常微分第四章

常微分第四章第四章

高阶微分方程授课教师：胡鹏彦授课对象：10本科本章主要讨论高阶线性微分方程解的结构和常系数线性微分方程的求解问题,同时结合质点振动来体会数学与物理的深刻联系.§4.1线性微分方程的

一般理论一、引言二、齐次线性微分方程解的性质与结构三、非齐次线性微分方程与常数变易法§4.1

线性方程的一般理论一、引言

1.线性微分方程的相关定义形如的方程为n阶线性微分方程,其中ai(t)(i

1,2,,n)及f

(t)都是区间a

t

b上的连续函数.若

f

(t)0,则(4.1)变为称之为n阶齐次线性微分方程,简称为齐次线性微分方程,而(4.1)称为n阶非齐次线性微分方程,简称为非齐次线性微分方程,且通常将(4.2)称为对应于(4.1)的齐次线性微分方程.§4.1

线性方程的一般理论

2.线性微分方程解的存在唯一性定理定理1如果ai(t)(i

1,2,,n)及

f

(t)都是区间a

t

b上的连续函数,则对于任一t0[a,b]及任意的方程(4.1)存在唯一定义在区间a

t

b上的解x

(t),满足初值条件§4.1

线性方程的一般理论§4.1

线性方程的一般理论二、齐次线性微分方程解的性质与结构

1.齐次线性微分方程解的叠加原理定理2(叠加原理)如果x1(t),x2(t),,xk(t)是方程(4.2)的k个解,则它们的线性组合c1x1(t)

c2x2(t)

ckxk(t)也是(4.2)的解,这里c1,c2,,ck是任意常数.该定理可直接利用导数的运算法则证明.§4.1

线性方程的一般理论在定理2中,如果k

n,则(4.2)有解x

c1x1(t)

c2x2(t)

cnxn(t),(4.4)它含有n个任意常数.试问何时(4.4)能够成为(4.2)的通解?§4.1

线性方程的一般理论要使(4.4)成为(4.2)的通解,(4.4)中的c1,c2,,cn须相互独立.§4.1

线性方程的一般理论

2.函数组的线性相关定义

设x1(t),x2(t),,xk(t)在[a,b]上有定义.若存在不全为零的常数c1,c2,,ck,使得恒等式c1x1(t)

c2x2(t)

ckxk(t)

0在[a,b]上成立,则称x1(t),x2(t),,xk(t)是线性相关的,否则就称它们在[a,b]上线性无关.如何判断函数组线性相关?§4.1

线性方程的一般理论设x1(t),x2(t),,xk(t)为[a,b]上的k

1次可微函数,称行列式为函数组x1(t),x2(t),,xk(t)的朗斯基行列式.WronskianWronsky§4.1

线性方程的一般理论定理3设函数x1(t),x2(t),,xk(t)在[a,b]上k

1次可微.若它们在[a,b]上线性相关,则在[a,b]上有W(t)

0.注定理3的逆一般不成立,例如§4.1

线性方程的一般理论定理4若方程(4.2)的解x1(t),x2(t),,xn(t)在[a,b]上线性无关,则对任意t[a,b],W(t)

0.

证明思路利用反证法构造一个微分方程的满足一定初值条件的解,然后由解的唯一性推得矛盾.§4.1

线性方程的一般理论定理5n阶齐次线性微分方程(4.2)一定存在n个线性无关的解.

证明思路利用解的存在唯一性和定理3.

构造n组初值得到n个解,而这n个解的朗斯基行列式有非零点,由定理3知这n个解线性无关.§4.1

线性方程的一般理论

3.齐次线性微分方程解的结构定理6(通解结构定理)如果x1(t),x2(t),,xn(t)是方程(4.2)的n个线性无关的解,则方程(4.2)的通解可表为x(t)

c1x1(t)

c2x2(t)

cnxn(t),(4.11)其中c1,c2,,cn是任意常数,且(4.11)包括了(4.2)的所有解.§4.1

线性方程的一般理论推论1方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n.推论2方程(4.2)的解构成一个n维线性空间.定义

方程(4.2)的一组n个线性无关解称为其一个基本解组.满足W(t0)

1的基本解组称为标准基本解组.

注基本解组不唯一.§4.1

线性方程的一般理论三、非齐次线性微分方程与常数变易法

1.非齐次线性微分方程解的性质§4.1

线性方程的一般理论性质1如果是方程(4.1)的解,x(t)是方程(4.2)的解,则是是方程(4.1)的解.性质2方程(4.1)的任意两个解之差必为(4.2)的解.§4.1

线性方程的一般理论定理7设x1(t),x2(t),,xn(t)是方程(4.2)的基本解组,而是方程(4.1)的解,则方程(4.1)的其中c1,c2,,cn为任意常数.而且这个通解包括了方程(4.1)的所有解.

注定理7给出了一种求非齐次线性方程通解的方法:求其一个特解和对应的齐次线性方程的基本解组.通解可表为§4.1

线性方程的一般理论

2.非齐次线性微分方程的常数变易法设x1(t),x2(t),,xn(t)是方程(4.2)的基本解组,x

c1x1(t)

c2x2(t)

cnxn(t)(4.15)是(4.2)的通解.把(4.15)中的ci看成t的函数,则有x

c1(t)x1(t)

c2(t)x2(t)

cn(t)xn(t),(4.16)通过确定(4.16)中的ci(t)就可以得到(4.1)的通解.这种求非齐次线性微分方程通解的方法称为常数变易法.§4.1

线性方程的一般理论要确定(4.16)中的ci(t)除将其代入方程(4.1)之外还要附加另外的限制条件,其法无穷,为简便起见,可如下进行.(4.16)两端对t求导:令得§4.1

线性方程的一般理论对(4.18)1重复上述过程得继续上述过程可得§4.1

线性方程的一般理论将(4.16),(4.18)1,(4.18)2,,(4.18)n代入(4.1)可得积分得由(4.17)1,(4.17)2,,(4.17)n可求得§4.1

线性方程的一般理论将其代入(4.16)即得(4.1)的通解在上式中令i

0(i

1,2,,n)可得(4.1)的解由此可知,在已知对应齐次线性微分方程的基本解组时,非齐次线性微分方程的解可由求积分得到.§4.1

线性方程的一般理论例1求方程应的齐次线性微分方程的基本解组为cos

t,sin

t.的通解.已知其对§4.1

线性方程的一般理论例2求方程于域t

0上的所有解.§4.1

线性方程的一般理论作业P1313(2,5),4,6§4.2常系数线性微分方程的解法一、复值函数与复值解二、常系数齐次线性微分方程和欧拉方程三、非齐次线性微分方程比较系数法与拉普拉斯变换法四、质点振动§4.2

常系数线性方程的解法一、复值函数与复值解

1.复值函数概念复值函数设

(t)与

(t)是区间[a,b]的实函数,称z(t)

(t)

i

(t)为[a,b]上的复值函数,其中i为虚数单位,即i2

1.

复值函数的极限如果实函数

(t)与

(t)都在t0[a,b]存在极限,则称复值函数

z(t)

(t)

i

(t)在t0存在极限,且有§4.2

常系数线性方程的解法

复值函数的连续对于t0[a,b],如果则称复值函数

z(t)

(t)

i

(t)在t0[a,b]连续.如果z(t)在区间[a,b]上每一点都连续,则称z(t)为区间[a,b]上的连续,也称z(t)为区间[a,b]上的连续函数.§4.2

常系数线性方程的解法

如果极限存在,就称z(t)在t0[a,b]有导数(可微),且记此极限如果z(t)在区间[a,b]上每一点都有导数,则称z(t)在区间[a,b]上有导数.为或者§4.2

常系数线性方程的解法

容易验证,复值函数的导数成立下列等式:§4.2

常系数线性方程的解法

2.复指数函数及其性质设

K

i是任一复数,这里

,是实数,而t是实变量,我们定义由上述定义易知§4.2

常系数线性方程的解法复指数函数有如下性质:§4.2

常系数线性方程的解法

3.微分方程的复值解定义于区间[a,b]上的实变量复值函数

x

z(t)称为方程(4.1)的复值解,倘若在[a,b]上恒成立.§4.2

常系数线性方程的解法定理8如果方程(4.2)中所有系数ai(t)(i

1,2,,n)都是实值函数,而

x

z(t)

(t)

i

(t)是方程的复值解,则z(t)的实部

(t)

、虚部

(t)和共轭复值函数都是方程(4.2)的解.§4.2

常系数线性方程的解法定理9若方程有复值解

x

U(t)

iV

(t),这里ai(t)(i

1,2,,n)及u(t),v(t)都是实函数,那么U(t)和V(t)分别是方程的解.§4.2

常系数线性方程的解法二、常系数齐次线性微分方程和欧拉方程

1.特征方程与特征根

n阶常系数齐次线性微分方程形如其中a1,a2,,an为常数.

可以验证(4.19)具有形如的解.§4.2

常系数线性方程的解法

称方程为(4.19)的特征方程,其根称为特征根.§4.2

常系数线性方程的解法

2.基本解组的确定

根据常系数齐次线性微分方程特征方程的特征根的情形来确定其基本解组.

(1)特征根为单根的情形设1,2,,n为特征方程(4.21)的n个互异根,则相应地,方程(4.19)有如下n个线性无关的解从而构成方程(4.19)的基本解组.§4.2

常系数线性方程的解法当1,2,,n均为实数时,(4.22)是方程(4.19)的n个线性无关的实值解,其通解为其中c1,c2,,cn为任意常数.当特征方程有复根

i

时,由于特征方程为实系数代数方程,其复根成对出现,因此

i

也是一特征根,这对共轭复根可对应方程(4.19)的两个实值解§4.2

常系数线性方程的解法这样得到的实值解连同实特征根对应的实值解共同构成方程(4.19)的基本解组,由此可给出方程(4.19)的通解.§4.2

常系数线性方程的解法

(2)特征根有重根的情形设为特征方程(4.21)的k重根,则方程(4.19)有如下k个线性无关的解设1,2,,m为特征方程(4.21)的根,其重数分别为k1,k2,,km,k1

k2

km

n,则方程(4.19)n个线性无关解§4.2

常系数线性方程的解法若1,2,,m均为实数,则(4.26)就是(4.19)的基本解组.若

i

为k重复特征根,则

i

也是k重复特征根,这对共轭复重根可对应方程(4.19)的2k个线性无关解这样得到的对应于复根的实值解与实根对应的解共同构成(4.19)的基本解组.§4.2

常系数线性方程的解法例1求方程的通解.§4.2

常系数线性方程的解法例2求解方程§4.2

常系数线性方程的解法例3求方程的通解.§4.2

常系数线性方程的解法例4求解方程§4.2

常系数线性方程的解法

3.欧拉方程

形如的方程称为欧拉方程.这里a1,a2,,an为常数.§4.2

常系数线性方程的解法

做变量变换则直接计算可得§4.2

常系数线性方程的解法一般地,其中1,2,,k1都是常数,于是因此,将其代入方程(4.29)可得其中b1,b2,,bn是常数.§4.2

常系数线性方程的解法这样,就将欧拉方程转化为常系数齐次线性微分方程,对其求解之后再代回原变量即得欧拉方程的通解.另外,由上述讨论易知,欧拉方程具有形如

y

x的解,因此,也可直接求该形式的解.将其代入方程(4.29)易得代数方程可以证明(4.31)正是(4.30)的特征方程,由此可以根据特征根给出欧拉方程的基本解组.§4.2

常系数线性方程的解法

m重实根0对应m个实值解,而m重复根

i

对应2m个实值解,§4.2

常系数线性方程的解法例5求解方程§4.2

常系数线性方程的解法例6求解方程§4.2

常系数线性方程的解法三、非齐次线性微分方程比较系数法与拉普拉斯变换法

本段讨论常系数非齐次线性微分方程其中a1,a2,,an为常数.§4.2

常系数线性方程的解法

1.比较系数法

类型I设其中及b0,b1,,bm为实常数,则方程(4.32)有形如的特解,其中k为特征根的重数(单根相当于k

1;当不是特征根时取k

0),而B0,B1,,Bm为待定的常数,可以通过比较系数确定.§4.2

常系数线性方程的解法

例7求方程的通解.§4.2

常系数线性方程的解法

例8求方程的通解.§4.2

常系数线性方程的解法

例9求方程的通解.§4.2

常系数线性方程的解法

类型II设其中,为常数,而A(t),B(t)为t的实系数多项式,一个次数为m,另一个的次数不超过m,则方程(4.32)有形如的特解,其中k为特征根

i

的重数,而P(t),Q(t)均为待定的t的次数不超过m的实系数多项式,可以通过比较系数确定.§4.2

常系数线性方程的解法

注当时,可用所谓的复数法求解.或§4.2

常系数线性方程的解法

例10求方程的通解.§4.2

常系数线性方程的解法§4.2

常系数线性方程的解法

2.拉普拉斯变换法由积分定义的复平面(Re

s

)上的复变数s的函数F(s)称为函数

f

(t)的拉普拉斯变换,其中f

(t)对t

0有定义,且满足不等式这里M,为两个正常数.我们称

f

(t)为原函数,而F(s)称为像函数.§4.2

常系数线性方程的解法由像函数求原函数称为拉普拉斯反演.可由如下积分表示在已知像函数的情况下,一般采用查表的方法求原函数.§4.2

常系数线性方程的解法给定微分方程及初始条件其中a1,a2,,an是常数,而

f

(t)连续且满足原函数的条件.由于常系数微分方程的任何解及其各阶导数都满足原函数的条件,设x(t)为(4.32)的解,记§4.2

常系数线性方程的解法由拉普拉斯变换的定义易知§4.2

常系数线性方程的解法对方程(4.32)两端实施拉普拉斯变换可得§4.2

常系数线性方程的解法这就是满足初值条件的解x(t)的像函数,然后直接查拉普拉斯变换表或者有反变换公式计算得到方程(4.32)的满足初值条件的解.§4.2

常系数线性方程的解法例12求方程满足初值条件x(0)

0的解.§4.2

常系数线性方程的解法例13求解方程§4.2

常系数线性方程的解法例14求方程满足初值条件的解.§4.2

常系数线性方程的解法例15求解方程其中a,b为非零常数.§4.2

常系数线性方程的解法§4.2

常系数线性方程的解法四、质点振动

1.无阻尼自由振动数学摆的无阻尼微小自由振动方程为若记其中

0为常数,则(1.9)变为§4.2

常系数线性方程的解法其通解为其中c1,c2为常数.若令则有§4.2

常系数线性方程的解法从(4.41)可以看出,不论摆的初始状态如何,摆的运动总是一个正弦函数,它是t的周期函数.这种运动称为简谐振动.振动往返一次所需的时注数学摆的周期只依赖于摆长l,而与初值无关.振幅与初相位间称为周期,记为T,这里动的次数称为频率,记作,这里单位时间内振

称为圆频率.而§4.2

常系数线性方程的解法

2.有阻尼自由振动数学摆的有阻尼的自由振动方程为记其中n,

为正常数,则(1.10)变为§4.2

常系数线性方程的解法其特征方程为

(1)小阻尼的情形:n

,通解为或特征根为这里A,

为任意常数.§4.2

常系数线性方程的解法

(2)大阻尼的情形:n

,通解为其中c1,c2为常数.§4.2

常系数线性方程的解法

(3)临界阻尼的情形:n

,通解为其中c1,c2为常数.§4.2

常系数线性方程的解法

3.无阻尼强迫振动数学摆的微小强迫振动方程为无阻尼振动对应

0.若记H为已知常数,p为外力圆频率,则(1.11)变为§4.2

常系数线性方程的解法可以求得(4.48)的通解为如果p

,则(4.48)有通解(4.51)表示,随着时间的增大,摆的偏离将无限增加,这种现象称为共振现象.§4.2

常系数线性方程的解法

4.有阻尼强迫振动此时摆的运动方程为在小阻尼情形下,即n

,方程(4.52)的通解为§4.2

常系数线性方程的解法当时有最大振幅这时的圆频率称为共振频率,所产生的现象也叫共振现象.§4.2

常系数线性方程的解法作业P1642(1,4,6,10,12,13,16,18,19),3(2),4(1)§4.2

常系数线性方程的解法作业P1667§4.3高阶微分方程的降阶

与幂级数解法一、可降阶的一些方程类型二、二阶线性微分方程的幂级数解法三、第二宇宙速度§4.3

降阶与幂级数解法一、可降阶的一些方程类型

n阶微分方程一般可写为§4.3

降阶与幂级数解法

若令

x(k)

y,则可得如下

n

k

阶方程

1.方程(不含未知函数或直到某阶导数)

若(4.58)的通解为即§4.3

降阶与幂级数解法经过

k

次积分之后可得(4.57)的通解其中c1,c2,,cn为任意常数.例1求方程的解.§4.3

降阶与幂级数解法

若令

x'

y,以它为新未知函数,而视x为新自变量,则方程就可降低一阶.

2.方程(不显含自变量)§4.3

降阶与幂级数解法例2求解方程§4.3

降阶与幂级数解法例3求数学摆的运动方程的满足初值条件:当t

0时,

0

0,的解.§4.3

降阶与幂级数解法§4.3

降阶与幂级数解法

可以证明:已知(4.2)的k个线性无关解,则可通过一系列同类型的变换,将方程(4.2)降低k阶.设

x1,x2,,xk为(4.2)的k个线性无关解,则

3.齐次线性微分方程§4.3

降阶与幂级数解法

令

x

xk

y,则将这些关系式代入(4.2)并注意到xk

是(4.2)的解,同时令

z

y',则有这样就得到一个比(4.2)低一阶的微分方程.§4.3

降阶与幂级数解法§4.3

降阶与幂级数解法

方程(4.2)与(4.67)的解之间的关系:重复上述过程可得比(4.67)低一阶的齐次线性方程,其与(4.67)的关系与(4.2)与(4.67)的关系相同.那么,通过这样一系列的变换可得一比(4.2)低k阶的齐次线性方程,通过对新的方程的求解,并利用相应的变换就可得到(4.2)的解.

(1)是(4.67)的解;

(2)z1,z2,,zn1线性无关.§4.3

降阶与幂级数解法若令

x

x1

0是其解,则通过变换

对于二阶齐次线性方程方程(4.69)化为此为一阶线性微分方程,其解为§4.3

降阶与幂级数解法从而可得(4.69)的通解为其中c,c1为任意常数.§4.3

降阶与幂级数解法例4已知的解,试求方程的通解.是方程§4.3

降阶与幂级数解法二、二阶线性微分方程的幂级数解法

1.两个例子

例5求方程的通解.

解题思路先设某级数为方程的解,代入方程之后可以确定级数的系数(确定系数的方法是比较系数),若确定的级数收敛,则得到方程的解.§4.3

降阶与幂级数解法§4.3

降阶与幂级数解法§4.3

降阶与幂级数解法§4.3

降阶与幂级数解法

例6求方程的满足初值条件

y(0)

0与

y'(0)

0的解.§4.3

降阶与幂级数解法§4.3

降阶与幂级数解法§4.3

降阶与幂级数解法§4.3

降阶与幂级数解法

2.二阶齐次线性方程有级数解的条件

考虑二阶齐次线性微分方程满足初值条件

y(x0)

y0与

y'(x0)

y'0的情形.

不妨假设

x0

0.§4.3

降阶与幂级数解法定理10若方程(4.72)中的系数

p(x),q(x)都能展成

x的幂级数,且收敛区间为|x|

R,则方程(4.72)有形如的特解,且也以|x|

R为收敛区间.§4.3

降阶与幂级数解法定理11若方程(4.72)中的系数

p(x),q(x)具有性质:x

p(x)和x2q(x)均能展成

x的幂级数,且收敛区间为|x|

R,则方程(4.72)有形如即的特解,是一个待定的常数.级数(4.75)也以|x|

R为收敛区间.§4.3

降阶与幂级数解法方程满足定理11的条件,因此具有(4.75