流体力学 Chapter3-相似性理论和量纲分析

流体力学

Chapter3相似理论与量纲分析主讲：罗莹莹luoyy2@研究流体运动的方法既是理论分析的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的作用。本章将探讨实验研究的理论基础：相似性原理量纲分析——

为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个流动的对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系。

几何相似、运动相似、动力相似两流动相似应满足的条件

综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者在时空相似的条件下受力相似。几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据;动力相似是决定两个流动相似的主导因素;运动相似是几何相似和动力相似的表现。三种相似之间的联系：

动力相似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准则都相等。

在此基础上发展起来的量纲分析法有两种：1.瑞利(Rayleigh)法，用于比较简单的问题；2.布金汗（Buckingham，1867~1940）定理，是一种具有普遍性的方法。一、瑞利法瑞利法的基本原理是某一物理过程同几个物理量有关：

其中的某个物理量可表示为其他物理量的指数乘积：

（5—2）写出量纲式：

将量纲式中各物理量的量纲按

表示为基本量纲的指数乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定指数a、b、…p,就可得出表达该物理过程的方程式。下面通过例题说明瑞利法的应用步骤。[例5—1]

求水泵输出功率的表达式。

（1）找出同水泵输出功率N有关的物理量，包括单位体积水的重量、流量Q、扬程H，即：

(2)写出指数乘积关系式

（3）写出量纲式：(4)以基本量纲（[M]、[L]、[T]）表示各物理量量纲

(5)根据量纲和谐原理求量纲指数，得

[L]:

[T]:

，，[M]：得：

，，(6)整理方程式

K为由实验确定的系数。

[例5—2]求圆管层流的流量关系式。

[解]

圆管层流运动将在后面详述，这里仅作为量纲分析的方法来讨论。

(1)找出影响圆管层流流量的物理量，包括管段两端的压强差、管段长、半径、流体的粘度。根据经验和已有实验资料的分析，得知流量与压强差成正比，与管段长成反比。因此，可将、归并为项，得到：

(2)写出指数乘积关系式：（3）写出量纲式：（4）以基本量纲([M]、[L]、[T]、)表示各物理量量纲

（5）根据量纲和谐求量纲指数

[M]:

[L]:[T]:

得：，，(6)整理方程式:

系数K由实验确定，，则：其中

由以上例题可以看出，用瑞利法求力学方程，在有关物理量不超过4个，待求的量纲指数不超过3个时，可直接根据量纲其次性原理，求出各量纲指数，建立方程，如例5—1。

当有关物理量超过4个时，则需要归并有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数，如例5—2。定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汗提出，又称为布金汗定理。定理指出，若某一物理过程包含n个物理量，即：

其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量，构成的(n-m)个无量纲项所表达的关系式来描述。即：（5—3）由于无量纲项用表示，定理由此得名。定理可用数学方法证明，这里从略。定理的应用步骤如下：（1）找出物理过程有关的物理量:

（2）从n个物理量中选取m个基本量，不可压缩流体运动，一般取m=3。设q1、q2

、q3为所选基本量，由量纲公式满足基本量量纲独立的条件是量纲式中的指数行列式不等于即对于不可压缩流体运动，通常选取速度－、密度－、特征长度

－为基本量。（3）基本量依次与其余物理量组成项（4）满足为无量纲项，定出各项基本量的指数a

、b、c。（5）整理方程式。

[例5—3]

求有压管流压强损失表达式。

[解]：（1）找出有关物理量。由经验和对已有资料的分析可知，管流的压强损失与流体的性质（密度、运动黏度）、管道条件（管长、直径、壁面粗糙高度）以及流动情况(速度)有关，有关量数。（2）选基本量。在有关量中选、、为基本量，基本量数。（3）组成项，数为。、、

上式就是管道压强损失的计算公式，又称为达西—魏斯巴赫（Darcy-Weis-bach）公式，其中称为沿程摩阻系数，一般情况下是雷诺数和壁面相对粗糙的函数。

式中无量纲项为阻力系数；

为雷诺数。由上面分析可知，实验研究对光滑球形潜体的作用力，归结为实验测定阻力系数Cd与雷诺数Re的关系。这样一来，实施这项实验研究只需用一个球，在一个温度的水流中实验，通过改变水流速度，整理成不同Re和Cd的实验曲线，如图5—1所示。按式(5—4)及图5—1计算流体对光滑球形潜体的作用力，对不同尺寸的球和不同粘度的流体都是适用的。（5—4）

图5—1圆球阻力系数图三、量纲分析方法的讨论（１）量纲分析方法的理论基础是量纲和谐原理（量纲齐次性原理），即凡正确反映客观规律的物理方程，量纲一定是和谐的。（２）量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。

（３）应用量纲分析方法得到的物理方程式，是否符合客观规律，和所选择的物理量是否正确有关。而量纲分析方法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启示，可能由于遗漏某一个具有决定性意义的物理量。导致建立的方程式失误，也可能因选取了没有决定性意义的物理量，造成方程中出现累赘的量纲量，这种局限性是方法本身决定的。（４）由例5—4可以看出，量纲分析为组织实施实验研究，以及整理实验数据提供了科学的方法，可以说量纲分析方法是沟通流体力学理论和实验之间的桥梁。模型实验

模型实验是依据相似原理，制成和原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以实验的结果须测出原型将会发生的流动现象。进行模型实验需要解决下面两个问题。一、模型律的选择

为了使模型和原型流动完全相似，除要几何相似外，各独立的相似准则应同时满足。但实际上要同时满足各准则很困难，甚至是不可能的。譬如按雷诺准则原型与模型的速度比（5—16）按准则，且原型与模型的速度比（5—17）要同时满足雷诺准则和佛汝德准则，就要同时满足式(5-16)和式(5—17)，（5—18）当原型和模型为同种流体,可见只有，即时，上式才能成立。这在大多数情况下，已失去模型实验的价值。

当原型与模型为不同种流体由式（5-18）得：，如长度比尺，。若原型是水，模型就需选用运动粘度是水的实验流体，这样的流体是很难找到的。由以上分析可见，模型实验做到完全相似是比较困难的，一般只能达到近似相似。就是保证对流体起主要作用的力相似，这就是模型律的选择问题。如有压管流、潜体绕流，粘滞力起主要作用，应按雷诺准则设计模型；堰顶溢流、闸孔出流、明渠流动等，重力起主要作用，应按佛汝德准则设计模型。当雷诺数Re超过某一数值后，阻力系数不随Re变化，此时流动阻力的大小与Re无关，这个流动范围称为自动模型区。若原型和模型流动都处于自动模型区，只需几何相似，不需Re相等，就自动实现阻力相似。工程上许多明渠水流处于自模区，按佛汝德准则设计的模型，只要模型中的流动也进入自模区，便同时满足阻力相似。二、模型设计进行模型设计，通常是先根据实验场地，模型制作和量测条件，定出长度比尺；再以选定的比尺缩小原型的几何尺寸，得出模型区的几何边界；根据对流动受力情况的分析，满足对流动起主要作用的力相似，选择模型律；最后按所选用的相似准则，确定流速比尺及模型的流量。例如：雷诺准则：，如

（5—19）佛汝德准则：，如（5—20）流量比

:

将速度比尺关系式（5—19）、式（5—20）分别代入上式，得模型流量：雷诺准则模型佛汝德准则模型按雷诺准则和佛汝德准则导出各物理量比尺见表5—1。名称比尺名称比尺雷诺准则佛汝德准则雷诺准则佛汝德准则长度比尺力的比尺流速比尺压强比尺加速度比尺功能比尺流量比尺功率比尺时间比尺模型比尺表5—1[例5—5]

为研究热