V中本征向量与一维不变子空间有什么关系?例题1--327.5.2本征值和本征向量的计算方法设,取定V的一个基

,令关于这个基的矩阵为若关于基的坐标

关于基的坐标则而3则有即有4即关于基的坐标是上述（1）以为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解；

而（1）有非零解

系数行列式

即是的一个本征值时其须满足（2）；

从而满足,即为线性变换的一个本征值.反之若满足(2)，则(1)有非零解,同时,非零解即为本征向量关于基的坐标.5称为A的特征多项式.

称为A的特征方程，

称为A的特征矩阵.

定义2：

是数域F上的n阶矩阵.6的一个本征值特征多项式

相似矩阵有相同的特征多项式吗?的全部的本征值可以由关于V的任意一个基的矩阵的特征多项式来决定,因此把它改称为线性变换的特征多项式,记为

定理7.5.1

设为线性变换

的一个本征值必要且只要是的特征多项式的一个根.

7把在复数域C内的根（即在复数域C内的解）叫做矩阵A的特征根.若为A的一个特征根，那么相应的齐次线性方程组的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根的一个特征向量.8注意:Ⅰ)方阵才有上述概念，注意其特征根的范围.Ⅱ）由上述讨论及概念知线性变换的本征值与本征向量与矩阵的特征根与特征向量的关系：

,取定V的一个基,令关于这个基的矩阵为..①A的特征根（注在C中）不一定是的本征值(在F中)，而的一个本征值λ，必是A的一个特征根（在F中).②矩阵A的属于F的特征根λ就是的本征值，而A的属于特征根λ的特征向量，就是的属于λ的本征向量关于所给定的基的坐标.9特征多项式的进一步讨论1.相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征根.2.矩阵的特征多项式展开

的降幂形式的前两项为:10由多项式的性质的常数项为:

定义3矩阵A的主对角线上元素的和称为矩阵A的迹.

综上A的特征根与的展开式中的系数的关系?

设是A在C内的全部特征根，则由根与一次因式的关系有：

比较（1）（2）得：

117.5.4矩阵特征值和特征向量的计算方法使

λ是A的特征值

有非零解

注2：

λ是A的特征值

λ是方程

的根.且

α是A属于λ的特征向量

是

的非零解.

注3:α是A属于λ的特征向量

是的非零解.

12求A的全部特征值和特征向量的步骤：1.计算特征多项式

2.求特征方程

的所有根，即得A的全部特征值

3.对于A的每一个特征值

，求相应的齐次线性

（不全为零

）

的一个基础解系

,则A的属于

的全部特征向量为方程组13例1设，求A的全部特征值、特征向量.

解：A的特征多项式为A的特征值为对于解由于得基础解系A的对应于的全部特征向量为即14对于

解

即由于得基础解系A的对应于的全部特征向量为15注4：A的特征向量有无穷多个，分为两大类：

一类为一类为问题1：同类的两个特征向量的线性相关性如何？问题2：不同类的任意两个特征向量的线性相关性如何？16解

A的特征多项式

A的特征值为

，对于

，解

例2：求矩阵

的特征值和特征向量.

17A的属于特征值1的全部特征向量为

对于

，解

得基础解为

A的属于特征值–1的全部特征向量为

得基础解系:18练习1(1)如果向量是矩阵的特征向量，

则k=__________(2)设，下列向量中可以成为A的

特征向量的是（）

A.

B.

C.

D.

√2(1)解：(2)解：A.B.C.D.19练习3求

的特征值，特征向量.

解：

A的特征多项式为所以A的特征值为

对于

，解

对于

，解

故A的属于特征值1的全部特征向量为

故A的属于特征值4的全部特征向量为

207.5.4特征值和特征向量的性质性质1

有相同的特征值

分析：要证

有相同的特征值

只须证

注意到

性质2

A的主对角线上的元素的和称为A的迹，记作

，则

21注意到（*）（**）在（*）和（**）中令λ=022求线性变换的本征值与相应的本征向量的方法步骤:

1）取定V的一个基,求关于这个基的矩阵为A;

2）求出A的特征多项式在数域F内的全部根即是的全部本征值.

3）对每个,求出相应的齐次线性方程组的一个基础解系,于是的属于本征值的全部本征向量在给定的基下的坐标形式为不全为0.23一.内容分布

7.5.1本征值本征向量的定义

7.5.2本征值和本征向量