2023杭二中实验班选拔考试数学卷(含答案)

2023年杭州市第二中学实验班选拔考试数学卷注意：(1)试卷共有三大题21小题，满分150分，考试时间100分钟.(2)请把解答写在答题卷的对应题次上,做在试题卷上无效.一、选择题（分）1、如图，中，、是边上的点，，在边上，，交、于、，则等于()A、B、C、D、2、已知△ABC是⊙O的内接正三角形，△ABC的面积等于a，DEFG是半圆O的内接正方形，面积等于b，的值为（）A．2B．C．D．3、抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是()A、B、C、D、4、若x＞1，y＞0，且满足，则x+y的值为（）A．1B．2C．D．5、设，则4S的整数部分等于（）A．4B．5C．6D．76、如图，正方形的边，和都是以为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是()A、B、C、D、7、在等边△ABC所在平面内有一点P，使得△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，则具有该性质的点有（）A．1个B．7个C．10个D．无数个8、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A、B、C、D、二、填空题（分）1、方程组的解是2、若对任意实数不等式都成立，那么、的取值范围为3、设，则的最大值与最小值之差为4、两个反比例函数，在第一象限内的图象点、、、…、在反比例函数上，它们的横坐标分别为、、、…、，纵坐标分别是、、…共个连续奇数，过、、、…、分别作轴的平行线，与的图象交点依次为、、…、，则5、如右图，圆锥的母线长是，底面半径是，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是6、有一张矩形纸片，，，将纸片折叠使、两点重合，那么折痕长是7、已知、、、、这五个数据，其中、是方程的两个根，则这五个数据的标准差是8、若抛物线中不管取何值时都通过定点，则定点坐标为三、解答题17、（15分）设是不小于的实数，关于的方程有两个不相等的实数根、，（1）若，求r值；（2）求的最大值。18、（15分）如图，开口向下的抛物线与轴交于、两点，抛物线上另有一点在第一象限，且使∽，（1）求的长及的值；（2）设直线与轴交于点，点是的中点时，求直线和抛物线的解析式。19、（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共台，且冰箱至少生产台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调彩电冰箱工时产值（千元）问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？20、（10分）一个家庭有个孩子，（1）求这个家庭有个男孩和个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率。21、（15分）如图，已知⊙和⊙相交于、两点，过点作⊙的切线交⊙于点，过点作两圆的割线分别交⊙、⊙于、，与相交于点，（1）求证：；（2）求证：；（3）当⊙与⊙为等圆时，且时，求与的面积的比值。杭州市第二中学实验班选拔考试答案及评分标准一、1～8DDDCAACD2题解析：正多边形和圆．根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质分别用圆的半径表示出两图形面积，即可得出答案．解：连接OG，CO，过点O作OM⊥BC于点M，设⊙O的半径为r，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠OCM=30°，∴OM=CO=r，CM=r，∴△ABC的高的长度为：r，BC=r，∴a=×r×r=r2，设正方形DEFG的边长为：x，则OF=，∴r2=x2+（）2，解得：x2=r2，∴b=r2，∴==．故选：D．4题解析：首先将xy=xy变形，得y=xy﹣1，然后将其代入，利用幂的性质，即可求得y的值，则可得x的值，代入x+y求得答案．解：由题设可知y=xy﹣1，∴x=yx3y=x4y﹣1，∴4y﹣1=1．故，从而x=4．于是．故选C．5题解析：整体思想．由于，由此可以得到1＜S=，然后即可求出4S的整数部分．解：当k=2，3…99，因为，所以1＜S=．于是有4＜4S＜5，故4S的整数部分等于4．故选A．此题主要考查了部分分式的计算，解题的关键是利用了．7题解析：在等边△ABC所在平面内有一点P，使得△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，则具有该性质的点有（）A．1个B．7个C．10个D．无数个考点：等腰三角形的判定．分析：过B点作△ABC的中垂线，可知在三角形内有一点P满足△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以做两个圆，圆B和圆A，从而可以得出一条中垂线上有四个点满足△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，而三角形内部的一点是重合的，所以可以得出共有10个点．解答：解：作三边的中垂线，交点P肯定是其中之一，以B为圆心，BA为半径画圆，交AC的中垂线于P1、P2两点，作△P2AB、△P2BC、△P2AC，它们也都是等腰三角形，因此P1、P2是具有题目所说的性质的点；以A为圆心，BA为半径画圆，交AC的中垂线于点P3、P3也必具有题目所说的性质．依此类推，在△ABC的其余两条中垂线上也存在这样性质的点，所以这些点一共有：3×3+1=10个．故选：C．二、9、或10、11、12、13、14、15、16、三、17、（15分）解：方程有两个不相等的实数根由题意知：（1）（2）取最大值为18、（15分）解：（1）由题设知，且方程有两二根于是∽即而故（2）因为是的中点从而点的横坐标为又设直线的解析式为，因其过点，，则有又点在抛物线上抛物线解析式为：19、（15分）解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为台、台、台，则有总产值而即20、（10分）解：用和分别代表