2023年高考理科数学分类汇编 函数与导数大题目doc

本文格式为Word版，下载可任意编辑——2023年高考理科数学分类汇编函数与导数大题目doc2023年高考理科数学分类汇编——函数与导数大题目1.（2023北京卷18题）(本小题共13分)

设l为曲线C：y?(I)求l的方程；

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方

lnx在点(1，0)处的切线.x2.（2023安徽卷20题）（本小题总分值13分）

x2x2xnnf(x)??1?x?????(x?R,n?N)，证明：设函数n22223n（Ⅰ）对每个n?Nnn2，存在唯一的xn?[,1]，满足

3fn(xn)?0；

1。n（Ⅱ）对任意p?N，由（Ⅰ）中xn构成的数列?xn?满足0?xn?xn?p?3.（2023福建卷17题）（本小题总分值13分）已知函数

f(x)?x?alnx(a?R)

（1）当a?2时，求曲线y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；（2）求函数f(x)的极值．

4.（2023广东卷21题）．（本小题总分值14分）

x2设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).

(Ⅰ)当k?1时,求函数f?x?的单调区间；

1?(Ⅱ)当k???,1?时,求函数f?x?在?0,k?上的最大值M.

?2?5.（2023广西卷22题）．（本小题总分值12分）

已知函数f?x?=ln?1?x??x?1??x?1?x.（I）若x?0时,f?x??0,求?的最小值;；

1111（II）设数列?an?的通项an?1???????,证明：a2n?an??ln2.23n4n

6.（2023全国新课标二卷21题）（本小题总分值12分）

已知函数f(x)=ex-ln(x+m)

(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并探讨f(x)的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0

7.（2023年河南XXXX卷21）（本小题总分值共12分）

已知函数f(x)＝x2?ax?b，g(x)＝ex(cx?d)，若曲线y?f(x)和曲线y?g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有一致的切线y?4x?2（Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围。

8.（2023湖北卷22题）设n是正整数，r为正有理数。

（I）求函数f(x)??1?x???r?1?x?1(x??1)的最小值；

nr?1??n?1?（II）证明：

r?1r?1r?1?n?1??nr??nr?1；

r?1r?1（III）设x?R，记??x??为不小于x的最小整数，例如??2???2，??????4，

?3?????1。令S?381?382?383??3125，求??S??的值。??2?9.（2023年湖南卷22题）（本小题总分值13分）

已知a?0，函数f(x)?x?a。

x?2a（I）；记f(x)在区间?0,4?上的最大值为g(a),求g(a)的表达式；（II）是否存在a，使函数y?f(x)在区间?0,4?内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

10.（2023年XX卷20题）．（本小题总分值16分）

设函数f(x)?lnx?ax，g(x)?ex?ax，其中a为实数．

（1）若f(x)在(1,??)上是单调减函数，且g(x)在(1,??)上有最小值，求a的取值范围；

（2）若g(x)在(?1,??)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

11.（2023年江西卷题）.(本小题总分值14分)

已知函数f(x)=a(1-2x-)，a为常数且a>0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x=对称；

(2)若x0满足f(f(x0))=x0，但f(x0)?x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点，假使f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围；

(3)对于（2）中的x1,x2和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），探讨S（a）的单调性.

121212.（2023年辽宁卷22题）（本小题总分值12分）

已知f0(x)?xn，fk(x)?fk??1(x)，其中k≤n(n，k?N+)．设fk?1(1)01knF(x)?Cnf0(x2)?Cnf1(x2)?…?Cnfk(x2)?…?Cnfn(x2)，x???11，?．

（I）写出fk(1)；

，（II）证明：对任意的x1，x2???11?，恒有F(x1)?F(x2)≤2n?1(n?2)?n?1．

13.（2023年山东卷21题）（本小题总分值13分）

设函数f(x)?x?c(e?2.71828?是自然对数的底数，c?R).2xe（1）求f(x)的单调区间，最大值；（2）探讨关于x的方程|lnx|?f(x)根的个数.

14.（2023年陕西卷21题）.(本小题总分值14分)

x已知函数f(x)?e,x?R.

(Ⅰ)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;(Ⅱ)设x>0,探讨曲线y＝f(x)与曲线y?mx2(m?0)公共点的个数.(Ⅲ)设a0,存在唯一的s,使t?f(s).

(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为s?g(t),证明:当t>e2时,有

2lng(t)1??.5lnt2

18.（2023浙江卷21题）．(本小题总分值14分)已知a＞0，b?R，

函数f?x??4ax3?2bx?a?b．(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，

(ⅰ)函数f?x?的最大值为|2a－b|﹢a；(ⅱ)f?x?＋|2a－b|﹢a≥0；

(Ⅱ)若﹣1≤f?x?≤1对x?[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．

19（2023年重庆卷17题）设f?x??a?x?5?2?6lnx，其中a?R，

曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线与y轴相交于点?0,6?。（1）确定a的值；（2）求函数f?x?的单调区间与极值。

2023年高考理科数学分类汇编——函数与导数大题目1.（2023北京卷18题）(本小题共13分)

设l为曲线C：y?(I)求l的方程；

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方

lnx在点(1，0)处的切线.x

2.（2023安徽卷20题）（本小题总分值13分）

x2x2xnn设函数fn(x)??1?x?2?2???2(x?R,n?N)，证明：

23n（Ⅰ）对每个n?Nnn2x?[,1]，满足，存在唯一的n3fn(xn)?0；

1?。n（Ⅱ）对任意p?N，由（Ⅰ）中xn构成的数列?xn?满足0?xn?xn?p（Ⅰ）

xnx2x3x4xn?当x?0时，y?2为单调递增的?fn(x)??1?x?2?2?2????2n234n是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数.

且fn(0)??1?0,fn(1)??1?1?0.

?存在唯一xn,满足fn(xn)?0，且1?x1?x2?x3?xn?0

x2x3x3xnx21?xn?1x21当x?(0,1).时,fn(x)??1?x?2?2?2???2??1?x????1?x??41?x41?x2222xn12?0?fn(xn)??1?xn???(xn?2)(3xn?2)?0?xn?[,1)

41?xn32综上，对每个n?Nn，存在唯一的xn?[,1]，满足fn(xn)?0；(证毕)

32（Ⅱ）由题知

1?xn?xn?p

xnxnxnxn?0,fn(xn)??1?xn?2?2?2???2?0234n234nfn?p(xn?p)??1?xn?p?上式相减：

xn?p222?xn?p323?xn?p424???xn?pn2n?xn?pn?12(n?1)???xn?pn?p2(n?p)?0xnxnxnxnxn?2?2?2???2?xn?p?2?2?2???2????2234n234n(n?1)(n?p)2xn-xn?p?（?xn?pn?1234nxn?p42xn?p3xn?p4xn?pnxn?pn?p2n?1xn?pn?pxn?p-xn2222?n?pxn?p-xn3?233?xn?p-xn424???xn?p-xnn2nn）?（xn?pn?12(n?1)???xn?p(n?p)）

(n?1)2???xn?p(n?p)2111111????(?)???(?)22nn?1n?p?1n?p(n?1)(n?p)1111????xn-xn?p?nn?pnn3.（2023福建卷17题）（本小题总分值13分）已知函数

f(x)?x?alnx(a?R)

（1）当a?2时，求曲线y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；（2）求函数f(x)的极值．

本小题主要考察函数．函数的导数．不等式等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．总分值13分．

解：函数f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)?1?．（Ⅰ）当a?2时，f(x)?x?2lnx，f?(x)?1?(x?0)，

?f(1)?1,f?(1)??1，

?y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y?1??(x?1)，

2xax即x?y?2?0．（Ⅱ）由f?(x)?1??axx?a,x?0可知：x①当a?0时，f?(x)?0，函数f(x)为(0,??)上增函数，函数f(x)无极值；②当a?0时，由f?(x)?0，解得x?a；

?x?(0,a)时，f?(x)?0，x?(a,??)时，f?(x)?0

?f(x)在x?a处取得微小值，且微小值为f(a)?a?alna，无极大值．

综上：当a?0时，函数f(x)无极值

当a?0时，函数f(x)在x?a处取得微小值a?alna，无极大值．

4.（2023广东卷21题）．（本小题总分值14分）

x2设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).

(Ⅰ)当k?1时,求函数f?x?的单调区间；

1?(Ⅱ)当k???,1?时,求函数f?x?在?0,k?上的最大值M.

?2?(Ⅰ)当k?1时,

xxxx?f?x???x?1?e?x,f?x??e??x?1?e?2x?xe?2x?x?e?2?

x2令f??x??0,得x1?0,x2?ln2当x变化时,f??x?,f?x?的变化如下表:

xf??x????,0???00?0,ln2??ln2?ln2,?????f?x?0极大值?微小值右表可知,函数f?x?的递减区间为?0,ln2?,递增区间为???,0?,?ln2,???.

xxxx?fx?e?x?1e?2kx?xe?2kx?xe??????2k?,(Ⅱ)

令f??x??0,得x1?0,x2?ln?2k?,令g?k??ln?2k??k,则g??k??上递增,

所以g?k??ln2?1?ln2?lne?0,从而ln?2k??k,所以ln?2k???0,k?所以当x??0,ln?2k??时,时,f??x??0；

k3M?maxf0,fk?max?1,k?1e?k??????????所以

kk3?hk?ke?3k,hk?k?1e?k?1???令???,则

11?k1??1??0,所以g?k?在??,1?kk?2?f??x??0,?；当x??ln?k2?????k?k?e?3k,则???k??ek?3?e?3?0??令

1?3??1??所以??k?在?上递减,而,1???1?e?????????e?3??0??2??2??2??????k??0,?x?0??所以存在x0??使得,且当,1k?,x00?时,???2211????当k??x0,1?时,?1???k??0,

?所以??k?在??,x0?上单调递增,在?x0,1?上单调递减.21?17由于h???e??0,h?1??0,???2?28?所以h?k??0在??,1?上恒成立,当且仅当k?1时取得“?〞.

k3fxM?k?1e?k????综上,函数在?0,k?上的最大值.

1?2?5.（2023广西卷22题）．（本小题总分值12分）

已知函数f?x?=ln?1?x??x?1??x?1?x.（I）若x?0时,f?x??0,求?的最小值;；

1111（II）设数列?an?的通项an?1???????,证明：a2n?an??ln2.23n4n

6.（2023全国新课标二卷21题）（本小题总分值12分）

已知函数f(x)=ex-ln(x+m)

(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并探讨f(x)的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0

7.（2023年河南XXXX卷21）（本小题总分值共12分）

已知函数f(x)＝x2?ax?b，g(x)＝ex(cx?d)，若曲线y?f(x)和曲线y?g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有一致的切线y?4x?2（Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围。

此题主要考察利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与

导数的关系、函数最值，考察运算求解能力及应用意识,是中档题.（Ⅰ）由已知得f(0)?2,g(0)?2,f?(0)?4,g?(0)?4，

而f?(x)=2x?b，g?(x)=ex(cx?d?c)，∴a=4，b=2，c=2，d=2；4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?x2?4x?2，g(x)?2ex(x?1)，设函数F(x)=kg(x)?f(x)=2kex(x?1)?x2?4x?2（x??2），

F?(x)=2kex(x?2)?2x?4=2(x?2)(kex?1)，

有题设可得F(0)≥0，即k?1，令F?(x)=0得，x1=?lnk，x2=－2，

)（1）若1?k?e2，则－2＜x1≤0，∴当x?(?2,x1)时，F(x)＜0，当x?(x1,??时，F(x)＞0，即F(x)在(?2,x1)单调递减，在(x1,??)单调递增，故F(x)在x=x1取最小值F(x1)，而F(x1)=2x1?2?x12?4x1?2=?x1(x1?2)≥0，∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，(2)若k?e2，则F?(x)=2e2(x?2)(ex?e2)，

∴当x≥－2时，F?(x)≥0，∴F(x)在(－2,+∞)单调递增，而F(?2)=0，∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，(3)若k?e2，则F(?2)=?2ke?2?2=?2e?2(k?e2)＜0，∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立，综上所述，k的取值范围为[1,e2].

8.（2023湖北卷22题）设n是正整数，r为正有理数。

（I）求函数f(x)??1?x???r?1?x?1(x??1)的最小值；

nr?1??n?1?（II）证明：

r?1r?1r?1?nr?n?1???nr?1；

r?1r?1?x??为不小于x的最小整数，例如??2???2，??????4，（III）设x?R，记??3?????1。令S?381?382?383??3125，求??S??的值。??2?（参考数据：80?344.7，81?350.5，124?618.3，126?631.7）

rr??f(x)?r?11?x?r?1?r?11?x?1???????????证明：（I）??43434343?f(x)在??1,0?上单减，在?0,???上单增。

?f(x)min?f(0)?0

（II）由（I）知：当x??1时，?1?x?式了）

r?1??r?1?x?1（就是伯努利不等

r?1r?1r?n?r?1n?n?1????所证不等式即为：??r?1r?1r??n??r?1?n??n?1?若n?2，则n??r?1?n??n?1?r?1rr?1?1???n?r?1???1???n?1?

?n?rrr?1??1???1??????

n?1?n?①

rrr?1???1?????1，???nn?1nn??rrr?1?，故①式成立。??1???1??1?nn?1?n?r若n?1，nr?1??r?1?nr??n?1?显然成立。

nr?1??r?1?nr??n?1?r?1r?1?1??n?r?1??1???n?1?

?n?rrr?1??1???1??????②

n?1?n?rrr?1???1????1，?nn?1nn??rrr?1?，故②式成立。??1???1??1?nnn?1??r综上可得原不等式成立。

144?4??3?4333（III）由（II）可知：当k?N时，?k??k?1?3??k???k?1?3?k3?

4?4???*444???3125?43?S???k3??k?1?3???1253?803??210.225

4k?81??4??4444???3125?3S????k?1?3?k3???1263?813??210.94k?81??4?????S???211

9.（2023年湖南卷22题）（本小题总分值13分）

已知a?0，函数f(x)?x?a。

x?2a（I）；记f(x)在区间?0,4?上的最大值为g(a),求g(a)的表达式；（II）是否存在a，使函数y?f(x)在区间?0,4?内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

10.（2023年XX卷20题）．（本小题总分值16分）

设函数f(x)?lnx?ax，g(x)?ex?ax，其中a为实数．

（1）若f(x)在(1,??)上是单调减函数，且g(x)在(1,??)上有最小值，求a的取值范围；

（2）若g(x)在(?1,??)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．解：（1）f?(x)?11?a≤0在(1,??)上恒成立，则a≥，x?(1，??)．

xx

故：a≥1．g?(x)?ex?a，

若1≤a≤e，则g?(x)?ex?a≥0在(1,??)上恒成立，

此时，g(x)?ex?ax在(1,??)上是单调增函数，无最小值，不合；

若a＞e，则g(x)?ex?ax在(1，lna)上是单调减函数，在(lna，??)上是单调增函数，gmin(x)?g(lna)，满足．故a的取值范围为：a＞e．（2）g?(x)?ex?a≥0在(?1,??)上恒成立，则a≤ex，

111?ax故：a≤e．f?(x)??a?(x?0)．

xx11

(ⅰ)若0＜a≤e，令f?(x)＞0得增区间为(0，a)；

1

令f?(x)＜0得减区间为(a，﹢∞)．

当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；

111

当x＝a时，f(a)＝﹣lna－1≥0，当且仅当a＝e时取等号．

11

故：当a＝e时，f(x)有1个零点；当0＜a＜e时，f(x)有2个零点．

(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．

1(ⅲ)若a＜0，则f?(x)??a?0在(0，??)上恒成立，

x即：f(x)?lnx?ax在(0，??)上是单调增函数，当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．此时，f(x)有1个零点．

11

综上所述：当a＝e或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜a＜e时f(x)有2个零点．

11.（2023年江西卷题）.(本小题总分值14分)

已知函数f(x)=a(1-2x-)，a为常数且a>0.(4)证明：函数f(x)的图像关于直线x=对称；

(5)若x0满足f(f(x0))=x0，但f(x0)?x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点，假使f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围；

(6)对于（2）中的x1,x2和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A

1212（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），探讨S（a）的单调性.

12.（2023年辽宁卷22题）（本小题总分值12分）

已知f0(x)?xn，fk(x)?fk??1(x)，其中k≤n(n，k?N+)．设fk?1(1)01knF(x)?Cnf0(x2)?Cnf1(x2)?…?Cnfk(x2)?…?Cnfn(x2)，x???11，?．

（I）写出fk(1)；

，（II）证明：对任意的x1，x2???11?，恒有F(x1)?F(x2)≤2n?1(n?2)?n?1．

（22）本小题主要考察导数的基本计算，函数的性质，绝对值不等式及组合数

性质等基础知识，考察归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．总分值12分．

（I）解：由已知推得fk?x???n?k?1?xn?k，从而有fk?1??n?k?1．·3分（II）证法一：当?1≤x≤1时，

1F?x??x2n?nCnx2?n?1?2??n?1?Cnx2?n?2?k????n?k?1?Cnx2?n?k?n?12???2Cnx?1，

1?上是增函数．当x?0时，F??x??0，所以F?x?在?0，，0?上是减函数．又F?x?是偶函数，所以F?x?在??1，所以对任意的x1，x2???11·····7分?，恒有F?x1??F?x2?≤F?1??F?0?．·

012kn?1F?1??F?0??Cn?nCn??n?1?Cn????n?k?1?Cn???2Cnn?1n?2n?k10?nCn??n?1?Cn????n?k?1?Cn???2Cn?Cn．

n?kn?kn?k??n?k?1?Cn??n?k?Cn?Cn??n?k???n?1?!?Ckn!k?n??Cnn

n?1?k!k!n?k!k!????kk?nCn，2，?，n?1?，···································································10分?1?Cn?k?112n?112n?10?F?1??F?0??n?Cn?1?Cn?1???Cn?1???Cn?Cn???Cn??Cn

?n?2n?1?1??2n?1?2n?1?n?2??n?1．

因此结论成立．······························································································12分证法二：当?1≤x≤1时，

1F?x??x2n?nCnx2?n?1?2??n?1?Cnx2?n?2?k????n?k?1?Cnx2?n?k?n?12???2Cnx?1，

1?上是增函数．当x?0时，F??x??0，所以F?x?在?0，，0?上是减函数．又F?x?是偶函数，所以F?x?在??1，所以对任意的x1，x2???11·····7分?，恒有F?x1??F?x2?≤F?1??F?0?．·

012kn?1F?1??F?0??Cn?nCn??n?1?Cn????n?k?1?Cn???2Cn，12n?10?3Cn???nCn?Cn又?F?1??F?0??2Cn，

4b?max{b?a?b，b?2a}36a?4bb?6a?a?b，?b??36ab?6a?b?2a，?

≤|2a－b|﹢a；

综上所述：函数g?x?在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．即f?x?＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数f?x?在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，且函数f?x?在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．∵﹣1≤f?x?≤1对x?[0，1]恒成立，∴|2a－b|﹢a≤1．

?b?2a取b为纵轴，a为横轴．则可行域为：??b?2a?b?a?1和??3a?b?1，目标

函数为z＝a＋b．作图如下：

由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有zmax?3．∴所求a＋b的取值范围为：???，3?．

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)???，3?．

19（2023年重庆卷17题）设f?x??a?x?5?2?6lnx，其中a?R，

曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线与y轴相交于点?0,6?。（1）确定a的值；（2）求函数f?x?的单调区间与极值。

12n?1?2?F?1??F?0????n?2??Cn?Cn???Cn··································10分??2，·

?F?1??F?0??112n?1?Cn???Cn?1?n?2??Cn?22n?2··························12分??n?2???1?2n?1?n?2??n?1．因此结论成立．·

2证法三：当?1≤x≤1时，

1F?x??x2n?nCnx2?n?1?2??n?1?Cnx2?n?2?k????n?k?1?Cnx2?n?k?n?12???2Cnx?1，

1?上是增函数．当x?0时，F??x??0，所以F?x?在?0，，0?上是减函数．又F?x?是偶函数，所以F?x?在??1，所以对任意的x1，x2???11·····7分?，恒有F?x1??F?x2?≤F?1??F?0?．·

kkCnfk?x2???n?k?1?Cnx2?n?k?n?k??n?k?Cnx2?n?k?n?k?Cnx2?n?k?2，?，n-1?，?k?1，n?k??n?k??由?n?k?Cn?n?1?!?nCn?1?kn!?n?，得n?1?n?k?!k!?n?1?k?!k!2?n?3?02nn?12?n?1?0????Cn?Cnx???Cn?1??xn?2F?x??nx2?Cn??1x2?n?2?n?3?Cn?1x2?nx2?1?x????n?1?x2?n?1????1?x2?n．···························································10分

???F?1??F?0??n?2n?1?1??2n?1?2n?1?n?2??n?1．

因此结论成立．······························································································12分

证法四：当?1≤x≤1时，

1F?x??x2n?nCnx2?n?1?2??n?1?Cnx2?n?2?k????n?k?1?Cnx2?n?k?n?12???2Cnx?1，

1?上是增函数．当x?0时，F??x??0，所以F?x?在?0，又F?x?是偶函数，所以F?x?在??1,0?上是减函数．

，所以对任意的x1，x2???11?，恒有

F?x1??F?x2?≤F?1??F?0?．···································································7分

1n?12n?2kn?kn?22n?1?x??1?x??xn??x?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx?Cnx?1?????1n2n?1kn?k?1n?23n?12?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx?Cnx?x

nnn?1对上式两边求导，得??1?x??xn??x?n?1?x??nxn?1?

????1n?12n?2kn?kn?22n?1?nCnx??n?1?Cnx????n?k?1?Cnx???3Cnx?2Cnx?1，

??1?x??x?n?1?x??nn?1?nxn?1?

?1n?12n?2kn?kn?22n?1?xn?nCnx??n?1?Cnx????n?k?1?Cnx???3Cnx?2Cnx?1，

2?F?x???1?x2??x2?n1?x????nn?1?nx2?n?1??．···········································10分

???F?1??F?0??2n?1?n?2??n?1．

因此结论成立．······························································································12分

13.（2023年山东卷21题）（本小题总分值13分）

设函数f(x)?x?c(e?2.71828?是自然对数的底数，c?R).2xe（1）求f(x)的单调区间，最大值；（2）探讨关于x的方程|lnx|?f(x)根的个数.解答：（1）f'(x)?121?2x1'f(x)?0，令得，，x?2x2e当x?(??,),f'(x)?0,函数单调递增；11所以当x?时，函数取得最的最大值x?(，??),f'(x)?0,函数单调递减；221fmax(x)??c2e1（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到?c，然后递减2e到c，而函数|lnx|是（0,1）时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。故令f(1)=0得，c??所以当c??当c??1，e21时，方程有两个根；2e1时，方程有一两个根；2e1当c??2时，方程有无两个根.e

14.（2023年陕西卷21题）.(本小题总分值14分)

x已知函数f(x)?e,x?R.

(Ⅰ)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;(Ⅱ)设x>0,探讨曲线y＝f(x)与曲线y?mx2(m?0)公共点的个数.(Ⅲ)设a

f(b)?f(a)b?a(Ⅰ)f(x)的反函数g(x)?lnx.设直线y＝kx＋1与g(x)?lnx相

?kx0?1?lnx0?2?2切与点P(x0，y0)，则?1?x0?e,k?e。所以k?e?2

?k?g'(x0)?x0?(Ⅱ)当x>0，m>0时，曲线y＝f(x)与曲线y?mx2(m?0)的公共点个数即方程f(x)?mx2根的个数。

exexxex(x?2)由f(x)?mx?m?2,令h(x)?2?h'(x)?，2xxx2则h(x)在(0,2)上单调递减，这时h(x)?(h(2),??);

e2h(x)在(2,??)上单调递增,这时h(x)?(h(2),??).h(2)?.

4h(2)是y?h(x)的微小值即最小值。所以对曲线y＝f(x)与曲线y?mx2(m?0)公共点的个数，探讨如下：

e2e2当m?(0,)时,有0个公共点；当m=,有1个公共点；当m

44e2有2个公共点；?（，??）4(Ⅲ)设

f(a)?f(b)f(b)?f(a)(b?a?2)?f(a)?(b?a?2)?f(b)??2b?a2?(b?a)(b?a?2)?ea?