2015年6份数学竞赛考试改编

#/62010年浙江省微积分(经管类)竞赛试题(70分)计算下列各题：1.求极限limn-82、：n2.计算ex(1+sinxcos1.求极限limn-82、：n2.计算ex(1+sinxcosx)]Jdx；cos2x3.设三角形AABC是锐角三角形，包括直角三角形，求sinA+sinB+sinC—cosA—cosB—cosC的最大值和最小值；4.5.二、计算JJ】+j】dxdj，其中D={(x,y)11<x<3,2<y<4};设f(x)连续，满足f(x)=x2+Jxex-tf'(t)dt，求f(0).0(20分)设A为正三角形A的面积，A是正三角形A内如图排列的与An相切的n行小正三角形的面积之和，求极限limAnAn-8三、 (20分)设f(x)=exP(x),P(x)是5次多项式，证明1)f(x)必有极值点;2)f(x)必有奇数个极值点.四、五、(20分)证明』四、五、(20分)证明』+8e-2x1(20分)设a=12J1max{a,x}dx,求lima.nn-82010年浙江省微积分(工科类)竞赛试题(70分)计算下列各题：「__ _ 1]^niU^n.求极限lim«n(%;，n+1-«n)+—Tn+1-'nn-8_ 2_|.计算J+8 dx —8(1+x2)(2—2x+x2).设三角形AABC是锐角三角形，包括直角三角形，求sinA+sinB+sinC—cosA—cosB—cosC的最大值和最小值；

.设分段光滑简单闭曲线r在平面兀:ox+by+以=0上，求|(bz-cy)dx+(ca-az)dy+(ay-bx)dzax+by+czr其中n与r的方向成右手系..设f(x)连续，满足f(x)=、$+Jxex2-12f(t)dt，求fr(1)-3f(1).0(20分)设a=—,a=f1max{a,x}dx,求lima.12n0 n-1 …n(20分)设圆盘随时间t变化，圆盘中心沿曲线L:x=cost,y=sint,z=12 3 . . 1向空间移动，圆盘的法向量与L的切向一致，圆盘的半径r（t）=12,求t在［0,-］内2变化，圆盘所扫过的空间面积.（20分）证明f+se-；dt<1e-；（x>0）xx兀（20分）证明tan2x+sin2x>3x2，xg（0,—）.22010年浙江省微积分（数学类）竞赛试题（70分）计算下列各题：一 -in+1+1+2in-1.2.求极限lim4n(Jn+1-而)+-'21.2.计算ffexp-x23y+「dxdy,0<p<1;-2(1-p2)R2.求a和b使得圆x2+y2<2y在椭圆上+二=1内的充分必要条件，并且求a2b2此时椭圆的最小面积；.设分段光滑简单闭曲线r在平面兀:ax+by+cz=0上，求f(bz-cy)dx+(ca-az)dy+(ay-bx)dzax+by+czr其中n与r的方向成右手系..设f(x)连续，满足f(x)=x-1-2fxex2-12f(t)dt，f(1)=1-1，求f(n)(1).二、（20分）设a11,a

2n=J1max{a二、（20分）设a11,a

2n=J1max{a,x}dx，求lima.n-1nn-8三、(20分)设f(x)g。2(R2)，limf(x)=0，|f"(x)|<1x-8则limf'(x)=0x-8四、(20分)设f(x)在［0,1］上非负，f(x+y)>f(x)+f(y)f(1)=1,证明(1)五、（20分）设N+是非负整数集，若G对N+内的加法封闭,即当x,ygG时,f(x)<2x，xg［0,1］，(2)J1f(x)dx<—.02总有x+ygG，且G内的所有元素的最大公约数是1，证明存在正整数N使得,当n>N时，都有ngG.2010年浙江省微积分（文专类）竞赛试题（70分）计算下列各题：1.n+1-n；求极限lim七尻Qhi+1-*hi1.n+1-n；22.计算JJexpR2x2-2pxy+y2-2(1-p2)2.计算JJexpR2x2-2pxy+y2-2(1-p2)3.求a和b使得圆x2+y2<2y在椭圆x2+22=1内的充分必要条件，并且求

a2b2此时椭圆的最小面积；.设D是由抛物线y=6-x2与直线y=5所围成，求D绕x轴旋转一周所成的体积；二、.设f（x）连续，满足f（x）=x2+Jxex-tff（t）dt，求f'（0）.0（20分）设A为正三角形A的面积，A是正n三角形A内如图排列的与A相切的n行小正三角形A的面积之和，求极限lim二

n-8A三、计算J1•^-1(1+x2)2四、（20分）设a1=J1max{a,x}dx，求lima.n-1nn-8五、(20分)设f(x)=ex(x3+ax2+bx+c)，证明1)f(x)必有极值点;2)f(x)五、必有奇数个极值点．1.DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD2010)(25分)计算下列各题:设x=(1+a)•(1+a2)…(1+a2n),n其中|a<1,求lima.ntbn ( 1Ax2.求极限lime-x1+—；xTb\ x).设s>0，求J+Be-sxXndx；04.设函数f(x)有二阶连续导数，r=^.:'x2+y2,g(x,y)=f(，),求‘"g十'"S；r 'x2'y25.求由直线/：Ix二0二0与直线/2：x-2二二、13的距离•(15分)设函数f(x)在(-b,+b)上具有二阶导数，并且f〃(x)>0,limf(x)=a>0,limf(x)=0<0，且存在一点x，使得f(x)<0，证明:xi xt-b 0 0方程f(x)=0在(-b,+b)恰有两个根.三、(15分)设函数y=f(x)由参数方程f=2t+t2(t>-1)所确定，且Iy=w(t)34(1+1)具有二阶连续导数，曲线y=v(t)与y=Jt2e-u2du+—在t=1处相

2 2e(15分)设a>0,S=£a，证明：n n kk=1(1)当a>1时，级数£匕收敛；Sak=1n(2)当aV1,且STb(nTb)时，级数E院发散.n Sak=1n(15分)设l是过原点、方向为(a,p,y)(其中a2+p2+Y2=1)的直线，均匀椭球上+22+z2<1（其中0<c<b<a，密度为1）绕l旋转.a2b2c2（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向9平,y）的的最大值和最小值.六、 （15分）设函数取x）有连续的导数，在围绕原点的任意光滑简单闭曲线c上，曲线积分J2x2dx+3）d2的值为常数x4+y2r（1）设L为正向闭曲线（x—2）2+y2=1.证明J2xydx+取x）dy=0；x4+y2L（2）求函数6x）；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求J2xydx川）dy.x4+y2C第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（数学类，2010）TOC\o"1-5"\h\z（10分）设sg（0,1），x=a，x=a+ssinx（n=0,1,2，…），证明0 n+1 n己=limx存在，且匕为方程x—ssinx=a的唯一根.nnfs（010 30］（15分）设B=002010.证明矩阵方程丫2=B无解，这里X为三（00 0,阶未知的复方阵．（10分）设DuR2是凸区域，f（x,y）是凸函数证明或否定：f（x,y）是连续函数.注；f（x,y）是凸函数的定义是Vag（0,1）以及（x,y）,（x,y）gD,成立11 22f(ax+(1—a)x,ay+(1—a)y)<of(x,y)+(1—a)f(x,y).

1 2 1 2 11 22四、（10分）设函数f（x）在［0,1］上Riemann可积，在x=1处可导，f（0）=0,四、五、f'(1)=a.证明limn2J1xnf(x)dx=—a.nf+s 0五、(15分)已知二次曲面2(非退化)过以下九点：A(1,0,0),B(1,1,2)C(1,-1,-2),D(3,0,0),E(3,1,2),F(3,2,-4),G(0,1,4),H(3,-1,-2),I(5,2V;2,8).问2是哪一类曲面？(20分)设A为nxn实矩阵(未必对称)，对任一n维实向量a二(a,a，…,a),aAat>0(这里at表示a的转置)，且存在n维实向1 2 n量P使得PApT=0.同时对任意n维实向量x和y，当“少丰0时有xAiy+yAtx中0.证明：对任意实向量v，都有vApt=0.(10分)设函数f(x)在区间[0,1]上Riemann可积，0<f<