GCT数学解题必知公式

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第一章算术

算术部分重点考察的是数的概念和性质，四则运算及运用，比和比例。这部分看似简单，但往往有考生在简单题目上出错，所以在解题过程中要比其它题目更加细心。（一）必知公式

1.数的概念与性质

自然数：0，1，2，?

整数：?，－2，－1，0，1，2，?

分数：将单位“1〞平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，寻常用“％〞来表示。

数的整除：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而无余数时，则成a能被b整除或b能整除a。倍数，约数：当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数。素数：只有1和它本身两个约数的数。

合数：除了1和它本身还有其它约数的数；互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。2.数的四则运算

数的加、减、乘、除法

a运算定律：加法交换律a?b?b?

加法结合律a?b?c?(a?)b?c?a(?b?)c乘法交换律a?b?b?a

乘法结合律a?b?c?(a?)b?c?a(?b?)c乘法分派律a?(b?c)?a?b?a?c(b?c)?a?b?a?c?a运算性质：

ba?b?c?a?c?b交换性质a?b?c?a?c?

a?b/c?a/c?ba/b/c?a/c/b结合性质a?b?c?a?)b(b?)c?a(?c?a?b?c?a?(b?c)a?b/c?a?(b/c)(c?0)a/b?c?a/(b/c)(?ba/b/c?3.比和比例

a/(?bc)(?b0,?c00,?c01

比的定义：两个数相除，又称为这两个数的比，即a:b?ab比的性质：比的前项与后项同乘（除）以同一个非零的数，其比值不变。

；

比例的定义：两个比相等时，称为比例，用字母表示为a:b?c:d或比例

的性质：bd①ad?bc（外项积＝内项积）

?acab?cd

②

dcdc?d?③（合比定理）bda?bc?d?④（分比定理）bda?bc?d?⑤（合分比定理）a?bc?dbaa?b?c或

a?b（互换外项或内项）

其次章初等代数

这部分主要考察代数等式和不等式的变换和计算。包括：实数和复数；乘方和开方；代数式的运算和因式分解；方程和不等式的解法；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合和概率及统计的基本知识等。

第一节数和代数式

数与代数式部分主要考察实数和复数的概念和简单的性质，以及它们的四则运算与运用，来培养数学的运算能力。根据数的概念、公式、原理、法则，进行数、式、方程的正确运算和变形；通过已知条件分析，寻求与设计合理、简捷的运算途径。（一）必知公式1．实数的运算

（1）乘方与开方（乘积与分式的方根、根式的乘方与化简）

aaxy?ax?y，

aaxy?ax?yxxx，(ab)?ab，(a)?axyxy.

（2）绝对值的性质?a,a?0?a??0,a?0，

??a,a?0?a?b?a?b，?a?a?a.

2．复数

（1）基本概念：

2虚数单位是i??1；对复数z?a?bi的模长是z?a?b22，幅角tan??ba，其中??[0,2?]；

2

它的实部是a，虚部是b。它的共轭复数是a?bi。（2）基本形式

代数形式：z?a?bi，三角形式：z?z(cos??isin?)，指数形式：z?ze（3）复数的运算及其几何意义

加法：z1?a1?b1i，z2?a2?b2i，z1?z2?(a1?a2)?i(b1?b2)数乘：z?a?bi，?z??a??bi

乘法：z1?z1(cos?1?isin?1)，z2?z2(cos?2?isin?2)，z1z2?z1z2(cos(?1??2)?isin(?1??2))，

z1z2z1z2i?

除法：?(cos(?1??2)?isin(?1??2))

3．代数式（单项式、多项式）

（1）几个常用公式（和与差的平方，和与差的立方，平方差，立方和，立方差等）（2）简单代数式的因式分解（3）多项式的除法

其次节集合、映射和函数

集合、映射和函数主要考察集合的概念，集合的子交并补的性质；函数的概念，及函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的判断和应用；幂函数、指数函数、对数函数的初等性质。以此来培养数学的规律推理能力：对数学问题进行观测、比较、分析、综合、抽象与概括；能用演绎、归纳和类比进行推理。（一）必知公式1．集合（1）概念

空集?；集合的表示法：A?{x|0?x???}；几个常用的集合：自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C。（2）包含关系

子集A?B??x?A?x?B；真子集；两个集合相等的条件A?B且B?A；子集的个数的计算。（3）运算

交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律：A?B，A?B，A(CI(A))，A?B?C?A?(B?C)，

A?(B?C)?(A?B)?(A?C)，

3

2．函数（1）概念

函数的两个要素是：定义域和对应法则。反函数的概念y?f(b,a)在它的反函数图像上。

?1(x)，若(a,b)在原函数的图像上，则

（2）简单性质

函数的四特性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义和判断的方法。

有界性：f(x)?M；奇偶性：奇函数：f(?x)??f(x)，偶函数：f(?x)?f(x)；周期性：f(x)?f(x?T)。

一个关于周期函数的重要的变换：g(x)?f(ax?b)?f(ax?b?T)?f(a(x?（4）幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质、图像和常用公式。

y?x，y?a，y?logaxaTa)?b)?g(x?Ta)

x，y?lgx，y?lnx，lnxy?lnx?lny，

lnxy?lnx?lny，lnxy?ylnx，logax?loglogbbxa

第三节代数方程和简单的超越方程

代数方程和简单的超越方程主要考察方程的求解，函数性质在方程中的应用。来培养数学的综合解决问题的能力：理解和分析用数学语言所表述的问题，列出方程；综合应用数学的知识和思想方法解出方程。

（一）必知公式

1．一元一次方程、二元一次方程

一元一次方程的形式是ax?b?0，其中a?0，它的根为x??ba.

?a1x?b1y?c1二元一次方程组的形式是?，假使a1b2?a2b1?0，则方程组有唯一解(x,y).

ax?by?c?2222．一元二次方程

一元二次方程的形式是ax?bx?c?0（1）判别式：??b?4ac

4

22（2）求根公式：x???b?b?4ac2aba2

ca（3）根与系数的关系：x1?x2??（4）二次函数的图像

y?ax2，x1x2?

?bx?c?a(x?b2ab2a)?24ac?b4a22

以x??b2a为对称轴，(?,4ac?b4a)为顶点的抛物线。

3．简单的指数方程和对数方程例如：2x

第四节不等式

不等式主要考察不等式的解法和不等式的应用。来培养数学的计算能力和综合解决问题的能力。（一）必知公式

1.不等式的基本性质及基本不等式：算术平均数与几何平均数、绝对值不等式。2.几种常见的不等式解法

绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等。

(二)真题例解1.特别值法

通过选取适合的特别值，将正确选项找出是处理选择题的最有效方法之一。2.求导数法

这种方法在处理不等式问题时很可行，在第一章节我们也用到了这种方法。

第五节数列、数学归纳法

数列主要考察数列的概念，等差数列和等比数列的求和及应用。数学归纳法是一种重要的证明关于自然数问题的方法。以此来培养综合解决问题的能力。（一）必知公式1.数列的概念

n2?1?53x?4,lg(2x?2x?3)?1等，像这样的方程可用换元法化为代数方程来求解。

2数列的形式：a1,a2,a3,?,通项为{an}，前n项和为Sn?a1?a2???an?2.等差数列（1）概念

?ak?1k，

5

定义：an?1?an?d，通项：an?a1?(n?1)d，前n项和：Sn?na1?（2）简单性质：中项公式、平均值an?k?an?k?2an，3.等比数列（1）概念

定义：an?0，（2）简单性质：

2中项公式：an?kan?k?an

12n(n?1)d

a1?a2???ann?12(a1?an)

an?1an?q，通项：an?a1qn?1，前n项和：Sn?a11?qn1?q

4.数学归纳法

n证明：?k?k?112n(n?1)

第六节排列、组合、二项式定理和古典概率

排列、组合、二项式定理主要是为概率论来服务的，主要考察排列和组合的定义。古典概率是现代概率的基础，主要考察等可能事件概率的计算。以此来培养理解实际问题和解决问题的能力。（一）必知公式1．加法原理

假使完成一件事可以有n类方法，在第i类方法中有mi种不同的方法(i?1,2,?,n)，那么完成这件事共有N?m1?m2???mn种不同的方法。2．乘法原理

假使完成一件事需要分成n个步骤，做第i步有mi种不同的方法(i?1,2,?,n)，那么完成这件事共有

N?m1?m2???mn种不同的方法。

3．排列与排列数

（1）定义：从n个不同的元素中任取m(m?n)个，依照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出

m个元素的一个排列；所有这些排列的个数，称为排列数，记为Pn。

m（2）排列数公式：Pn?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)

m6

注：阶乘（全排列）Pmm?m!4．组合与组合数

（1）定义：从n个不同的元素中任取m(m?n)个并成一个组，称为从n个元素中取出m个元素的一

个组合；所有这些组合的个数，称为组合数，记为Cnm。

（2）组合数公式：Cmn?PnPmmm

n（3）基本性质：C5．二项式定理

nmn?Cn?mn，Cmn?1?Cmn?Cm?1n，?Cnk?2n

k?0(a?b)?n?Ck?0knabkn?k

6．古典概率的基本概念

样本空间、样本点、随机事件、基才能件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件。

7．概率的概念与性质

（1）定义（非负性、规范性、可加性）；（2）性质:

0?P(A)?1，P(?)?0，P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B)

7．几种特别事件发生的概率

（1）等可能事件（古典概型）P(A)?mn

（2）互不相容事件P(A?B)?P(A)?P(B)对立事件P(A)?P(B)?1（3）相互独立事件P(A?B)?P(A)P(B)（4）独立重复试验

假使在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率

kkn?k为Pn(k)?Cnp(1?p)

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第三章几何与三角

这部分主要考察三角形、四边形、圆形以及多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用；长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的计算和运用；三角学；以及解析几何方面的知识等。

第一节平面几何图形

平面几何部分重点考察的是三角形、四边形、圆形以及（正）多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用；（一）必知公式1．三角形

（1）三角形内角之和

?1??2??3??

三角形外角等于不相邻的两个内角之和。（2）三角形面积公式

s?12ah?12absinC?p(p?a)(p?b)(p?c)，2p?a?b?c

其中h是a边上的高，C是a,b边所夹的角，p为三角形的半周长。（3）三角形三边关系：两边之和大于第三边，即a?b?c（4）几种特别三角形（直角、等腰、等边）勾股定理：c2?a2?b2

等腰直角三角形的三边之比：1:1:22．四边形

（1）矩形（正方形）

22矩形两边长为a，b，面积为S?ab，周长l?2(a?b)，对角线长＝a?b。

（2）平行四边形（菱形）

平行四边形两边长是a，b，以b为底边的高为h，面积为S?bh，周长l?2(a?b)。（3）梯形

上底为a，下底为b，高为h，中位线＝3．圆和扇形

（1）圆圆的圆心为O,半径为r，直径为d,则

周长为l?2?R

8

12(a?b)，面积为s?12(a?b)h。

面积是s??R。

（2）扇形扇形OAB中，圆心角为?，则

AB弧长l?R?扇形面积s?

其次节空间几何体

空间几何体部分重点考察的是长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的计算和运用，所以记牢一些基本立方体的体积及表面积很关键。（一）必知公式1．长方体

设长方体的3条相邻的棱边长是a,b,c.体积：V?abc

全面积：F?2(ab?bc?ca)对角线长：d?2．圆柱体

设圆柱体的高为h，底半径为R.体积：V??R2h侧面积：S侧＝2?Rh

a?b?c222212Rl

?R?2?全面积：F?2S底＋S侧＝23．正圆锥体

设正圆锥体的高为h，底半径为R.体积：V?母线：l?132R.h

?Rh

222R?h

2?Rl侧面积：S侧＝?Rl，其侧面展开图为一扇形，该扇形的圆心角为??全面积：F?S底＋S侧＝?R??Rl.4．球

2

9

设球半径为R体积：V?433?R

面积：S?4?R2

第三节三角学

三角学部分重点考察的是三角函数的定义及，常用的三角函数恒等式，反三角函数的定义及性质，熟练把握特别角的三角函数值也是很有必要的。（一）必知公式

1．定义（符号、特别角的三角函数值）2．三角函数的图像和性质3．常用的三角函数恒等式?sin2??cos2??1?22?1