初中数学辅助线大全详细例题付

初中数学辅助线大全详细例题付答案初中数学辅助线大全详细例题付答案/初中数学辅助线大全详细例题付答案初中数学辅助线大全详细例题付答案[引出问题]在几何证明或计算问题中，经常需要增加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是经过增加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是经过增加辅助线，使分其他条件得以集中，从而利用它们的互有关系解题；三是把新问题转变为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的增加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。[例题解析]一、倍角问题例1：如图1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。1A求证：∠DBC=∠BAC.2解析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用D三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。证法一：∵在△ABC中，AB=AC，BC∴∠ABC=∠C=1（180°-∠BAC）=90°-1∠BAC。∵BD⊥AC于D2°2∴∠BDC=90°°°11∠BAC∴∠DBC=90-∠C=90-(90-∠BAC)=221即∠DBC=∠BAC解析二：∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC=?∠BAC”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A的均分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把?∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。证法二：如图2，作AE⊥BC于E，则∠EAC+∠C=90°A1∵AB=AC∴∠EAG=∠BAC2D∵BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°BC∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）1E∠BAC。即∠DBC=2证法三：如图3，在AD上取一点E，使DE=CD连接BEA∵BD⊥ACE∴BD是线段CE的垂直均分线∴BC=BE∴∠BEC=∠CD°∴∠EBC=2∠DBC=180-2∠C∵AB=ACBC∴∠ABC=∠C°∴∠BAC=180-2∠C∴∠EBC=∠BAC12说明：例1也可以取BC中点为E，连接DE，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。同学们不如试一试。例2、如图4，在△ABC中，∠A=2∠B22求证：BC=AC+AC?AB22解析：由BC=AC+AC?AB=AC（AC+AB），启示我们成立两个相似的三角形，且含有边BC、AC、AC+AB又.由已知∠A=2∠B知，成立以AB为腰的等腰三角形。A证明：延伸CA到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA∵∠BAC是△ABD的一个外角∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠DBC∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC∴ACBCBCCD2∴BC=AC?CDAD=AB22∴BC=AC（AC+AB）=AC+AC?AB二、中点问题例3．已知：如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D，在AC的延伸线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE的中点。求证：BD=CE解析：由于BD、CE的形成与D、E两点有关，A但它们所在的三角形之间由于不是同类三角形，因此关系不明显，由于条件F是DE的中点，如何利用这个中点条件，把不同样类三角形转变为同类三角形式问题的要点。D由已知AB=AC,联系到当过D点或E点作平行线，就可以形成新的图形关系——组成等腰三角形，也就是相当于先把BD或CEBC搬动一下地址，从而使问题得解。GFE证明：证法一：过点D作DG∥AC,交BC于点G（如上图）∴∠DGB=∠ACB,∠DGF=∠FCE∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠B=∠DGB∴BD=DG∵F是DE的中点∴DF=EF在△DFG和△DEFC中，∴△DFG≌EFC∴DG=CE∴BD=CEA证法二：如图，在AC上取一点H,使CH=CE,连接DH∵F是DE的中点∴CF是△EDH的中位线∴DH∥BCHDBCFE∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠BCA∵AB=AC∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD∴AD=AH∴AB-AD=AC-AH∴BD=HC∴BD=CE说明：本题信息特点是“线段中点”。也可以过E作EM∥BC,交AB延伸线于点G，模拟证法二求解。例4．如图，已知AB∥CD，AE均分∠BAD，且E是BC的中点求证：AD=AB+CD证法一：延伸AE交DC延伸线于FAB∵AB∥CD∴∠BAE=∠F,∠B=∠ECF∵E是BC的中点∴BE=CE在△ABE和△CEF中∴△ABE≌△CEFE∴AB=CF∵AE均分∠ABD∴∠BAE=∠DAE∴∠DAE=∠FF∴AD=DFC∵DF=DC+CFCF=ABAB∴AD=AB+DC证法二：取AD中点F，连接EF∵AB∥CD，E是BC的中点∴EF是梯形ABCD的中位线F∴EF∥AB,EF=1（AB+CD）E2∴∠BAE=∠AEF∵AE均分∠BAD∴∠BAE=∠FAED∴∠AEF=∠FAEC∴AF=EF∵AF=DF1∴EF=AF=FD=AD21(AB+CD)=1AD22∴AD=AB+CD三．角均分线问题例5．如图（1），OP是∠MON的均分线，请你利用图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参照这个全等三角形的方法，解答以下问题。（1）如图（2），在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的均分线，AD、CE订交于点F,请你判断并写出EF与FD之间的数量关系。（2）如图（3），在△ABC中，若是∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得的结论可否依旧成立？若成立，请证明；若不成立，请说明原由。EMBBE解析：本题属于学习惯题型。这类题型的特点是描述一种方法，要修业生依照指定的方法解题。指定方法是角均分问题的“翻折法”得全等形。FD解：（1）EF=FDOAP（2）答：（1）结论EF=FD依旧成立AC原由：如图（3），在AC上截取AG=AE,连接FGF(2在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGFF∴EF=GF,∠EFA=∠NGFA由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC∠BCA的均分线(1C可得∠FAG+∠FCA=60°(3∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60°∴∠GFC=60°在△CFG和△CFD中∴△CFG≌△CFD∴FG=FD又由于EF=GF∴EF=FD说明：学习惯问题是新课程下的新式题，意在观察学生现场学习能力和自学能力。抛开本题要求从角均分线的角度想，本题也可以利用角均分线的性质“角均分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的。解法二：（2）答（1）中的结论EF=FD依旧成立。B原由：作FG⊥AB于G,FH⊥AC于H,FM⊥BC于M∵∠EAD=∠DAC∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE∴FH=FGEGM∵∠B=60°∴∠DAC+∠ACE=60°D∴∠EFD=∠AFC=180°-60°=120°F在四边形BEFD中∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180°∴∠FDC=∠BEFAHC在△EFG和△DFM中∴EFG≌△DFM(3∴EF=DF四、线段的和差问题例6如图，在△ABC中，AB=AC,点P是边BC上一点，PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M,试试究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明原由。解析：判断三条线断的关系，一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系，经过测量猜想PD+PE=CM.解析：在CM上截取MQ=PD，得□PQMD,再证明CQ=PEAMQE答：PD+PE=CM证法一：在CM上截取MQ=PD，连接PQ.∵CM⊥AB于M,PD⊥AB于D∴∠CMB=∠PDB=90°CM∥DP∴四边形PQMD为平行四边形∴PQ∥AB∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B∵AB=AC∴∠B=∠ECP∴∠QPC=∠ECP∵PE⊥AC于E∴∠PEC=90°在△PQC和△PEC中∴△PQC≌△PEC∴QC=PE∵MQ=PD∴MQ+QC=PD+PE∴PD+PE=CM解析2：延伸DF到N使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM,M再证明PN=PE证法2：延伸DF到N，使DN=CM，连接CN同证法一得平行四边形DNCM，及△PNC≌△PECD∴PN=PE∴PD+PE=CMBP解析3：本题中含有AB=AC及三条垂线段PD、DE、CM，且SSS，因此可以用面积法求解。VPABVPACVABC证法三：连接AP,∵PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M∠PQC=∠PEC∠QPC=∠ECPPC=PCSVABP1AB?PD2SVACP1AC?PED2BS1AB?CMABCV2∵AB=AC且SVPABSVPACSVABC1AB?PD1AB?PE1AB?CM∴222QAB0PDPECM说明：当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。

AECNAMEPC五、垂线段问题例7在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上一点，且PEAB,PFBC,垂足分别是E、F求证：ABPFDCBCPE解析：将比率式ABPFBCPE1AB?PE，1BC?PF22

转变为等积式AB?PEPBC?PF，联想到FAEB即△PAB与△PBC的面积相等，从而用面积法达到证明的目的。证明：连接AC与BD交于点O,连接PA、PC在平行四边形ABCD中，AO=COSAOPSCOP同理，VVSVAOBSVAOPSVBOCSVCOPSVPABSVPBC∵PEAB,PFBC,例8求证：三角形三条边上的中线订交于一点。解析：这是一个文字表达的命题。要证明文字命题，需要依照题意画出图形，再依照题意、结合图形写出已知、求证。已知：△ABC中，AF、BD、CE是此中线。求证：AF、BD、CG订交于一点。解析：要证三线交于一点，只要证明第三条线经过另两条线的交点即可。证明：设BD、CE订交于点G，连接AG，并延伸交BC于点F,.作BM⊥AF,于M,CN⊥AF,于N则SVAGB11AG?BM,SVAGCAG?CN2211AG?BMAG?CN22BMCN,,在△BMF和△CNF中∴△BMF≌△CNF∴BF'CF',∴AF是BC边上的中线又∵AF时BC边上的中线即AF经过点D∴AF、BD、CE三线订交于点G因此三角形三边上的中线订交于一点。六、梯形问题例9．以线段a=16,b=13为梯形的两底，以c=10为一腰，则另一腰长d的取值范围是＿解析：如图，梯形ABCD中，上底b=13，下底a=16，腰AD=c=10，过B作BE∥AD,获取平行四边形ABED，从而得AD=BE=10,AB=DE=13AB因此EC=DC-DE=16-13=3.因此另一腰d的取值范围是10-3＜d＜10+3答案：7＜d＜13例10．如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD的面积。DEC解析：已知条件中给出两条对角线的长，但对角线地址交叉，条件一时用不上。另BBB外，求梯形面积只要求出上、下底的和即可，不用然求出上、下底的长，因此考虑平移腰。解：解法一：如图，过A作AF∥BD,交CD延伸线于FABQAB//FC四形ABDF是平行四形FDAB,AFBD15FCABDCQAEFCAEFAEC。FDE90EBB在直角三角形AEF中，AE=12,AF=15在直角三角形AEC中，AE=12,AF=15解法二：如图，过B作BF⊥DC于FAB∴∠BFC=90°∵AE⊥DC于E在直角三角形ABC中，AE12,AC20ECAC2AE216FC在直角三角形BDF中，DE12,BD15BBEBBFDFBD2BF29ABDCDFCE91625S梯形ABCD1(ABDC)?AE1251215022

CB例11.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B+∠C=90°,M、N分别是AD、BC的中点，试说明：1(BCAD)MNG2解析1：∠B+∠C=90°，考虑延伸两腰，使它们订交于一点，AD组成直角三角形。M解法1：延伸BA、CD交于点G,连接GM、GN∵B、A、G共线∴G、M、N共线BC解析2：考虑M、N分别为AD、BC中点，可以N过M分别作AB、DC的平行线，梯形ABCD内部组成直角三角形，把梯形转变为平行四边形和三角形。解法2：作ME∥AB交BC于E,作MF∥DC交BC于F∵AD∥BC∴四边形ABEM、DCFM都是平行四边形∴BE=AM,FC=DMAD∴∠EMF=90°,又∵EN=FNM[模式归纳]经过上面各例的解析、解证，发现增加合适的BC辅助线能使解题思路畅达，解答过程简捷。但辅ENF助线的增加灵便多变，忧如比较难以掌握。其实添什么样的辅助线？怎么添辅助线？与已知条件的特点和所求问题的形成关系亲近。下面分类归纳几种常用的辅助线的增加方法。一、倍角问题研究∠α＝2∠β或∠β=1∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种状况：21.∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的均分线，得∠1=1∠α，尔后证明∠1=∠2β；或把∠β翻折，得∠2=2∠β，尔后证明∠2=∠α（如图一）∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法增加辅助线（如图二）二中点问题已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法增加辅助线（1）延伸中线至倍（也许倍长中线），如图一。若图形中没有明显的三角形的中线，也可以构造中线后，再倍长中线，如图二。（2）构造中位线，如图三α（31）ββαα图一2图二图三图四α图二三、角均分线问题图一已知条件中含有角均分线信息称为角均分线问题。常用的辅助线有两种：以角均分线所在直线为对称轴，构造全等三角形，如图一、二所示。由角均分线上的点向角的两边做垂线，构造全等三角形，如图二所示。图一图二图三四、线段的和差问题已知条件或所求问题中含有a+b=c或a=c-b，称为线段的和差问题，常用的辅助线有两种：短延伸：若AB=a,则延伸AB到M,使BM=b,尔后证明AM=c；长截短：若AB=c,则在线段AB上截取AM=a,尔后证明MB=b。五、垂线段问题已知条件或所求问题中含有两条也许两条以上的垂线段时，而所研究的问题关系又不明显时，可以借助于可求图形的面积转变。常用的面积关系有：同（等）底的两个三角形的面积与其高的关系；同（等）高的两个三角形的面积与其底的关系。六、梯形问题梯形可以看作是一个组合图形，组成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等。因此，可以经过增加合适的辅助线，把梯形问题转变为三角形、平行四边形、矩形等问题求解，其基本思想为：转变梯形问题三角形也许平行四边形问题在转变、切割、拼接经常用的辅助线：切割、拼接平移一腰。即从梯形一个极点作另一个腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如图一）。研究有关腰的问题经常用平移一腰。过极点作高。即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转变为一个矩形和两个直角三角形（如图二）。研究有关底或高的问题经常过极点作高。平移一条对角线。即从梯形的一个极点作一条对角线的平行线，把梯形转变成平行四边形和三角形（如图三）。研究有关对角线问题经常用平移对角线。这类增加辅助线的方法，可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角形内，使梯形的问题转变为三角形的问题。此三角形的面积等于梯形的面积。延伸两腰交于一点。把梯形问题转变为两个相似的三角形问题（图四）；过底的中点作两腰的平行线。当已知中有底的中点时，常过中点做两腰的平