大学微积分教材第六章

大学微积分教材第六章abxyo实例：求曲边梯形的面积一、问题的提出第一节定积分的概念abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放曲边梯形如图所示，分割近似曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为求和取极限（1）分割（3）求和（4）极限（2）近似二、定积分的定义定义一点被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和说明：1.2.

有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；

3.可积的充分条件：

4.5.规定:定积分的几何意义：

曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值5.定积分的几何意义：

若要求阴影部分的面积,则为例1利用定义计算定积分解xyo11练习：P6习题6.13.画图3.利用定积分的几何意义,说明下列等式:

在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小．第二节定积分的性质性质1（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）性质2(k为常数)性质1,2合称线性性质.

说明：不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.例如,（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3证性质4性质5由极限的保号性,

推论1证推论1推论2证即性质6（估值定理）mM性质7（定积分中值定理）证由闭区间上连续函数的介值定理知，即积分中值公式的几何解释：上的平均值.

解例1于是证明例2因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内至少存在一点c，使得所以根据积分中值定理，练习：P10习题6.23(2).5(1)(3)(5).第三节微积分基本公式用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.

定理1(微积分基本定理)

构作积分上限函数ya0xxy=f(x)G(x)第三节微积分基本公式用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.

定理1(微积分基本定理)

构作积分上限函数ya0xxy=f(x)G(x)第三节微积分基本公式用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.

定理1(微积分基本定理)

构作积分上限函数ya0xxy=f(x)G(x)第三节微积分基本公式用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.

定理1(微积分基本定理)

构作积分上限函数ya0xxy=f(x)G(x)第三节微积分基本公式用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.

定理1(微积分基本定理)

构造积分上限函数ya0xxy=f(x)G(x)证由积分中值定理得定理2(原函数存在定理)注：任何连续函数都有原函数积分上限函数的求导：

设例1求下列变上限积分函数的导数.例2求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.证例3由积分中值定理，或证例4已知注假设？解Ps.若 则错误证令由零点定理可知，另一方面，例5定理3(微积分基本公式)证牛顿—莱布尼茨公式所以牛顿—莱布尼茨公式注意上述公式通常称为微积分基本公式,它揭示了定积分与不定积分之间的关系,给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法.

例5求

原式解解例6设

求例7求

原式解解例8例9设解例10设在闭区间[a,b]上连续，证明在开区间(a,b)内至少存在一点使证由Newton-Leibniz公式得显然F(x)在区间[a,b]上满足Lagrange中值定理，在区间(a,b)内至少存在一点使得3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数小结

牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．练习：P18习题6.41.(2)(3)3.4.(3)5.(4)(14)(17)定理则有第四节定积分的换元积分法注意:(1)应用定积分的换元法时,多一事:换上下限；少一事:不必回代；

(2)(3)若用“凑微分法”,不用到中间变量，则不必换上下限.

若用“凑微分法”,不用到中间变量，则不必换上下限.1.换元公式可以反过来使用，即2.凑微分不换上下限常用的凑微分公式！！！例1例2例3例4计算解令原式例5计算解令原式例6计算解令原式例7解所以平均值例8解令原式令原式=解证利用函数的对称性,有时可简化计算.

例10奇函数例9奇函数例11证(1)例11证(2)令例11证(3)令由此计算

例12 设解设例12 设解设原式两边在[0,1]上作定积分，则练习：P24习题6.51.(1)(6)(11)(12)2.(5)3.6.7.第五节定积分的分部积分法定理

例1例2例3例4例5计算与换元法结合.解令原式例6计算解令原式则解得例7设解由于的原函数不能用初等函数表示，所以要想求出代入再求是行不通的，但是可求的，故可采用分部积分法例8计算解得到递推公式：

而若n为偶数,则

若n为奇数,则

即例如，另外，例9设证：练习：P28习题6.61.(4)(6)(8)(10)第六节定积分的应用一、平面图形的面积面积元素:(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)

0),直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形的面积yo面积若f(x)有正有负,则平面图形的面积为xyoab

(2)由连续曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(a<b)所围成的平面图形的面积cxyoab面积元素:特别，时,xyoab面积元素:dcxyo围成的平面图形的面积为

xyodc围成的平面图形的面积为

dcxyodcxyo解先求两曲线的交点选x为积分变量,例1

例2

围成的平面图形的面积.

xoy解

由对称性,交点解两曲线的交点例3

此题选y为积分变量比较好,选择积分变量的原则：

(1)尽量少分块；(2)积分容易。例4求由抛物线和与抛物线相切于纵坐处的切线及x轴所围成的平面图形的面积标解抛物线在处的切线方程为350-4yx解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍,例5

y=x2t1yx1解例6

二、平行截面面积为已知的立体的体积xxx+dxA(x)ab解建立坐标系如图,截面面积所以立体体积例7

垂直于

x

轴的截面为直角三角形,

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积abox

y体积元素:旋转体的体积为直线OP的方程为解例8

例9

xyOab解

例10

解

xy利用圆面积例11

解

下面再介绍一个方法.上例:套筒法体积元素:例12

解用“套筒法”：

练习：P45习题6.71.(2)(8)3.5.6.(4)四、经济应用问题举例1、成本若已知边际成本，那么生产Q件商品的总成本为固定成本2、收益若已知边际收益，那么生产Q件商品的总收益3、产量若已知某产品总产量Q的变化率f(t)是连续函数，四、经济应用问题举例则从时刻到产量的增加值若当时，那么总产量函数解某商品每周产量为Q，固定成本为200元，成本函数变化率为

例13

求成本函数如果该商品的销售单价为20元，且假设产品可以全部售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可获得最大利润？

成本函数为

某商品每周产量为Q，固定成本为200元，成本函数变化率为

例13

解求成本函数。如果该商品的销售单价为20元，且假设产品可以全部售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可获得最大利润？

成本函数为

销售收入为所以利润函数为得唯一驻点

所以当每周产量时,利润最大,最大利润为

例14

解所以所以需求函数为

例15已知某商品总产量的变化率t的单位是年，试求(1)时间t在区间[2,8]上变化时，总产量的增量(2)总产量函数(3)该商品前6年的平均年产量解(1)(2)(3)例16

解所以需求函数为

练习：P45习题6.79. 10.第七节广义积分在定积分的定义中,有两个限制:(1)积分区间有限；(2)被积函数有界.当这两个条件至少有一个不满足时,称广义积分.

一、无穷限的广义积分定义一、无穷限的反常积分定义类似地，例1例2例3解令原式解例4所以积分发散；

所以二、无界函数的广义积分定义如果极限

即存在,则称广义积分收敛,即

例5计算广义积分解0为奇点，原式注无界函数的广义积分，也可形式上使用牛顿－莱布尼兹公式。如例6例7例8例9解是奇点，注意：例10解发散；

所以例如，收敛；发散.注意比较:2.无界函数的广义积分1.无穷限的广义积分（注意：不能忽略内部的奇点）小结练习：P53习题6.81.(3)(4)(9)(10)2.习题课例1计算解原式偶函数例2计算解原式例3计算解原式例4计算解所以原式例5计算解法1原式解法2原式与原式相加,得所以原式例6设f(x)是连续函数,且两边在[0,1]上积分,求f(x).即解解例7计算广义积分例8解原式计算广义积分例9解故广义积分发散.原式(Ⅱ99四6)

计算广义