分数概念表述和分数除法运算的比较研究及其对教学的启示

分数概念表述和分数除法运算的比较研究及其对

教学的启示摘要：分数教学的难点在于概念表述和除法运算，重点在于关注分数与整数教学的一致性.选取部分国家和中国主要版本的小学数学教材，对“分数的概念与大小”和“分数除法”两方面内容进行比较研究，探究分数意义的表述以及分数除法算理与算法的逻辑联系.在比较研究的基础上提出“分数概念”与“分数除法”教学的新设想，并进行了教学设计和实施，发现实验班的学生能够接受逻辑支撑的算法与算理.作为研究的结论，重新构建了分数除法的教学框架，希望能够为中国小学数学教学改革提供有益借鉴.关键词：小学数学；分数概念；分数除法；比较研究；逻辑推理在小学数学教学中，分数意义的理解与分数除法的把握一直都是教学的重点与难点，也是数学教育研究的热点，近些年的研究主要围绕分数定义表达［1］>分数意义理解的、分数除法编排［3］等问题展开.事实上，分数教学的研究更应当关注与整数、小数教学的整体性和一致性国.为了把这个问题讨论得更清楚，这里对新加坡、日本、美国加州和中国主要版本的"分数的概念与大小”和“分数除法”两方面内容进行比较研究，在研究结论的基础上重新构建了基于整数、分数和小数一体化思想的分数教学，特别是分数除法的教学框架，并进行了教学设计和实施，得到了探索性结论，希望能够为中国小学数学教学改革提供有益借鉴.1研究问题与研究对象研究问题是“分数的概念与大小”和“分数的除法”两个方面教学内容的表述，研究对象选取了4个国家适用范围广、学制6年的主要版本教材，版本如下.国内教材，人民教育出版社出版的《小学数学(三~六年级)》；国外教材，日本东京书籍株式会社出版的《新算数(二~六年级)》、新加坡MarshallCavendishEducation出版的MyPalsAreHere!MathsPupilsBook3rdEdition(2A-6B)>美国TheMcGraw-HillCompanies出版的CaliforniaMathematics,Concepts,Skills,andProblemSolving(2-6Grade).4套教材的比较，关注3个具体问题：分数的概念与大小的表述；分数的意义与分数除法的关联；分数除法算法与算理的逻辑联系；分数的意义与分数除法的关联.2分数的概念与大小比较分数概念源于分数的意义，大体有5种构想［5］，部分/整体、比率、商、度量和运算，或者5种形式表达［6］：部分/整体、子集/集合、数轴上两个整数间的一点、除法运算的结果、两个量的比.弗赖登塔尔认为：“通过等分和测量引入分数，目的在于体现分数的直观形象……事实上，测量产生的是小数而不是分数.”［7］也可以认为：“分数的本质是一个无量纲的数.虽然可以把分数看成除法运算的一种表示，但分数本身是数而不是运算.分数的本质在于真分数，这样的分数有两个现实背景，一个是表达整体与等分的关系.一个是表达两个数量之间整数的比例关系［8］因此，可以把分数理解为两个数量之间倍数关系的表达.综上所述，分数概念的表达具有多重性，只有确切把握分数的本质特征、各种表达的相互关联，才能保证分数概念述说的逐渐深入，体现概念形成过程的抽象性.分数的认识需要同时关注分数大小的比较.这是因为"与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质”“在现实生活中，数量关系的核心是多与少，人们把这种关系抽象到数学内部，这就是数的大与小”回.事实上，也只有通过大小关系的比较才能真正理解分数的意义.下面分析4套教材“分数意义”的表述.2.1分数意义表述的相同之处都体现分数意义的多样性，都进行分数大小的比较.关于分数的意义，都是通过等分一个整体的物体认识几分之一和几分之几，拓展到等分一个集合的物体认识子集所占比例，都是用数线上的点表示分数，用分数表示整数除法的商，但侧重点有所不同.认识分数的同时都比较分数的大小，大体采用等分图形、数线上的数比较同分母分数，然后通分比较异分母分数.直接给出分数与除法的关系，都没有论证其中的道理.4套教材都是用具体的事例直接给出分数与除法的关

系“a+b=a”,都没有解释说明算式成立的理由.事实上,b这个算式成立的原因需要以“除以一个数等价于乘以这个数的倒数”作为过渡，即“a+b=ax1=a”，如后面将要进bb行的论述，这是构建新的分数除法教学框架的基础之一.2.2分数意义表述的不同之处(1)强调的重点不同.人教版教材强调关系.通过具体例子，从部分与整体关系入手，直观认识几分之一、几分之几，再用文字语言说明.然后，把整体从一个物体扩充到多个物体构成的集合，把集合看作1,通过集合的元素认识分数单位，通过集合的子集认识分数，比如，把4个1把的香蕉看作整体，其中每根香蕉是整体的-，通过与1的大小关系认识真分数、假4分数.日本教材强调分数单位.通过具体例子，从分数单位入手，强调分数单位是构成分数的基本要素，将真分数与假分数、分数与小数联系在一起；突出分数量的表述，比如1m、6m等；结合小数计数单位认识分数单位，比如51100.11100.1.1+1，一个整体可以表示为-=-+-+1+1.进一3 44444步，将分数的认识转化为运算的过程⑵，比如，计算27的-，先把27平均分成9份，1份=27+9=3，取5份，95份=3x5=15.加州教材强调等分.用文字语言定义分数，说明分子分母各自的含义，借助图形说明；由一个物体拓展到一个集合,仍然强调部分与整体之间的关系.对于分数的其它意义比较弱化.(2)与除法关系表述不同．人教版教材通过实例解释除法与分数的关系，把整数除法问题分为两种情况，一种情况是平均分，如“把3个月饼平均分给4人，每人分得多少个？”另一种情况是数量比，如''小新家养鹅7只，养鸭10只.鹅的只数是鸭的几分之几？”说明两种情况分别表示整体与等分关系和数量的比例关系，结合画图解释可以用分数表示除法的商.日本教材借助图形解释平均分，用语言解释除法算式的商可以用分数表示，并将数量关系统一为倍数关系，强调分数倍与整数倍的意义一样，因此用分数表述原来大小的倍数时，要用除法.新加坡教材把分数是除法的另一种形式作为大概念，即Bigidea：Afractionisanotherwaytorepresentdivision，并用22画图的方式表达2+3=-，认为2除以3和-是一样的.33其中，整数除法主要解决平均分的问题，用平均分的图形表示分物过程，因此商可以用分数表示.加州教材用分数表示整数除法的商，突出分数可以转化为小数，即任何一个分数都可以通过分子除以分母的方式转化为小数，并且用竖式计算的方法把假分数转化为带分数.3分数除法的算法与算理分数除法算理的解释一直备受关注，关键是如何使得算理与算法实现数学化的一致性.数学化是弗赖登塔尔提出来的，张奠宙更是强调数学学习的过程就是数学化的过程[10].下面，基于数学化的一致性分析4套教材中分数除法的表述.4套教材分数除法的表述路径相似，都是结合具体问题，通过画图解释算式的步骤，然后归纳分数除法的算法，即除以一个分数等于乘以这个分数的倒数.但编写理念与表述形式各不相同.人教版教材先定义倒数，然后依次讨论分数除以整数和分数两种情况.对于除数是整数的情况用两种方法解释算理，比如，考虑“把一张纸的-平均分成2份，每份是这5张纸的几分之几？”的问题.首先，确认这是一个平均分的问题，因此要用除法，即-+2；然后，用两种方法解释计5算商的道理，一种方法借助除法定义，把-平均分成2份,5TOC\o"1-5"\h\z1 2就是把4个1平均分成2份，每份是2个1,因此是-,5 5 5得到-+2=4+2=-；另一种方法借助分数意义，把-平5 55 5均分成2份，每份是-的1,因此是-x1,这样就得到52 524142-+2=-x1=—=-.显然，这样的通过具体背景解释分52105数除法的道理，对于除数是分数情况不完全适用，于是需要2借助其它的具体背景，比如，考虑“小明-小时走了2km,3小红£小时走了-km,谁走得快些？”的问题.小明平12 6均每小时走2+-,利用画线段图解释商的计算：先求1小33时走的千米数，通过时间一半距离一半的理由，知道是求距离的上，即2x上；再求3个1小时走的千米数，即2x-1x3,TOC\o"1-5"\h\z3 221 3得到2+-=2x土x3=2x-=3；同样想法，小红平均每小32 2时走：£+£=5x12=2.可以看到，这样的基于具体背61265景的解释无法实现算理的一致性，于是用归纳的方法得到算法，通过文字表达：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.日本教材虽然也是分类讨论，但分析方法有所不同.对于除数是整数的情况，分成分子能整除整数和不能整除整数4+22两种形式，前者用分子直接除：-+2=—=-,后者通55过分数基本性质转化为前者：-+3=处3+3=▲,最后5 5x3 5x3用符号表示•+▲=—二.对于除数是分数的情况，将除数■转化为整数：-+-=f-x4Vf-x4]=仔x4V3，算式就5415八4J5J转化为分数除以整数的形式，得到算法：-+d=-xC=acadw.可以看到，日本教材的算理是前后一致的，以除数axd是整数的形式为基础，借助推理将除数是分数的形式转化为除数是整数的形式，使得分数除法计算思路一致.新加坡教材按照分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数进行分类，借助图形分割模型、除法意义与分数意义解释分数除法的道理.分数除以整数，用图形分割说明：除以3几相当于乘几分之一.比如，考虑“3个孩子平均分-个派,4每个孩子分得一个派的几分之几？”的问题，因为每个小孩1 3 1313得到是一个派的-的1，可以表示为-+3=1of-=1x-，3 4 3434得到商为1.整数除以分数，通过画图解释算法，比如，433把计算6+-解释为6个整体中含有多少个-.因为3个整553 3 5体有5个-，因此1个整体里面有-的数量为-，得到5 3356+3=6x-.分数除以分数，用前面的结论得到53-+-=-x-.虽然教材中表达了除以分数可以转化为乘以8481倒数的形式，但没有给出倒数的概念，也没有归纳“除以一个分数等于乘以这个分数的倒数”的算法.加州教材分为“探索分数除法”与“分数除法”两个部分.“探索分数除法”分为同分母分数除法和异分母分数除法，借助画图计算1+1，把1写成-，变成同分母分数相55除，得5个1；仍然借助画图计算-+3，把-写成-，65 484883 33 1里有2个3，因此-+3=2.“分数除法”部分，通过3+-=68 48 2和3x2=6发现除以1和乘2的结果一样，并且-x2=1，22有特殊关系，于是定义倒数，说明计算倒数方法.给出核心概念(KeyConcept)：除以一个分数等于乘以它的倒数，用符号表示为：土+caxd.关注算法是加州教材的特点.bdbc上面的表述，都是就个案解释除法的意义，均没有呈现现实问题数学化的过程，即没有讨论分数除法与整数除法之间的关联，也没有讨论除法是乘法的逆运算.4结论与启示4.1分数的认识要突出分数单位参考4套教材的表述，关于分数的认识，分多层次多年级进行教学是合理的.无论是哪个层次的教学，都要突出分数单位，这可以为认识假分数做铺垫，与整数和小数的认识保持一致.通过后面讨论可以看到，设计3个层次比较合理.4.2要关注分数与整数除法的关系虽然4套教材都用相当多的篇幅解释分数除法算法的理由，但都没有引导学生认知分数与整数除法之间的关系.事实上，虽然可以把整数除法、分数以及比表示成相同的形式，但3者之间存在本质差异，是需要进行转换的[11].通过后面讨论可以看到，一个合理的方法，应当在学习分数除法运算之前，专门设置“整数除法可以表示成分数形式”这样的教学内容，进而体现分数除法表述的数学化.这是因为，虽然“除以一个分数等于乘以这个分数的倒数”这个算法对分数成立，但首先是对整数成立，即“除以一个数等于乘以这个数的倒数4.3确立倒数概念是必要的人教版教材和加州教材都明确了倒数概念，并且安排一定的课时引导学生理解倒数，这是非常必要的.这不仅是因为分数除法的算法表达中涉及倒数，更重要的，是因为倒数概念使得用乘法运算定义除法运算成为可能，进而使得整数除法可以表示为分数形式，如后面的讨论，倒数可以构建整数除法与分数除法之间的桥梁.5重新构建分数的教学框架基于对4套教材的分析，采纳合理的表述，修订不合理的表述，重新构建分数的教学框架；虽然主要是针对分数认识和分数除法的内容进行阐述,但也涉及到分数教学的其它内容.5.1分数的教学分3个层次本质是理解分数，3个层次依次为：通过情境认识分数；通过加减法认识分数；通过乘除法认识分数.无论是哪个层次，都要突出分数单位，使得无论是分数的认识还是分数的运算，都与整数、小数保持一致，进而让学生感悟数学的整体性，数学不是各说各的理.具体内容安排如下.通过情境认识分数.通过整体等分认识分数，强调分数TOC\o"1-5"\h\z21 1单位，比如-的分数单位是1、表示的是2个1；通过同33 3分母或同分子分数比较大小进一步认识分数单位，但是，同分子分数比较大小必须化为同分母再比较大小，比如，对于11 1 3-与1比较大小的问题,必须化为同样的单位；通过-比6 62-的份数多说明大小关系，这样的教学可以给学生打下深6刻的烙印：只有同样的单位才能比较大小.因此，比较大小的方法与整数或小数的方法是一样的，这就是数学概念的整体性.通过加减法认识分数.为了加法的可能，需要通过分数单位认识假分数，比如-是4个1，因此，第一层次的教33

学要做好铺垫.这个层次的教学，要强调分数的加减法要通

分，再给学生打下深刻的烙印：只有同样的单位才能进行加

减运算.整数或小数的加减运算也是这样，这就是加减运算

的一致性.通过乘除法认识分数.如果理解了分数是分数单位份数的表达，那么容易引导学生知道两个分数乘积的分数单位是两个分数单位的乘积，份数是两个份数的乘积，比如，土乘33 111以3，那么新的分数单位是1X1=—，份数是2X3=6,3515因此才有分子乘以分子、分母乘以分母的算法，即-x-=35M=A=£.事实上，整数或小数的乘法运算也是这样，3X5155比如，20x30=(2x3)(10X10)=600，这样，乘法运算也是一致的.下一个话题讨论分数的除法.5.2讲授分数除法要回顾整数除法理解分数除法的关键是理解“整数除法可以表示为分数的形式”，这个结论似乎是显然的，于是4套教材都是通过除法与分数的意义、或者通过几个具体的例子说明这个结论；事实上，这样的说明是不可以的，因为在本质上分数是一个数而除法是一种运算，因此表达只是形式上的，其中需要一个转换，这个转换就是前面所说的数学化的过程.对于整数a和b，这个结论的原始表达应当是a+b=ax1=-，bb其中第一个等式成立的根据是除法是乘法的逆运算，第二个等式成立的根据是前面反复强调的基于分数单位的分数定义.因此，分数除法教学的关键是说明上式第一个等式成立.为了简单明了，用数字表述推理过程如下.4+3=?o4=?x3。4x1=?x3x133o4x1=?3第一个等价关系成立是根据“除法是乘法的逆运算”，第二个等价关系成立是根据“等式的基本性质”，第三个等价关系成立是因为已经学习了分数的乘法；最后，根据“等量的等量相等”这个基本事实得到结论.这种完全基于符号和基本事实的说明就是数学化的过程.因为在上面的说明中可以把除数换为分数，这样，分数除法运算就是整数除法运算的延伸，这就是反复强调的运算的一致性.然后回归现实，用合适的案例进行说明.可以看到，要实施这样的教学，需要倒数的概念，如前面所强调的那样；此外，还需要低年级的教学有所铺垫，比如，需要逐渐但明确地让学生知道“减法是加法的逆运算”“除法是乘法的逆运算”，事实上，广大的一线教师也是这样教的，比如“算减法想加法”“算除法想乘法”，现在需要用等式明确表达.问题的关键是，小学生是否能够接受这样的说理，或者更确切地说，需要知道这样构想的分数除法的教学效果，研究者进行了相关内容的教学设计，并且进行了教学实验.6分数除法教学的教学实验教学实验的目的是考察上一节设想的教学是否能被五年级学生接受，效果如何.教学实验的对象是东北师范大学附属小学五年级同一位数学教师的两个班级.把其中一个班级设定为实验班，一个班级设定为对照班，学生人数分别为42人和41人.教学实验由研究者本人担当，这样可以忽略教师的差异.实验内容是“分数与除法”教学，对照班按传统的教学方式，利用画图的方式解释除法算式可以用分数表示的道理，观察学生的接受程度和表现；实验班在学生画图理解的基础上，运用逻辑说理的方式解释除法运算的商可以用分数的形式表示，观察学生的接受程度和表现.具体教学设计和效果如下.6.1教学实验设计在进行教学实验前，学生已经学习了分数的意义(一)，都是原数学教师授课.在教学中，把分数的意义从一个物体的整体扩充到多个物体的集合,通过集合中的元素所占比例认识分数，体会单位“1”的不同，以及分数表示量的不同.教学实验分为两个课时，第一课时讲分数的意义(二)，第二课时讲分数与除法，都是教材要求的内容.两个班级的这两个课时都是研究者授课.第一课时强调用分数单位度量和表达分数，让学生进一步感悟分数单位，知道分数表达的是分数单位的份数，比如1 13-表示的是2个1，3个1是3，也是1.引导学生理解分3 33数单位与整数、小数的计数单位类似，都可用来度量和表达数的大小.之所以把第一课时也作为实验的内容，是为了研究者了解两个班级学生数学学习的基础是否相当，也为研究者讲授教学实验的第二课时做铺垫.课堂教学后，提出两个问题对学生理解情况进行简单测试，实验班与对照班解答情况是：实验班第1问正确率为90.48%，第2问的正确率为71.43%；对照班第1问正确率为92.68%,第2问的正确率为70.73%.这两个班级得分率大致相同，因此可以认为，这两个班级学生数学基础相当.第二课时讲授分数与除法，首先让学生经历分物过程，运用不同方法把除法运算结果用分数表示，得到分数与除法的关系.设计3个平均分的问题，背景是分披萨.问题情境分别为“把1个披萨平均分给2个小朋友”“把2个披萨平均分给3个小朋友”“把5个披萨平均分给3个小朋友”，提出的问题都是“每个小朋友可以分得多少个披萨”.可以看到，第1问得到的结果是分数单位，这个结果可以为后面两个问题做铺垫;第2问得到的结果不是有限小数,启发学生思考整数除法与分数之间的关系；第3问作为教学效果的测试题目.6.2教学实验过程对于第1问，两个班级的教学过程是一样的，学生可以2利用画图、除法竖式或分数意义回答，大约-的学生先用3除法得到结果为小数，其中部分学生再把结果写成分数的形式，如图1所示；大约1的学生用画图直接得到分数的结3果.可以看到，虽然还处在具象思维的阶段，但学生能够把

除法的商与分数联接在一起.。硬I的"巳），所以可）表示图1学生完成第1问的情况。硬I的"巳），所以可）表示对于第2问，前半段两个班级的教学过程是一样的.学生普遍认同列算式2+3求解，但因为结果为0.666……,不能用小数精确表示.部分学生在第1问启发下，用画图与文字表述：将第一个披萨平均分成3份，每人分得1个；把3第二个披萨也平均分成3份，又分得1个；这样每个人分3112到1+1=土个，如图2所示.333%I优中宿i，菸衍中辫Hg%）佛彳饱W约初箫i佑，就土免I/】局fefi'X.o...—4-L-dti--MfcTTtl-4^图2学生完成第2问情况后半段教学进入实验阶段，两个班级采用不同的教学方法，教学目的都是让学生理解“整数除法可以表示成为分数的形式对照班教学采用传统的教学方法.利用图式解释，把1个披萨平均分成3份，一份是1个，那么2个披萨就是231 12个1，也就是2x1=-个.因此，除法算式可以表示为3 33212+3=-.然后重新思考第1问，一份是1个1，算式表32示为1+2=1.通过这两个式子得到一般结论：被除数十2除数=被除数，用字母表示为a+b=-（b莉）.除数 b实验班教学采用逻辑说理的教学方法.在学生画图分析的基础上，分析除法算式2+3=?的意义，因为除法是乘法的逆运算，也就是2=?x3；为了知道“？”是多少，联想到13第一课时学习过3个1是3、等于1，因此，在等式左右两33边同时乘以上，于是左边是2x—，右边变成?x3x—=?，333得到2x1=?；根据等量的等量相等的道理，最终得到3122+3=?=2x—=—.然后重新思考第1问，商是331+2=1x-=1.经历了这样的逻辑说理过程，学生恍然大22悟，原来除法运算的商可以表示为分数是可以通过推理得到的.但是不是所有的除法运算都服从这个道理呢，于是引导学生理解一般的表达式a+b=ax1=-，进而理解表达式:bb被除数+除数=被除数（除数部）.除数6.3教学效果分析让学生自己思考第3问，即“把5个披萨平均分给3个小朋友”的问题，希望学生用分数表达除法5+3的商.可以看到，与第2问的不同之处在于，这时用以表达的分数将是一个假分数.对照班大部分学生能够用分数表示商，完成率为68.29%.但许多学生仍然通过画图理解，用5个1相加得-，33而不是直接通过5x1得到分数.通过后面的访谈可以知道,3学生不确信所有的除法运算都可以转化为乘法的计算，因此对假分数形式的分数表达缺乏信心.实验班学生大部分都能用乘法算式表达计算结果，完成率为85.37%.大部分学生对5+3=5x1毫不怀疑，并且能3熟练运用；特别是在学生理解假分数比较困难的情况下，学生也能理解分数作为“数”的表达.说明逻辑说理的方法，对于学生理解整数除法与分数表达的关系是起作用的.实验班学生经历了数学化的过程，通过逆运算理解除法与乘法的关系，得到除以一个数等于乘以这个数的倒数的算法，然后通过具体的例子解释数学结论的现实意义，有利于学生把握算理与算