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本文格式为Word版,下载可任意编辑——2023离散数学a(答案)2023年下半年《离散数学》(闭卷)70学时

离散数学(A卷)

闭卷、70学时

一、填空选择题(每空1分,共26分)

1、给定命题公式如下:p?(q??r)。该公式的成真赋值为A,成假赋值为B,公式的类型为C。

供选择的答案

A:①无;②全体赋值;

③010,100,101,111;④010,100,101,110,111。

B:①无;②全体赋值;③000,001,011;④000,010,110。C:①重言式;②矛盾式;③可满足式。

(?x)(P(y)?Q(x,y))?(?y)R(x,y)中,?x的辖域是P(z)→Q(x,z),2、在公式

?y的辖域是R(x,z)。

3、设Z+={x∣x∈Z∧X>0},π1,π2,π3是Z+的3个划分。

π1={{x}∣x∈Z+},π2={S1,S2},S1为素数集,S2=Z+-S1.π3={Z+},(1)3个划分块中最多的是A,最少的是B.+++

(2)划分π1对应的是Z上的C,π2对应的是Z上的D,π3对应的是Z上的E.供选择的答案

A:(①),B:(③)①π1,②π2,③π3.C:(⑧),D:(⑨),E:(⑤)

④整除关系;⑤全域关系;⑥包含关系;⑦小于等于关系;⑧恒等关系;⑨含有两个等价类的等价关系;⑩以上关系都不是。

x?3xf(x)?{4、设f:R→R,g:R→R,g(x)=x+2,则f°g(x)为?2x?3f(x)?{(x?2)?222?2x?3x?1xf(x)?{,g°f(x)为,g°f:R→R0x?3x?12是A,f-1B,g-1C.供选择的答案

A;①单射不满射;②满射不单射;③不单射也不满射;④双射;B:(①),C:(②):①不是反函数;②是反函数;

任课班级:114051-4、111051-2任课教师:孙明

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2023年下半年《离散数学》(闭卷)70学时

5、①设G={0,1,2,3},若⊙为模4乘法,则构成A.②若⊕为模4加法,则是B阶群,且是C。G中的2阶元是D,4阶元是E。供选择的答案

A;①群;②半群,不是群;B:③有限;④无限。

C:⑤Klein四元群;⑥置换群;⑦循环群;D(⑩),E(⑨):⑧0;⑨1和3;⑩2。

6、设(A,∨,∧)是代数系统,二元运算∨和∧对于A是封闭的。假使对于A中任意的元素a,b,c满足交换律、结合律和吸收律,则称(A,∨,∧)是格。

7、6个顶点11条边的所以可能的非同构的连通的简单的非平面图有

4个,其中有2个含子图K3,3,有2个含与K5同胚子图。

二、计算题:(每题5分,任选6题,共30分)

321、计算幂集P(A)。A?{xx?R?x?2x?x?2?0}

答:P(A)={ф,{-1},{1},{2},{-1,1},{-1,2},{1,2},{-1,1,2}}

2、设S={1,2,3,4},R是S上的二元关系,其关系矩阵为?1001??1000?求①R的关系表达式。

?R??②domR=?,ranR=?

?0001?③R°R中有几个有序对????1000?④R-1的关系图中有几个环?

答:①关系表达示:{,,,,}

②domR={1,2,3,4},ranR={1,4}③7④1

3、S=Q╳Q,Q为有理数集,*为S上的二元运算,任意,,

∈S有*=①*运算在S上具有哪些主要性质;

②*运算有无单位元,零元?假使有请指出,并求S中所有可逆元素的逆元。

答:*运算不是可交换的;可结合的;在a=0且b∈Q或者〈1,0〉时满

足幂等律。〈1,0〉为*运算的单位元。对任意〈a,b〉∈Q×Q,只要

a0都存在逆元;不存在零元。

任课班级:114051-4、111051-2任课教师:孙明

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2023年下半年《离散数学》(闭卷)70学时

4、有向图D如图1-1所示,

求D中长度为4的通路总数是多少?

并指出其中有多少条是回路?

图1-1

?0?0答:A???0??0?0?4?0A=?0??000003123200011010?0??A2=1??1??0?0??0??0000020231?1??A3=1??2??0?0??0??0000011123?1??2??3?4?2??从A4可看出,D中长度为4的通路有23条,其中7条为回路。3??5?5、当n和m为何值时,完全二部图Kn,m是

①欧拉图;②哈密顿图;③平面图;④非平面图。

答:①n和m都是正偶数;②n=m且n>=2;③n=3,m>=3

6、设无向树T由7片树叶,其余顶点的度数均为3,求T中3度顶点数,能画出几棵具有此种度数的非同构的无向树?

答:T中有5个3度顶点。设T中有x个3度顶点,则T中的顶点数n=7+x,边数m=n-1=6+x,由握手定理的方程2m=12+2x=3x+7,解出x=5,T的度数列为1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3。有两棵非同构的树。

7、在图1-2所示的无向图G中,黑线边所示的子图为G的一棵生成树T,求G的对应于T的基本回路系统。

对应生成树的弦分别为e6,e7,e8,e10,e11。

设它们对应的基本回路分别为C1,C2,C3,C4,C5,从对应的弦开始,按逆时针(也可都按顺时针)的顺序写出它们,分别为

C1=e6e4e5C2=e7e2e1C3=e8e9e2e1C4=e10e3e5e2C5=

e11e3e5e2e9

此图的圈秩为5,基本回路系统为{C1,C2,C3,C4,C5}。

任课班级:114051-4、111051-2任课教师:孙明

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2023年下半年《离散数学》(闭卷)70学时

三、证明题(每题6分,任选4题,共24分)

1、设H1和H2是群的两个互不包含的子群,证明G中存在一个元素,

它既不属于H1,也不属于H2。

证明:由于H1?H2,所以存在a∈H1,且a?H2,又由于H2?H1,所以存在

b∈H2,且b?H1,显然a*b∈G,由于a∈H1,是的子群,可推出b∈H1,这与b?H1矛盾。同理可证,a*b?H2

2、证明欧拉图中必没有割边。

证明:主要利用“无向图中,奇度顶点的个数为偶数〞这一结论用反证法,设欧拉图中含有割边。由于欧拉图中每一个顶点的度数为偶数,所以割边的两个端点也是偶数度顶点。删去割边后,构成两个连通分支,每个连通分支都含有割边的一个端点;此时每一个连通分支中仅有一个奇数度顶点,这与已知矛盾。所以,欧拉图中没有割边。

3、设是格,任取a∈L,令S={x∣x∈L∧x≤a}

证明是L的子格。

证明:对于任意的x,y∈S,必有x?a和y?a,所以x∨y?a,x∧y?a,故x∨y∈S,x∧y∈S,因此是的子格。

4、设G是6阶无向简单图,证明G或它的补图中存在3个顶点彼此相邻。证明:设6个顶点的简单图为G,考察G中的任意一个顶点a,那么,另

外5个顶点中的任何一个顶点,要么在图G中与a邻接,要么在图G’中与a邻接。这样,就把5个结点分成两类,将会必有一类至少含有三个顶点。不妨假设其中的3个顶点为b,c,d。该图必是图G*的子图(这里图G*可能是G或者是G’)。假使边(b,c),(c,d),(b,d)中有一条边在G*择优3个顶点邻接。假使边(b,c),(c,d),(b,d)都不在G*中,那么必在G*的补图(或是图G’或者是G)中,因此,必有3个顶点邻接。

5、设n阶m条边的平面图是自对偶图,证明m=2n-2.证明;设G*图是G的对偶图,所以G必为连通的平面图,且n*=r,m*=m,r*=n

于是n=n*=r,由欧拉公式可知,n-m+r=2=n-m+n得m=2n-2

6、验证K5和K3,3都是微小非平面图。答:画图举例。

四、应用题(每题10分,共20分)

1、在自然推理系统F中,证明下面推理:每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车。每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。有的人不喜欢乘汽车。所以有的人不喜欢步行。(个体域为人类集合)。解:设P(x):x喜欢步行;Q(x):x喜欢乘汽车;R(x):x喜欢骑自行车;此题符号化为前题:?x(P(x)→┐R(x)),?x(R(x)∨Q(x)),?x┐Q(x)结论:?x┐P(x)①?x┐Q(x)前提引入②?x(R(x)∨Q(x))前提引入

任课班级:114051-4、111051-2任课教师:孙明

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2023年下半年《离散数学》(闭卷)70学时

③┐Q(c)①EI规则

④R(c)∨Q(c)②UI规则

⑤?x(P(x)→┐R(x))前提引入⑥P(c)→┐R(c)⑤UI规则⑦R(c)③④析取三段论⑧┐P(c)⑥⑦拒取式⑨?x┐P(x)⑧EG规则

2、今有n个人,已知他们中的任何二人和起来认识其余的n-2个人。证明:当n≥3时,这n个人能排成一列,使得中间的任何人都认识两旁的人,而两旁的人认识左边(或右边)的人。而当n≥4时,这n个人能排成一个圆圈,使得每个人都认识两旁的人。

解:设n个人分别为V1,V2,V3,?,Vn,?V={V1,V2,V3,?,Vn}为顶点集。若Vi

与Vj认识,就在代表它们的顶点间连一条无向边,得边集E,于是的无向简单图G=。对于任意Vi,Vj∈V,假设Vi与Vj不相邻,则对任意Vk∈V,(ki,kj)必与Vi或Vj相邻。否则与已知条件矛盾。不妨假设,VK与Vi相邻,与Vj不相邻。那么Vk与Vi所代表的两个人都不认识Vj所代表的人,这与已知矛盾。所以VK与Vi相

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