06高等数学（理工类）考研真题六至十二 后附有各卷答案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——06高等数学（理工类）考研真题六至十二后附有各卷答案考研真题六1.设曲线y?ax2(a?0,x?0)与y?1?x2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y?ax2围成一平面图形.问a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?00数二考研题2.设???(x)是抛物线y?x上任一点M(x,y)(x?1)处的曲率半径,3s?s(x)是该抛物线上介于点A(1,1)于M之间的弧长,计算3?d?ds2?(d?ds)2的值(在直角坐标系下曲率公式为K?y??(1?y?2)3/2).01数二考研题3.填空位于曲线y?xe?x(0?x???)下方,x轴上方的无界图形的面积是().02数二考研题4.某闸门的形状与大小如下图,其中直线lDC为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次抛物线与线段AB所围成.当水面与闸门的上端相平AB时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承l受的水压力之比为5:4,闸门矩形部分的高h应为多少m(米)?02数二考研题5.设D1是由抛物线y?2x2和直线x?a,x?2yy?2x2及y?0所围成的平面区域;D2是由抛物线y?2x2和直线y?0,x?a所围成的平面区域,其中0?a?2.D1D2(1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1;Oa2xD2绕y轴旋转而成的旋转体的体积V2;(2)试问a为何值时V1?V2取得最大值?试求此最大值.02数三考研题6.过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D.03数一考研题(1)求D的面积A;.17.(2)求D绕x?e直线旋转一周所得旋转体的体积V.7.设曲线的极坐标方程为??ea?(a?0),则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积为______.03数二考研题8.某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打,都将战胜土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k?0),汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打所作的功之比为常数r(0?r?2).问03数一考研题(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m表示长度单位米)9.设位于第一象限的曲线y?f(x)过点(212,2),其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分.03数二考研题(1)求曲线y?f(x)的方程.(2)已知曲线y?sinx在[0,?]上的弧长为l,试用l表示曲线y?f(x)的弧长s.10.曲线y?ex?e?x2与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t),侧面积为S(t),在x?t处的底面积为F(t).04数二考研题(1)求S(t)V(t)的值;(2)计算极限t?limS(t)??F(t).11.如图,C11和C2分别是y?2(1?ex)和y?ex的图象,过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象,过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly.记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x);C2,C3与ly.18.所围图形的面积为S2(y).假使总有S1(x)?S2(y),求曲线C3的方程x??(y).y05数二考研题lyC3C2M(x,y)C11lxO1x12.设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域.07数二考研题(Ⅰ)当区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);(Ⅱ)当a为何值时,V(a)最小?并求此最小值..19.考研真题七?1.求与直线?x?1,?y??1?t,x?1y?2z?1?及??z?2?t12?1都平行且过原点的平面87数一考研题方程.?x??2.求过点M(1,2,?1)且与直线L:?t?2,?y?3t?4,垂直的平面方程.??z?t?190数一考研题3.已知两条直线方程L1:x?1y?2z?3x?2y?1z1?0??1,L2:2?1?1,求过L1且平行于L2的平面方程.91数一考研题4.设(a?b)?c?2,求[(a?b)?(b?c)]?(c?a).95数一考研题5.试确定直线L:??x?3y?2z?1?0?2x?y?10z?3?0与平面?:4x?2y?z?2?0的位置关系.95数一考研题6.设一平面经过原点及点(6,?3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,求此平面方程.96数一考研题7.求(1)直线L:x?11?y1?z?1?1在平面?:x?y?2z?1?0上的投影直线L0的方程;(2)直线L0绕y轴旋转一周而成的曲面方程.98数一考研题8.点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离z?.06数一考研题.20.

考研真题八1.设z?f(xy,xy)?g(yx),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?2z?x?y.00数一考研题2.选择设函数f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1,则().01数一考研题(A)dz(0,0)?3dx?dy;(B)曲面z?f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为{3,1,1};(C)曲线??z?f(x,y)?y?0在点(0,0,f(0,0))的切向量为{1,0,3};(D)曲线??z?f(x,y)?y?0在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3,0,1}.3.设函数z?f(x,y)在点(1,1)处可微,且f(1,1)?1,?f?x(1,1)?2,?f?y?3,?(x)?f(x,f(x,x)).求d(1,1)dx?3(x).x?101数一考研题4.选择考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:02数一考研题①f(x,y)在点(x0,y0)处连续;②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续;③f(x,y)在点(x0,y0)处可微;④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.若用P?Q表示可由性质P推出性质Q,则有().(A)②?③?①;(B)③?②?①;(C)③?④?①;(D)③?①?④.5.设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D?{(x,y)x2?y2?xy?75},小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy..21.(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式;(2)现欲利用此小山开展攀登活动,为此需要在山脚寻觅一上山坡度最大的点作为攀登的起点,也就是说,要在D的边界限x2?y2?xy?75上找出访(1)中的g(x,y)达到最大值的点,试确定攀登起点的位置.02数一考研题6.曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是____.03数一考研题7.已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个领域内连续,且xlimf(x,y)?xy?0y?0(x2?y2)2?1,则().03数一考研题(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点;(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点;(C)点(0,0)是f(x,y)的微小值点;(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.8.设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和极值.04数一考研题9.设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定,则3?z?z?x??y?__________.04数二考研题10.设z?f(x2?y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数,求?z?z?2?x,z?y,?x?y.04数二考研题11.设函数u(x,y,z)?1?x26?y212?z218,单位向量n?13{1,1,1},则?u?n?______.(1,2,3)05数一考研题.22.12.设有三元方程xy?zlny?exz?1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程().05数一考研题(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y);(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y);(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y);(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z);13.设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?x?yx?y?(t)dt,其中函数?具有二阶导数,?具有一阶导数,则必有().05数一、二考研题2(A)?2uu?x2???u?y2;(B)?2u?x2??2?y2;(C)?2u?2u(D)?2u?2u?x?y??y2;?x?y??x2.14.已知z?f(x,y)的全微分dz?2xdx?2ydy,并且f(1,1)?2.求f(x,y)在椭圆域D?{(x,y)|x2?y24?1}上的最大值和最小值.05数二考研题15.设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?y?(x,y)?0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点,以下选项正确的是().(A)若f06数一、二考研题x?(x0,y0)?0,则fx?(x0,y0)?0;(B)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0;(C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0;(D)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0.16.设f(u,v)为二元可微函数,z?f(xy,yx),则07数一考研题?z?x?____________.17.求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2,在区域D?{(x,y)|x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值.07数一考研题18.设f(u,v)是二元可微函数,z?f?yx?x,y??,则07数二考研题.23.x?z?x?y?z?y?____________.19.二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是().07数二考研题(A)(x,ylim)?(0,0)[f(x,y)?f(0,0)]?0;(B)f(x,0)?f(0,0)xlim?0x?0,且limf(0,y)?f(0,0)y?0y?0;(C),y)?f(0,0)(x,ylimf(x)?(0,0)x2?y2?0;(D)limx?0[fx?(x,0)?fx?(0,0)]?0,且limy?0[fy?(0,y)?fy?(0,0)]?0..24.

考研真题九1.设有一半径为R的球体,P0是此球体的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k?0)求球体的重心位置.00数一考研题2.计算emax(x2,y2)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.D02数一考研题3.设函数f(x)连续且恒大于零,f(x2?y2?z2)dvf(x2?y2)d?F(t)??(t),G(t)?D(t)t,f(x2?y2)d?f(x2)dxD(t)?t其中?(t)?{(x,y,z)|x2?y2?z2?t2},D(t)?{(x,y)|x2?y2?t2},(1)探讨F(t)在区间(0,??)内的单调性;(2)证明当t?0时,F(t)?2?G(t).03数一考研题4.t设f(x)为连续函数,F(t)?dyt)1yf(x)dx,则F?(2等于().04数一考研题(A)2f(2);(B)f(2);(C)?f(2);(D)0.5.设函数f(u)连续,区域D?{(x,y)|x2?y2?2y},则??f(xy)dxdyD等于().04数二考研题(A)1dx1?x2f(xy)dy;(B)22dy2y?y2f(xy)dx;?1?1?x200(C)?d?2sin?f(r2sin?cos?)dr;(D)?d?2sin?f(r2sin?cos?)rdr.00006.设D?{(x,y)|x2?y2?2,x?0,y?0},[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整数.计算二重积分xy[1?x2?y2]dxdy.05数一考研题D.25.7.设区域D?{(x,y)|x2?y2?4,x?0,y?0},f(x)为D上的正值连续函数上的正值连续函数,a,b为常数,则05数二考研题af(x)?bf(y)Df(x)?f(y)d??().(A)ab?;(B)ab2?;(C)(a?b)?;(D)a?b2?.8.计算二重积分|x2?y2?1|d?,其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}.D05数二考研题?9.设f(x,y)为连续函数,则4d?100f(rcos?,rsin?)rdr等于(