定积分的概念

定积分的概念第1页，共41页，2023年，2月20日，星期四除雪机除雪问题

冬天的大雪，使公路上积起厚雪而影响交通．有条10kg长的公路由一台除雪机负责除雪．每当路面积雪平均厚度达到0.5m时，除雪机就开始工作．但问题是开始除雪后,大雪仍下个不停，使路面积雪越来越深，除雪机工作速度逐渐降低，直到无法继续工作．若除雪机工作速度v(m/s)与积雪厚度d(m)成正比，其在无雪路面上行走速度为10m/s，且当积雪达1.5m时，无法工作.试给出除雪机工作速度与积雪厚度间的关系；若下雪速度恒定为0.1cm/s，问一台除雪机可否完成任务．第2页，共41页，2023年，2月20日，星期四(1)怎样才算完成任务?(2)怎样计算走过的距离?除雪机所走过的路程为一、除雪机除雪问题问题结论第3页，共41页，2023年，2月20日，星期四abxyo实例1（求曲边梯形的面积）如图一、问题的提出第4页，共41页，2023年，2月20日，星期四abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）第5页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放第6页，共41页，2023年，2月20日，星期四(1)分割在区间任意插n个分点，把分成n个小区间：每

个小区间的长度如图：曲边梯形第7页，共41页，2023年，2月20日，星期四（3）求和：面积的近似值为（2）近似代替：（以直代曲）（4）取极限，精确化：第8页，共41页，2023年，2月20日，星期四V虽然是变速，但在很短一段间隔内，V的变化不大，可近似看作是匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思想。V(T)AB设物体作直线运动,且计算在这段时间内物体所经过的路程。连续函数,是时间间隔已知速度上的（求变速直线运动的路程）实例2第9页，共41页，2023年，2月20日，星期四路程=速度×时间.匀速直线运动：(1)分割(2)近似代替(3)求和(4)取极限（求变速直线运动的路程）实例2第10页，共41页，2023年，2月20日，星期四从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变速运动的路程，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似代替、求和、取极限”，或者说都归结为形如的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义。

第11页，共41页，2023年，2月20日，星期四定义二、定积分的定义第12页，共41页，2023年，2月20日，星期四被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和第13页，共41页，2023年，2月20日，星期四1.与的差别

是的全体原函数是函数是一个和式的极限是一个确定的常数2.当的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间的分法及点的取法无关。f(x)[a,b]注意第14页，共41页，2023年，2月20日，星期四3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有4．规定：

注意第15页，共41页，2023年，2月20日，星期四与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关

在上连续，则定积分的值4.及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为

与直线由曲线2-2[-2,2]0A3.定积分练习中，积分上限是

积分下限是________

2.积分区间是

第16页，共41页，2023年，2月20日，星期四曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值三、定积分的几何意义第17页，共41页，2023年，2月20日，星期四各部分面积的代数和第18页，共41页，2023年，2月20日，星期四性质1：性质2：被积函数的常数因子可以提到积分号外四、定积分的基本性质第19页，共41页，2023年，2月20日，星期四性质3：对调定积分上下限，改变符号当a=b时性质4：（积分的可加性）第20页，共41页，2023年，2月20日，星期四分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限小结定积分的实质：特殊和式的极限．定积分的思想和方法：定积分的几何意义：第21页，共41页，2023年，2月20日，星期四练习题被积函数

围成的各个部分面积的代数和

积分变量

积分区间第22页，共41页，2023年，2月20日，星期四练习题

1

-15A

如何表述定积分的几何意义？根据几何意义推出定积分的值：

4A

3A2ππ第23页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第24页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第25页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第26页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第27页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第28页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第29页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第30页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第31页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第32页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第33页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第34页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第35页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第36页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第37页，共41页，2023年，2月20日，星期四观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和