平面向量复习讲义

平面向量复习一．向量有关概念 ：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2．零向量：长度为 0的向量叫零向量，记作： 0，注意零向量的方向是任意的 ；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与AB共线的单位向量是

AB )；|AB|4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行 。注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性 ！（因为有 0)；④三点A、B、C共线 AB、AC共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a的相反向量是－ a。【练习】1、下列命题：（1）若a b，则a b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则AB DC。（5）若a b,b c，则a c。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是 _______2、基本概念判断正误：1）共线向量就是在同一条直线上的向量。2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。（5）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量。（6）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（7）若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。（8）若mamb，则ab。（9）若mana，则mn。（10）若a与b不共线，则 a与b都不是零向量。（11）若a b |a||b|，则a//b。（12）若a与b均为非零向量， |a b||a b|，则a b。二．向量的表示方法 ：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a，b，c等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i，j为基底，则平面内的任一向量 a可表示为 a xi yj x,y，称 x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。【练习】1、若a(1,1),b(1,1),c(1,2)，如何用a，b表示c？2、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.e1(0,0),e2(1,2)B.e1(1,2),e2(5,7)C.e1(3,5),e2(6,10)D.e1(2,3),e213(,)24（答：B）；3、已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为_____（答：2a4b）；33DEC4、在平行四边形 ABCD中，点E和F分别是边 CD和BC的中点，→ → →

F且AC＝mAE＋nAF，其中m，n∈R，则m＋n＝ .A B5、在边长为 2的菱形 ABCD中， BAD＝60，E为CD中点，AE与BD相交于点 F，（1）用AB，AD表示AF。（2）求出 AE BD．四．实数与向量的积 ：实数 与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下： 1 a a,2 当 >0时， a的方向与 a的方向相同，当 <0时， a的方向与a的方向相反，当 ＝0时， a 0，注意： a≠0。五．平面向量的数量积 ：1．两个向量的夹角 ：对于非零向量 a，b，作OA a,OB b， AOB 0 称为向量a，b的夹角，当 ＝0时，a，b同向，当 ＝ 时，a，b反向，当 ＝ 时，a，2b垂直。2．平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a，b，它们的夹角为 ，我们把数量 |a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积或点积） ，记作： a b，即a b＝abcos