08级高数II(A)（B卷答案）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——08级高数II(A)（B卷答案）(密封线内不答题)………密………………封………线……姓名:学号:系别:年级专业:东莞理工学院（本科）试卷（B卷）

2023--2023学年其次学期

《高等数学(A)II》试卷（答案）

开课单位：数学教研室，考试形式：闭卷，允许带计算器、尺规入场

题序得分评卷人一二三四总分一、选择题（共27分每题3分）

1．设两平面的法向量分别是n1??a1,b1,c1?，n1??a2,b2,c2?，则这两平面垂直的充要条件是（C）

_____________________（A）a1a2?b1b2?c1c2?1（B）a1a2?b1c1?b2c2

（C）a1a2?b1b2?c1c2?0（D）a12．设一直线过点（3，-1，2）且平行于直线

a2?b1c1??1b2c2x?3z?1?y?，则该直线的43方程是（A）

x?3y?1z?2x?3z?1???y?（A）（B）41343x?4yz?3x?4z?3???y?（C）（D）3?12433．yoz平面上曲线z?y2绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为

(B)

（A）z?y2?1（B）z?y2?x2（C）z?y2?x2?1（D）z?y2?x

4．二元函数z?y?x的定义域为（A）

《高等数学(A)II(本科)》试卷第1页共8页

（A）?(x,y)|y?x,x?0?（B）?(x,y)|x?1?0?

（C）?(x,y)|y2?x?（D）?(x,y)|x?0,y?0?

5．交换积分顺序：

11?10dx?f(x,y)dy=（B）

x1（A）?0dy?yf(x,y)dx（B）?0dy?0（C）?0dy?11y1yf(x,y)dxf(x,y)dy

f(x,y)dx

（D）?0dx?11x6．空间闭区域?由曲面x2?y2?z2?1所围成，则三重积分（D）

（A）3（B）2?（C）4?（D）4?

37．函数z?z(x,y)由方程x2?y2?z2?4z?0所确定，则

???3dv=

??z=（A）?y（A）（C）

?y2?z（B）（D）

x2?y

z2?zx2?zxn8．幂级数?n的收敛域是（D）

n5n?1（A）（C）

??5,5?（B）?0,5?

??5,5?（D）??5,5?

1，则它的通解39．已知微分方程y???2y??3y?3x?1的一个特解为y*??x?是（A）

1（A）C1e3x?C2e?x?x?（B）C1x?C2x2?xex

31（C）C1x?C2x2?ex（D）C1ex?C2e?x?x?

3二、填空题（共15分每题3分）

《高等数学(A)II(本科)》试卷第2页共8页

1．曲面x2?y2?z在点(0,1,1)处的切平面的方程是2Y?z?1?0．2．若级数

?un收敛，则数列?u?当n??时的极限是?n?1n?0．

sin2n3．级数?2的敛散性是收敛（或绝对收敛）．

nn?14．二元函数f(x,y)?(x2?y2)sin1。

y5．微分方程y'??1的通解为_x1，当?x,y????,??时的极限等于

x2?y2cxy??)____________．

x2三、解答题（共54分每题6分）

1．设平面过点(1,2,1)且垂直于两平面

?1：x?2y?z?0?2：x?y?z?0

求此平面的方程．

解：设所求平面的法向量为n，则n?1???i1?j?21?k1??1,2,3?(4分)?1所求平面方程为x?2y?3z?8(6分)

2．求两个底圆半径都等于2的直交圆柱面所围成的立体的体积。解：设两个圆柱面的方程分别为

x2?y2?4x2?z2?4（2分）由于对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积V1，然后再乘以8即可。

2V?4?xdxdy1??（4分）

D《高等数学(A)II(本科)》试卷第3页共8页

??20?4?x2?24?xdy?dx（5分）??0??128（6分）3?163从而所求立体的体积为V?8V1?

22v3．设z?ue，而u?x?y，v?xy，求dz．

解：

?z?z?u?z?v?????ev?2x?uev?y?exy(2x?x2y?y3)?x?u?x?v?x(2分)

?z?z?u?z?v?????ev?2y?uev?x?exy(2y?x3?xy2)(4分)?y?u?y?v?ydz?exy(2x?x2y?y3)dx?exy(2y?x3?xy2)dy(6分)

4．计算三重积分???x2?y2dv，其中?是曲面z??x2?y2

及平面z?1所围成的区域（提醒：利用柱面坐标计算）．

解：?:r?z?1,0?r?1,0???2?(2分)

????x2?y2dv??d??rdr?rdz（5分）

00r2?11?

?6（6分）

《高等数学(A)II(本科)》试卷第4页共8页

5．求内接于半径为a2的球而体积为最大的长方体的体积。

解：设长方体的长、宽、高分别为2x,2y,2z，则题设问题归结为约束条件?(x,y,z)?x2?y2?z2?a2?0

下，求函数V?8xyz（x,y,z均大于0）的最大值。（2分）

作拉格朗日函数

L(x,y,z,?)?8xyz??(x2?y2?z2?a2)（4分）由方程组

?LX?8yz?2?x?0??Ly?8xz?2?y?0（5分）

??Lz?8xy?2?z?0进而解得唯一可能的极值点x?y?z?3a3由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为V?

6．计算曲线积分??ydx?2xdy，其中L是由点A(a,0)到点O(0,0)的上半

L33a（6分）9aa圆周(x?)2?y2?()2的有向弧段．

22解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭

区域记为D，根据格林公式（2分