第1讲圆的基本性质讲义

的基本性质一、【教学目标】.理解圆、弦、弦心距、直径、弧、圆心角、圆周角等有关的概念..理解圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是旋转对称图形..掌握圆中“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”的性质，以及“弧、弦、弦心距、圆心角”四量之间的“等对等”关系，并能运用这些性质进行有关的计算与证明..理解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活运用于有关问题的解决.二、【教学重难点】.教学重点：“垂径定理”、圆周角与圆心角的关系的灵活运用.教学难点：三、【考点聚焦】考点一.圆的基本元素.弦和直径：连结圆上任意两点的线段叫弦，如图，线段AC、AB、BC都是。O的弦，其中AB是直径，直径是圆中最长的弦.圆心到弦的距离叫此弦的弦心距，如图中的线段OM的长，表示圆心到弦AC的弦心距.注意：直径是过圆心的弦，凡直径都是弦，但弦不一定都是直径..弧和半圆：圆心任意两点间的部分叫做弧，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种.一条直径把圆分成了两个半圆，大于半圆的弧叫优弧，在表示时必须用三个大写字母表示，如图中的优弧二岳二，小于半圆的弧叫劣弧，如图中的劣弧 三注意：(1)半圆是一种特殊的弧；(2)在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧成立的前提首先是存在于“同圆或等圆中”..圆周角和圆心角.顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫圆周角；顶点在圆心上的角叫圆心角；如图中的NABC是圆周角，NAOD是圆心角.注意：圆周角具备两大特征：.顶点在圆周上，.角的两边都与圆相交，二者缺一不可，如图中的NABE就不是圆周角.考点二.圆的基本性质.弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，其旋转中心即为圆心.根据圆的这一特性，可以得出关于“弧、弦、弦心距与圆心角”之间的“等对等”关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.注意：(1)运用本知识点时，应注意其成立的条件：“同圆或等圆中”.(2)本知识是证明弦相等、弧相等的常用方法..圆的轴对称性：圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，利用“圆是轴对称图形”可以得到：“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.”注意：(1)此性质必须具备两个条件：直径；此直径垂直于弦，两者缺一不可.(2)常用此知识点进行一类计算题：在弦长、弦心距、半径三个量中，只需知道其中任意两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，利用勾股定理求解..圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于该弦所对的圆心角的一半；(2)同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等；(3)半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.注意：性质(1)的得出应分三种情况讨论：圆心在角的一边长；圆心在角的内部；圆心在角的外部，后两种情况可转化成第一种情况来说明.性质(2)是证明圆周角相等或弧相等的常用方法：“由角找弧”“由弧找角”.利用性质(3)可确定一个圆的圆心；已知直径时，常构造直径所对的圆周角，这是圆中一种常见的辅助线.四、【典例分析】题型1基本概念和定理的考查【示例一】。O半径为10,弦AB=12,CD=16,且AB#CD.^AB与CD之间的距离.变式1圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角度数是 变式2如图，AB、CD是。O的两条直径，弦BE=BD,则二匚与三三是否相等？为什么？

变式3如图，AB是。O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD,延长OC、OD,分别交。O于点E、F.试说明，三二三二变式4如图23-1-12,已知AB是。O的直径，AC是弦，且AB=4,AC=2'三，点D为二'三上任意一个动点，求ND的度数.题型2各知识综合考查【示例二】在图23-1-13,AB是。O的直径，C为 ，三的中点，CDXAB于D,交AE于F,连结AC.试说明AF=CF.AS变式1如图23-1-17所示，A、B、C、D是。O上四点，且D是二■■的中点，CD交OB于E,ZAOBE,ZAOB=100°,NOBC=55°,则NOEC=变式2如图23-1-19所示，AB是。O上的两点，且NAOB=70°,C是。O上不与AB重合的一点，则NACB的度数是 .AB=2CD变式3已知。O中， ，则AB与CD的关系是（ ）B.AB>2CDA.AB=2CDB.AB>2CDC.AB<2CDD.C.AB<2CD变式4AB为。O的弦，自圆上一点C向AB作垂线CD,垂足为D,如图所示，则NACD与NBCO是否相等？为什么？题型3垂径定理、圆周角与圆心角的关系结合相似三角形【示例三】如图所示，题型3垂径定理、圆周角与圆心角的关系结合相似三角形【示例三】如图所示，4ABC的三个顶点都在。O中，NBAC的平分线与BC边和。O分别交于点D、E.(1)试找出图中的相似三角形，并说明理由;(2)若CE=4,DE=2,求AD的长.变式2如图23-1-35所示，△ABC三个顶点在圆上，AB=AC,D是BC边上一点，E是直线AD和圆的交点.(1)试说明AB2=AD.AE；(2)当D为BC延长线上一点时，第(1)题结论还成立吗?如果成立，请说明为什么；不成立，说出理由.五、【课后习题】1.如图，AB是。O的直径，CD交。O于G,OEXCD于E,ACXCD于C,BDXCD于D,则下列结论错误的是（）A.CG=HDCE=EDC.E是GH的中点ACOED.OEBDD,则下列结论错误的是（）A.CG=HDCE=EDC.E是GH的中点ACOED.OEBD2.如图，NE=40°,，则NACD=( )B.15°A.10°C.20°D.12.5°3.如图，A是半径为5的。O内一点，且O