自考线性代数经管类考点逐个击破

4．n

D1

a12n阶行

D a22a2na

a

a

11

21

n1 an2 ,n)为元素aij的代 式

0

性质1D性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列推论1如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零推论2如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零性质4行列式可以按行（列）拆开性质5把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.n阶行列式Daijn等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代 Da1jA1ja2jA2janjAnjj1,2,前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式n定理2n阶行列式Daij的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代 n积之和等于零.ai1Ak1ai2Ak2ainAkna1jA1sa2jA2sanjAns0j前面乘上k.211211 1125

D4列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.7070252列52列51列732

D4abbbbabbbbabbbba abbbbabbbbabbbbabba a3bbbbb

a3bb (a3b)0a00(a3b)(a方法2观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们1bbDbabb bbabb列式abab1

ab0

a

14b ab a 例3三阶范德蒙德行列式V3 xx xx

x3x2x3定理1（克拉默法则）设含有n个方程的naxaxa1nxn21 22axb2n annxnn如果其系数行列式Dn

0x

D

,j1,2,,其中Dj是把D中第j列换成常数项b1,b2,,bn后得到的行列式.定理2设有含n个方程的naxaxa1nxn21 22ax2nannxn如果其系数行列式D0x1x2xn换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有D0， 第二章中，将要证明，n个方程的第二章矩mn个数aij(i1,2,m;j1,2,n排成的一个m行n列的数a11a12 Aa21a22a2n m mn称为一个m行n列矩阵或mn矩mn时，称A

为n阶矩阵或n阶方元素全为零的矩阵称为零矩阵，用Omn或O表2．3

0 0a220①n

A

ann1 0②n

En 0 a11a12a1n

0 0a22a2na21a22 ③n

的矩

ann矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念*”与矩阵记号*”也不同，不能用错.设有矩阵A(aij)mnB(bij)k，若mknAB是同型矩阵.与B同型,aijbij，则称矩阵A与BAAaij)mnBbij)mn是两个同型矩阵则规AB(aijbij AB(aijbij注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减A(aij)mn，k为任一个数，则规定kA(kaij故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意k与行列式D的乘积，只是用k乘A(aij)mkB(bij)kn，则规定AB(cij其中cijai1b1jai2b2j

(i1,2,,

j1,2,,由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中 换律，即AB②在AB0时，不能推出A0B0，因而也不满足消去律特别，若矩阵A与B满足ABBA，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵. 设A为n阶方阵，则规定 特别A0 又若f(x)axm xm1

，则规 f(A)aAm Am1 a fA为A的方阵多项式，它也是一个n阶方A为一个mn矩阵，把A中行与列互换，得到一个nm矩阵，称为A的转AT，(A)TA，(A

ATBT，

kAT，(

BT设A为一个n阶方阵，若AATA，则称A为对称矩阵，若A满足

A，则称矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念nA(aij为一个nA中元素构成一n阶行列式aijAn式，记为方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k①ATA②kAkn③ABAA为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方BABBAEBA的逆矩AA是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩BA1，从逆矩阵具有以下性质：设A，B为同阶可逆矩阵k0A1是可逆矩阵，且A11A②AB是可逆矩阵，且AB)1B1A1③kA是可逆矩阵，且(kA)11kAT是可逆矩阵，且AT)1A1设PPAPBA

n设A(aij)为一个n阶方阵，Aij为A的行列式Aaij中元素aij的代 n

A21An1A22An2称为A的伴随矩阵，记为A*（A*中元素排列的特点 A nnAA*A*AAEA*

A

（n为A的阶数

A定理：n阶方阵A可逆A0，且 A推论：设A，B均为nABE，则A，BA1BB1ab例1设A cd求A的伴随矩阵a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？此时求*

b

a（2）Ac

badbc，故当adbc0A0，A为可逆矩d

b此时

AadbccaA A阵A的列分块方式与右矩B的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块.11形如

A r块

A

A A 1 r

对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）交换A的某两行（列用一个非零数k乘A的某一行（列把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上”连接前后矩阵.由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵PijDi(k和Tij(k，容A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与BArr对任一个mn矩阵A，必与分块矩阵

O等价，称这个分块矩阵为A的等价标准形.O对任一个mn矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Qr OrPAQ O设A为任一个n阶可逆矩阵，构造n2n矩阵然 (A,E)(E,A12A

112

34的逆矩1

2(A,E)

113121442行13

23 4123

11113

11 12 214X412 1

2 A

1312 112

B

13，则矩阵方程为AXBA21

2 4

111 X B

124 21 211

11

1

030(A,B)

1

4301

25(E, X

13B00

202010 24 202010 0522设Amn矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩Ar零矩阵的秩为0，因而0秩(Aminmnn阶方阵A，若秩AnA为满秩矩阵，否秩的求由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，则秩(A)=秩(T)=T中非零行的行数.n阶方阵AA可逆，即存在BABBAA非奇异，即AA的等价标准形为A可以表示为有限个初等方阵的乘AX0只有对任意非零列向量bAXb有唯A的行（列）A的行（列）向量组为Rn的一个任意n维行（列）向量均可以表示为A的行（列）向量组A的特ATA为正定矩阵a11x1a12x2a1nxnaa对任一个线性方程组

21

a22

a2n

am1x1am2x2amnxn

为系数矩阵，bbb,

)T为常数列ij

阵

(x1,

,,

)T为未知元列矩阵AXb与增广矩阵AAb一一对应第三章向量空（一）nn维向由n个数组成的一个有序数组称为一个n称为n1n矩阵，若用一列表示，称为n维列向量，即n1矩阵设1,2,,m是一组nk1k2,km是一k11k22km为1,2,,m的一k1k2,km称为组合系数.可以表示成k11k22km则称是1,2,,m的线可用1,2,,m线性表出.设A为一个mn矩阵，若把A按列分块，可得一个m维列向量组称之为A的列向量组.若把A按行分块，可得一个n维行向量组称之为A的行向量组.向量能用1,2,,mx11x22xmm有解，且每一个解就是一个组合系数 11,1,5)T能否表示成1,2,3)T0,1,4)T，2,3,6)T 合

x11x22x33A 12则方程组有唯一解x11x22x3所以可以唯一地表示成1,2,3122设1,2,,m是m个n维向量，如果存在mk1k2,km，使k11k22kmm0，则称向量组1,2,,m线性相关，称k1k2,km为相关系数.否则，称向量1,2,,m线性无关.由定义可知，1,2,,mk11k22kmm0k1k2km0时成立特别单个向量线性相关0；单个向量线性无关0设1,2,,m为m个n维列向量，则1,2,,m线性相关mx11x22xmm0有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数矩A(1,2,,m的秩小于 解：考虑方程组x11x22x33 13

102

A(1,2,3)146010070 113 0070 于是，秩A)23，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组x12x3x 3xx31，得x12x21x3则2123定理1n维向量组1,2,,m线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.1,2,,m线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合定理2如果向量组1,2,,m线性,1,2,,m线性1,2,,m线性表出，且表示法是唯一的定理3若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关定理4无关组的接长向量组必无关若向量组S可以由向量组R线性表出，向量组R也可以由向量组S线性表出，则称这两个向量设T为一个向量组，若存在T的一个部分组S，它是线性无关的，且T中任一个向量都能由线性表示，则称部分向量组S为T的一个极大无关组.定理1向量组T与它的任一个极大无关组等价，因而T的任意两个极大无关组等价.定理2向量组T的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.把向量组T的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T的秩把矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩，把A的列向量组的秩称为A的列秩.定理：对任一个矩阵A，A的列秩=A的行秩=秩（A）此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A，然后用矩阵的初等行变换法来3求出下列向量组的秩和一个极大无关组45矩阵，再用初11122

100 AT,T,T,T

T121140

010

2264

0

1107

633

000 易见B的秩为4，A秩为4，从而秩1,2,3,4,54而且B二、三、五列，那么相应地1,2,3,5为向量组的一个极大无关组，而且423定义1n维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n定义2设V是n维向量构成的非空集合，若V对于向量的线性运算封闭，则称集合V设V为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空显然，nRn的维数为nRn中任意nRn的一个基设1,2,,r是向量空间V的一个基，则V中任一个向量都可以用1,2,,r唯一地线性表出，由r个表出系数组成的r维列向量称为向量在此基下的坐标.第四章（一）定理1AXb为n元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是rAb)r定理2当nAXb有解时，即rAbrArAXb有唯一解rnAXb有无穷多解rn推论1设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX0有非零解A推论2设Amn矩阵mn，则n考虑由齐次线性方程组AX0VA显然V是非空的，因为V中有零向量，即零解，而且容易证明V对向闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是Vn维列向量空间Rn的一个子空间，我们称V为方程组AX0的解空间把n元齐次线性方程组AX0的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系当n元齐次线性方程组AX0rA)rn时，就一定存在基础解系，且基nr对方程组AX0先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通2x1x22x33x41求3x12x2x32x40的通x1x2x3x4解：对系数矩阵A21231行A32

11 xx13x34x4xrA)24x

2

5x4