重难点突破平面向量题型汇编-.27

AA平面向量见题型汇编一利平向待系求数例：

N

CDAM

AB,AD

yA

2

AM

2,1

BN

2{

655变：，．＝二向基定与等,三函相合

22例：

Rt

0

D

BC

AB

AD(

0

A

AD(

14

AD

111AB0222

52变：是aab1

OAbOC

1

OAbOCaOBbOC

a

ab

abbabab1aba

22

变：1OA,OB所COABOC

y______.思方一：考虑值当OAOB,xBOCOAOByxyABCABACBOCOAOBx2..思方二考坐法3A(1,0),(),C,sin.xOA1cosxy2解2函法最

,sin

(1,0)y(,)2

sinsin

3

cos

)

0()解3不式求值

1sin

cos

xyxy)xy22222222221x)3

1xxyx)3

(x)

xyxyx)

思方三考向的量的算解：边乘一向OCyOB

,.

|||

1cosxy212

y

cos(1202sin(

)

30(xy)解5两平法

OCyOB

OCyOB,1xyxy)(y)(x)xy4

2

y()思方四考平四形则COBMCNOA

N

OMCNAOCOMx,|MCy解6利正定

MCsinsinsinOMC

22222222yxsin(6060sin(6060y

30)()

解7利余定|OC

OM|

MC

||1xyxy)xy)

2

(y)(x)4yxy)

变4若、bab

bab

2

2aa

22

、b

ab

b

C=OAaBA=a

b

a

a

ab

a三坐系处平向的量222y3326222y33261.数量积的值问题例：1的ABC

BC,CACE

y

E

E

D

x

D3E

x

3CA,

113x26

E,3BE,

AD

14变：

2BCEFAF2

AE

yDF

D

F

B

B

x28888882888888

A

F

F

y2

2

AB2xFAE

2,12变：PMDABAD

BAD60

D

CPMA

B

AB

AD

xA

BD,

3

3,AP48

7388

53CP,

71353172.

数量积最值问题例：

ab,ba2,a222222

ab

,b

e

,

x

,b

ab

a

3ba

2

a44min

54变7已

ABC

AB

l

AB

P

AC

Q

AP

M

P

M

Q

B

C33xkk3kxy33333333xkk3kxy33333332222lM

AP,:AC

BQ

BC

l方ACP,QBQ可

,AM

l:ykx

33

AB3

x:y

xP:

x

23:3

k

y

k3

CPk3k3BQ

53k3

3kk2k26k3kk23k6163k3k

k

402

AB

3333

14033.数量积的围问题例5如

AC

3,

M,N

AB,

P

1313ABC

PMP

表示，所考虑系处理

从而可得1ANxy2

54

P

M

NACBC2

MP

13xy2

x

31x3y22

54

77,44

变8如

ABCD

O

O

y

xOOPQR

考虑的参数方程（参数的几何意义为圆心角，与角度相联系）

从cos

AQ

2

AQ

cos

2sinsin11sincos221313=cossin222

=

1sin2sin2

0,2

12

2121222222221212222222变9在

AB

OBAPAB11

OP

OA

AB

AB12

AB,122

OA

y2

abxy

2

2

,AB12

AB,,O12

OBOBOB

111OPOPxy244

22

1

2

2

17xy4

2x2ax

22ax

2x

2

y

2

a

2

2

x

2

2

2

2x

2y

2

74

x

2

y

2

72

2

2

四平向的影题1.定值问题例：

b

3,b

析：虑

投为

以需出

a

可由

a

得：ba

3变10：

rr1

MN

AB

AM

AB

MN

AB

AB

AM,AN

AB

AM

NT

,1299AMABAN222AMAN例：ABCBCABC30AD上AD1AM1AM

AD

AD

ADAD

ABC

ADABC

ADAD变11：AM

O的ABACBACM

O

AB

P,Q

AOABAC2

1,AQ2

BC

1122ABACABAC+2222.范围问题例：

O:

2y2

4

AB

OA222OA222

,OBB

D

AB

OBOA

OA

AB

D

OA

maxBCDAOP

AB

OAOA

OA

min变12：

OA

,OB

50

C

AOB

AB

OA

OAOA

OA

MC

OA

OAOD

maxMC

OA

OC

OA

OA

max

AOB

OAOAcosAOB

AB

AB72R2AOB

2111ODONNDOAOAOA722例：2,,DCNAM1DMADDCADDC2AD223AM1DMADDCADDC2AD223

AM

AM

AM

AMAMA边AMA远C投A以

AD,DC

DC2变13：

M,ABBCABC

AN

P

ABC

MP

M

P

B

MP

FE

P

A

MP

AF

RtACN

NE=

55

6AENE5

FM∥

M

AE

,

3355

AN3.综合问题例10：

M

ABC

AC

6,2

AOOC

P

OA

DE

M

D

DQA

P

M

C

P

O

M

B

E

E

DE

DE

EPMDQPEPQ

PE

AOOBAOCOAC

2,OC

P

OA

PEPQ变1：

C

AB

P

AB

I

PC

PAAPAPAPAPAPAPPA10

PAPBPA

BI

AC

BIBAPPDI

I

EA

C

B

A

CFB

PAAB

PAPA

PBPB

BIBA

,

APB

BIBA

APAPAP

,AP

PACAI

AI

PAC

I

APB

PEBIBIBFBAPAPBPDADBEAFBF4

BF

BIBA

BF222222五几法理面量模例11：

,b

45

2a

2,B

4

,AC10

可

BC

ABBCcosB

10BC

4

2

2

变15：

c

bc

2

5

2

5

,

,

b

aa,

60

C44变16：

,b

b2

b

aAB2ACb

bBCCA,

5,b

b

b

max

min例12：

,b

ab3

a

行

ABD

b

3

,

4

ADB6ADsin33

变17：

ABC

6

,AB3,

D

AB

O

ABC

3OAOBDODO

OA

OAOBOAOBCBOB∥OE,11ODOE26

13

CB

222222例13：

,b

,b

c

|cb|2

c

a

2b

3

m

m

c

m

2b

2A变18：

a,c

a,b

60

c

a

a,b

cos

1120b

件，

AB,ADAC

,a

DCB60

DCB

A,BC,D

ABCD

ABD

ABD

BDABADcos

BD

d

BDBAD

221213max变19：

12032AC132AC1

CD

BCD

CDBCCDBC2DBCsinDBCDBCC3

DBC0,

0,1

23sinDBC六平向与角的心

ABC

OAOB

OBOC

O

ABC

是

ABC

OP

AP

ABC

ABC

H

ABC

OPOA

AC

(

AP

PB

PC)PB

1.三角形重与向量例14：

ACAB为ABCAG

AG

13

·G

B

C3ACACACAC

13

2变20：

是是PABsinB

的

ABsin

ACsin

ABsin,

D

OA

ABk

kk

P变21：

两AMxANAC

O

AB

OCnOB

AB,C

AGmAM

G

AG

13

(AC

AG

11x33

13n

xy1xy

2.三角形垂与向量例15：

O

P

11OAOB22

ABP

11MOAON，NAB的NM22113OPOC2

2OPOMOC

2OPOCOMPMCP

C,M

MP

MC

ABC

例1：

(PA)

ACAC

|AB|PCBCPACAP

()OBOC)OC)0

ABC

PBPCP

(

||cosAC|

)

BC的

|AB|PCBCPACAPABC)(||

BAC的

()OBOC)OC)0OCOA

2

2

OC

2

O

ABC

变2：

OAOCNBNC0

PC

依（外外内内垂ABACBACAOBOCABACBACAABACBACAOBOCABACBACA

，，

ABC

GAGC

G

ABC2ABC

MAMBMCM3

G

ABC

GAGB

4ABC

变2：

AP

P

ABC

P

ABC

52

P

ABC

P

ABC

5

CO422ABBCCO422ABBC

APr

AP

D

r

r

AC

r

r

DDEDF,ABAE

AF

CDFDCBABAB

AFACDB

PABCDBCPABC

BACD分的

CDDBAB2

ABC

D

ABCOB

AB

AP

55ABAC6

B3.三角形外与向量例1：

ABC

ABCBCA

BCABC

AB

CBCPCA

ABPB

为

ABPD

BC

的

2222为与P

ABC

变24：

ABCABAO

O

OE

,AC

,F

AB

AEAO

ABAO

AB

ABAO

18

ACAO

AD

AO

变25：

ABC

COxCA

xy

．

COxCA

xCA

1xCAyCBCA2

11510CByCB,,xy229变26：

O

ABC60

．为

60

22AC22AC

13,C(2

），

13BA,,BO

BO

{

{

12

1

14

213

234.三角形内与向量例18：

是是POA

ABAC

0,

的变27：

ABCA4sin

OABC

C

C5sin

cC

变28：

ABC

AB

BC

AC

O

ABC

IOAOB1

IOBOC2

IOCOA3

II3

1

II1

3

III31

2

III2

1ABCABC

bOB

ABC

AB

BC

AC

O

ABC

OC

OAOAAC

OA

4299

OBBAOB

OB12214112323OB12214112323ABBCAC39OCCAOCOC

OC

ACBCACAC3999

4IABABAC999

20242162ABABAC818181818172014304IABABACAB8181814716214160IABACABABABAB99818181

BAC

BA

2

22112BA

ABBAC

112

I1

1621127130411135160201110II818123818116281

I3

1七平向的围值题1.面向量数积的范、最值问题b

和ba

a

a

ayybyy例1：

AOB

AOB

AB

OP

,,PM

22

32

1

例20：

ABCD

AD

M

N

BC

BMBC

CNCD

AM

．变29：

C(2

P

4

作B，294294

3[,2

2

22

569

56

(xy(1,0),|PA

PC

2

1x4

sin

11cos2|PC|44

x2

t

1x(x4)4

2

PAPA22

(t2)2t2,(PA)t2)

max

22

569

变3：

ABCAC

(2AB

f(

2

AB

4(2

2

A2cosA

A

A

f(

16(2

1)]22

23

2

(0,0)

C(0,2)

(x(04)

PC2)

PB(4)(2)

2

Af(

1A)2

2

]

123

(0,0)

B(4,0),3)

(x(04)

,

5PB()2

94

x

5924

2.平面向量的取值围、最值问

x,)，a

ax

例21：

,b

ab

c

a,ABa)

||a

228842BA

515O24变31：

6

,bc

22

4

(c)

c

OB,

所

4,b2,

ab

4

A

(

2C的的

(34)

2

2

2变32：

ab

3

b

x

ba

a

at2

2448844888824488448888

tbtb

a2

3t

t2tt

14

22

3t,N,

2

M,P,

2MN

33

723.平面向量角的取范围、最值题

a,)1

bx)

cos

1

x12x1例22：

,b

b

f(x)

11x3a232

f

'

2

axa和b

f

aa

0cos

,ab2xab2x变33：

ab2

|b|2

与b

a

2

a

cosa,

,3变34：

rrrrrrrb|a|=2f(x)=2x+3|a|x2+6aR

rra,

πππππ]]][,]6444.平面向量数的取范围、最值题例23：

103

ab与

101063

11331133例24：

ACM,

x,y

3x

，MG，AMAG）

G是ABC重心，11（AB）（ACABACAB）33{

1＝31＝3

，3y

1xy2

3，（

1，）2

x

11，y；3

3

4n1mn3

m

33

,n

变35：

G

G

AB

,N

xyAC

xy

M,N,G

MGAM

G

AG

13

2213113

1x2

2

3x

323

3y

232,y3变3：

ABCDABD是

AD

CCDxBC所

y

CP

APACsin3,APACsin3,

3

AD

{

33

{

3311sin262

cos

333393sin=626

966八共定的用例25：

a,b

ABC

或

AB,C

D

.例26：

M

BC

N

AM

AN

13

NM

(

)

AN

11NMANAM34

(

)

4ABAC

B,MC4

14变37：

AN

12,AP39

a(0)

y

,BC

11ANNCAC，AC