2023年高二理科数学寒假作业

本文格式为Word版，下载可任意编辑——2023年高二理科数学寒假作业2023年汨罗四中高二理科数学寒假作业（1）正、余弦定理

o1、在?ABC中，A?60，a?43，b?42，则B等于()A.45oB.135oC.45o或135oD.以上答案都不对

2、?ABC中，若a?1,c?2,B?30?，则?ABC的面积为（）

A．

13B．C．1D．322

3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．

441515B．—C．D．—

551717

222

4、在△ABC中，sinA≤sinB+sinC﹣sinBsinC，则A的取值范围是()A．（0，

]B．[

，π）C．（0，

]D．[

，π）

5、在△ABC中，a?33,c?2,B?150°，则b＝__________.

6、在?ABC中，B?45?,C?60?,c?1,则最短边的边长等于__________.

7、在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知b=则角A=．

8、如图，在△ABC中，已知B=AB=．

c，sinA+sinC=sinB，

，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则

1

9、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC＋ccosA＝2bcosA．（1）求角A的值；

（2）求sinB＋sinC的取值范围．

??10、设△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．平面向量m=（cosA，????????cosC），n=（c，a），p=（2b，0），且m2（n-p）=0

（1）求角A的大小；

（2）当|x|≤A时，求函数f（x）=sinxcosx+sinxsin（x-

?）的值域．62

高二理科数学寒假作业（2）解三角形

1、在?ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若

a2?b2?3bc,sinC?23sinB，则A=（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

2、在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b2tanA?a2tanB，则△ABC的形状是（）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

3、已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且

2S??a?b??c2,则tanC等于（）

2A．

3443B．C．?D．?4334

4、两灯塔A,B与海洋观测站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A,B之间相距（）

A．a（km）B．3a（km）C．2a（km）D．2a（km）

5、?ABC中，若面积S?

3ab，则角C?___________.46、在?ABC中，D为BC中点，?BAD?45?,?CAD?30?,AB?2,则

AD=__________.A

DCB

222

7、已知△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，若a=b+c﹣bc，bc=4，△ABC的面积为．

8、在△ABC中，

，B=60°，BC边上的高，则BC=

3

9、在△ABC中,已知2sinBcosA=sin(A+C)(1)求∠A;

(2)若BC=2,△ABC的面积是3,求AB.

10、在锐角?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且3a?2csinA（1）求角C的大小；

（2）若C?7，且?ABC的面积为332，求a?b的值．

4

高二理科数学寒假作业（3）等差数列

1、在等差数列?an?中，a2?2，a3?4,＝（）

A．12B．14C．16D．18

2、等差数列?an?中，a1?1,d?3,an?298时，则序号n等于（）A．99B．100C．96D．101

23、等差数列?an?中，且b7?a7，则b6b82a3?a7?2a11?0，数列?bn?为等比数列，

的值为（）

A．4B．2C．16D．8

4、已知数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tan（a2+a12）的值为()A．﹣

B．

C．

D．﹣

5、在等差数列中已知d??，a7=8，则a1=__________.

6、在等差数列?an?中，a3?a9?4,则前11项的和S11＝．

7、在等差数列?an?中，若a3和a9是方程x2?4x?3?0的两根，则a6的值是

8、数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝__________．

5

13

9、已知等差数列?an?的首项a1?1，公差d?1，前n项和为Sn，

b1n?S，（1）求数列?bn?的通项公式；（2）设数列?bn?前n项和为Tn，求Tnn

10、已知等差数列?an?的前n项和Sn满足S3?0，S5??5．（1）求?an?的通项公式；（2）求数列??1??的前n项和．

?a2n?1a2n?1?

6

高二理科数学寒假作业（4）等比数列

1、已知等比数列?an?中,a5?4,a7?6,则a9等于()A.7B.8C.9D.10

2、在等比数列?an?中，a2?8，a5?8，，则公比q为（）A．2B．3C．4D．8

3、已知正项数列?an?为等比数列，且a4是2a2与3a3的等差中项，若a2=2，则该数列的前5项的和为（）A．

4、已知在等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=，则等比数列{an}的公比q的值为()A．B．C．2D．8

5、若数列{an}满足：a1?1,an?1?2an(n?N?)，则前6项的和S6?.（用数字作答）

6、在等比数列{an}中,若a3,a9是方程3x2?11的两根,则a6的值x?9?0是.

7、已知数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，n?N*，且a1?a2?a3?3，

3331B．31C．D．以上都不正确124a4?a5?a6?6，则S12?．

8、等比数列

?an?的各项均为正数，且a1a5?4，则

log2a1?log2a2?log2a3?log2a4?log2a5=.

7

9、已知数列?an?的通项公式为an?pn?q（p,q?R），且a1＝－（1）求?an?的通项公式；（2）?13，a2＝－．24255是否为数列?an?中的项，若是，是第几项？若不是请说明理由。256（3）该数列是递增数列还是递减数列？

10、等差数列{an}满足:a1=1，a2+a6=14；正项等比数列{bn}满足:b1=2，b3=8.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn；（2）求数列{an2bn}的前n项和Tn．

8

高二理科数学寒假作业（5）数列综合

1、1，3，7，15，()，63，222，括号中的数字应为()A.33B.31C.27D.57

2、数列3,3,15,21,33,?,则9是这个数列的第()A.12项B.13项C.14项D.15项

3、数列1，

23，35，47，5a9，的一个通项公式n是（）A．n2n?1B．nnn2n?3C．2n?1D．

2n?3

4、数列?a1n?满足a1?2，an?1??a?1，则a2023等于（）nA．2B．?1C．?332D．1

5、数列{an}满足a1?0,an?1?an?n,那么a100的值是。

6、数列数列﹣3，5，﹣7，9，﹣11，??的一个通项公式为．

7、设数列{an}中,a1?2,an?1?an?n?1，则通项an=_____．8、已知?an?满足a1?1,an?2an?1?1(n?2)，则

?n?__________．

9

9、在数列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N*．（1）证明数列?an?n?是等比数列；（2）求数列?an?的前n项和Sn；

（3）证明不等式Sn?1≤4Sn，对任意n?N*皆成立．

10、已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足an?（1）求数列?an?的通项公式；（2）若bn?log2an，cn?1Sn?1（n?N?）.21，数列?cn?的前n项和为Tn，求Tn的取值范围.

bn?bn?210

高二理科数学寒假作业（6）不等式（一）

1、以下不等式结论成立的是（）

A．a?b?c?d?a?c且b?dB．ac2?bc2?a?bC．

cb??ab?cdD．a?b?a?bad

2、假使a、b、c满足c?b?a，且ac?0，那么以下选项不恒成立的是（）A．ab?acB．cb2?ab2C．c?b?a??0D．ac?a?c??0

3、不等式(x?1)2?4的解集是（）

A．x-1C．x3D．-18、若命题“存在x?R，使得2x2?3ax?9?0成立〞为假命题，则实数a的取值范围是．

29、已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x0∈R，x0＋2ax0＋2－a＝0．若

命题“p∧q〞是真命题，求实数a的取值范围．

10、设命题p：a?yy??x2+2x?8，命题q关于x的方程x2?x?a?0的一根大于1，另一根小于1，命题“p?q〞为假命题，命题“p?q〞为真命题，求实数a的取值范围

16

??高二理科数学寒假作业（9）椭圆

1、已知椭圆的两个焦点是(?3，0)，(3，0)，且点(0，2)在椭圆上，则椭圆的标准方程是（）

x2y2??1A.

134x2y2??1C.

413

x2y2??1B.94x2y2??1D.

1342、椭圆16x2?25y2?400的长轴和短轴的长、离心率分别是（）

3A．10，8，

5

443，

B．5，4，C．10，8，5D．5，4，5

5

1x2y2??1的离心率为，则m=（）3、已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆

22mA．

382338B．C．或D．或233823

x2y24、已知椭圆??1的左、右焦点分别为F1，F2，点?在椭圆上，若F1，F2，?169是一个直角三角形的三个顶点，则点?到x轴的距离为（）A．

9997B．3C．D．547x2y2??1的四个顶点，得到的四边形面积等于__________.5、顺次连接椭圆

2516

x2y26、若椭圆??1的焦点在x轴上，则k的取值范围为__________.

1?k2?k

x2y27、若椭圆2?2?1(a?b?0)经过点P(0,3)，且椭圆的长轴长是焦距的两

ab倍，则a?．

17

x2y28、如图，设椭圆??1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于

167A、B两点，若?ABF2的内切圆的面积为?，设A、B两点的坐标分别为

A(x1,y1)、B(x2,y2)，则|y1?y2|值为．

5??9、求过点??15,?且与椭圆9x2?4y2?36有一致焦点的椭圆方程.2??

x2y210、椭圆C：2?2?1(a?b?0)的两个焦点和短轴的两个端点都圆x2+y2=1上．

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若斜率为k的直线经过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点，试探讨k为何值时，OA⊥OB．

18

高二理科数学寒假作业（10）双曲线

x2y2??1的渐近线方程为（）1、双曲线

44A．y??4xB．y??22xC．y??2xD．y??x

2、双曲线2x2?y2?8的实轴长是（）A．2B．22C．4D．42

4x2y23、已知双曲线2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线方程为y?x，则双曲

3ab线的离心率为（）A．

5453B．C．D．3342

x2y24、设F1，F2是双曲线C:2?2?1（a?0，b?0）的两个焦点，?是C上一点，

ab?C的离心率为（）若?F12的最小内角为30，则1??F2?6a，且??FFA．2B．22C．3D．

433y2x2??1上一点P到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的5、双曲线

169距离是__________．

x2y26、设m为常数，若点F(5,0)是双曲线-?1的一个焦点，则m=__________.

9m

7、已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则

m=．

19

x2y28、如图，F1、F2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，过F1的直线l与

ab双曲线的左右两支分别交于点A,B．若?ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为_____________

x2y2??1表示焦点在x轴的双曲线，命题9、已知命题p:m?37m?3q:f(x)?(5?2m)x是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围.

10、在平面直角坐标系xOy中，已知两点F1(-6，0)，F2(6，0)，点P位于第一象限，且tan∠PF1F2=

，tan∠PF2F1=2.

(1)求以F1，F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程.(2)求以F1，F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程.

20

高二理科数学寒假作业（11）抛物线

1、抛物线x2?y的准线方程是（）A．x?

2、顶点为原点，焦点为F(0,?1)的抛物线方程是（）

A．y2??2xB．y2??4xC．x2??2yD．x2??4y

3、已知F是抛物线y2?x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，AF?BF?3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．

4、过点A(?2,3)作直线与抛物线y2?8x在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则直线BF的斜率为（）

1111B．y?C．x??D．y??2442357B．1C．D．444

2334B．C．D．A．3243

5、抛物线y2?8x的焦点到准线的距离是__________.

6、抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝43，则焦点F到直线AB的距离为______．

7、已知点P为抛物线y?12x上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是2(6,

17)，则PA?PM的最小值是______________．221

8、已知抛物线C：y2?2px(p?0)的焦点为F，过点F倾斜角为60o的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则

9、求过点(0,1)的直线,使它与抛物线y?2x仅有一个交点.

10、如图，已知直线l：y?2x?4交抛物线y2?4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△ABP的面积最大，并求这个最大面积．

22

2AF的值等于．BF高二理科数学寒假作业（12）空间向量及其运算????????1、已知AB?(?1,2,0),CD?(x,?2,3)，若AB?CD，则x?（）

A．1B．4C．-1D．-4

2、以下命题中正确的是（）

A．若a//b，b//c，则a与c所在直线平行B．向量a、b、c共面即它们所在直线共面C．空间任意两个向量共面

D．若a//b，则存在唯一的实数?，使a??b

3、已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且AB?26,则实数x的值是（）A．?3或4B．?6或2C．3或?4D．6或?2

4、已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）

A．2B．3C．4D．5

5、在空间直角坐标系中,已知点A在z轴上,点B的坐标是(2,1,-3),且|AB|?3,则点A的坐标是______.

6、若A(m?1,n?1,3)，B(2m,n,m?2n)，C(m?3,n?3,9)(m,n?R)三点共线，则m?n=

????7、若a?(1,1,0),b?(?1,0,2),则与a?b同方向的单位向量是________________

8、如图，点M为OA的中点，以{则实数对(x，y，z)＝________.

23

，，}为基底，＝x＋y＋z，

9、如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB?5，AD?3，AA1?4，

?，E是CC1的中点，设AB?a，AD?b，?DAB?90?，?BAA1??DAA1?60AA1?c．

???????（1）用a,b,c表示AE；

（2）求AE的长．

A1D1C1B1EDCABN分别是A1B、B1C1上的点，且BM?2A1M，10、三棱柱ABC?A1B1C1中，M、????????????C1N?2B1N．设AB?a，AC?b，AA1?c.?????（1）试用a,b,c表示向量MN；

?（2）若?BAC?90?，?BAA1??CAA1?60，

AB?AC?AA1?1，求MN的长.

24

高二理科数学寒假作业（13）向量在立体几何中的应用（一）

1、正四棱柱??CD??1?1C1D1中，??1?2??，则CD与平面?DC1所成角的正弦值等于（）A．

1223B．C．D．

33332、如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．C．

1015B．5542D．53

3、已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的正弦值为()A．B．

C．

D．

4、长方体ABCD?A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E,使得?C1EB?90?,则侧棱AA1的长的最小值为（）

A．aB．2aC．3aD．4a

5、已知点A、B、C的坐标分别是(0，1，0)、(－1，0，1)、(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若

⊥

，

⊥

，则点P的坐标为________．

6、如下图，AO⊥平面α，BC⊥OB，BC与平面α的夹角为30°，AO＝BO＝BC＝a，则AC＝__________．

7、如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BC?AA1，

?ABC?90?，则直线AB1和BC1所成的角是．

25

8、已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为．9、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，求证：OA1⊥AM.

10、如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2,AD=3,E为CD中点，三棱锥A1-AB1E的体积是6.

(1)设P是棱BB1的中点，证明：CP//平面AEB1;(2)求AB的长；

(3)求二面角B—AB1-E的余弦值.

26

高二理科数学寒假作业（14）向量在立体几何中的应用（二）

?1、若P是平面?外一点，A为平面?内一点，n为平面?的一个法向量，则点P

到平面?的距离是（）

?????PA?nPA?nPA?n?????A．PA?nB．???D．?C．PAnPAn2、空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB

与CD的位置关系是（）

A．垂直B．异面C．平行D．相交但不垂直

3、已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()

A.B.C.D.

4、正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()

5、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，假使B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．

6、正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如上图)，M为矩形AEFD内一点，假使∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF

1所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为

2

7、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为.

27

8、在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G与E

分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为______．

CE//BD，?ECB?90?，AC?9、如图，四棱锥A?BCED的底面BCED是直角梯形，

平面BCED，CE?CB?CA?2，BD?1．（1）求直线CA与平面ADE所成角的正弦值；（2）在线段ED上是否存在一点F，使得异面直线

26？若存在，试确定13点F的位置；若不存在，请说明理由．

10、等腰梯形ABCD，AB∥CD，DE⊥AB，CF⊥AB，AE=2，沿DE，CF将梯形折叠使A，B重合于A点（如图），G为AC上一点，FG⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥AF；（Ⅱ）求DG与平面ACE所成角的正弦值．

CF与AB所成角余弦值等

28

高二理科数学寒假作业（15）导数的运算

1、若f(x)?x3,f?(x0)?3,则x0的值为（）A．1B．－1C．1或－1D．3或－3

2、若f(x)?x???x??lnx，则f'(x)??的解集为()A.(?,??)B.C.(?,??)D.(-?,?)（-?，?）?（?，+?）

3、已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=()A．﹣eB．﹣1C．1D．e

4、函数f(x)的定义域为R，f(-2)=2023，对任意的x?R，都有f?(x)?2x成立，则不等式f(x)?x2?2023的解集为（）

A．（-2，+?）B．（-2，2）C．（-?，-2）D．（-?，+?）

5、函数y?

6、f?x??

7、已知f?x??x3?3x?8，则曲线y?f?x?在点2,f为．

8、已知函数f?x?（x?R）满足f?1??1，且f?x?的导数f??x??sinx的导数为_________________x1???cosx，则f????f????．x?2???2??处的切线斜率

1，则不等式2x21f?x???的解集为．

222

29

9、已知函数f(x)?xex.

(1)求这个函数的导数;

(2)求这个函数的图象在点x?1处的切线方程.

10、曲线y＝e2x2cos3x在(0,1)处的切线与直线L的距离为

，求直线L的方程．

30

高二理科数学寒假作业（16）导数的应用

1、f'(x0)?0是函数f(x)在点x0处取极值的（）A．充分不必要条件B必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件2、曲线y?x2?2x?1在点（1,0）处的切线方程为()（A）y?x?1（B）y??x?1（C）y?2x?2（D）y??2x?2

3、函数f(x)?(1?cosx)sinx在[??,?]的图像大致为（）

4、已知函数f?x??x2?数，则实数a的取值范围是（）A．??

13lnx?在其定义域内的一个子区间?a?1,a?1?内不是单调函22?3??3??13??35?,?B．??,?C．?1,?D．?1,?

?2??2??22??44?5、一点沿直线运动，假使由始点起经过t秒后的距离为s?为零的时刻是________．

6、函数f（x）=x-lnx的单调减区间为．

1453t?t?2t2，那么速度433227、已知函数f?x??x?ax?bx?a?在x?1处取得极大值10，则a?b的值7a为．

31

8、已知函数f?x???x3?ax在区间（－1,1）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

9、已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．

10、如下图，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．

32

高二理科数学寒假作业（17）微积分

?1、

??(1?cosx)dx?（）

2?2A.??2B.2C.??2D.?

2、设f(x)是连续函数，且为偶函数，则在区间[?a,a]上的定积分?af(x)dx?（）

?aA．0B．?0aa?af(x)dxC．?0f(x)dxD．2?0f(x)dx

3、若f(x)?x2?2?110f(x)dx，则?0f(x)dx＝（）

A．－1B．－13C．13D．14、定积分dx的值为()A．B．

C．πD．2π

5、定积分?e11xdx的值为____________________.

6、已知?a?a?sinx?3x2?dx?16，则正实数a的值为．

7、已知?（203x2?k）dx?16，则k?________

?8、?22sin(x??04)dx=_______．

33

9、求曲线y＝sinx与直线x＝－，x＝π，y＝0所围成图形的面积(如图)．

10、已知f(x)为二次函数，且

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．

34

高二理科数学寒假作业（18）推理与证明

1、已知整数的数对列:（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），??，则第60个数对是（）A．（3，8）B．（4，7）C．（4，8）D．（5，7）

2、用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根〞时，要做的假设是()

A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根

3、老师带甲乙丙丁四名学生去参与自主招生考试，考试终止后老师向四名学生了解考试状况，

四名学生回复如下：甲说：“我们四人都没考好〞；乙说：“我们四人中有人考的好〞；丙说：“乙和丁至少有一人没考好〞；丁说：“我没考好〞．

结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中两人说对了．（）A．甲丙B．乙丁C．丙丁D．乙丙

4、利用数学归纳法证明“1?a?a2???an?1?1?a,(a?1,n?N)〞时，在验证n?11?a成立时，左边应当是（）

A．1B．1?aC．1?a?a2D．1?a?a2?a3

5、36的所有正约数之和可按如下方法得到：由于36?22?32，所以36的所有正约数之和(1?3?32)?(2?2?3?2?32)?(22?22?3?22?32)?(1?2?22)(1?3?32)?91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为．

6、已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N+，则f2023（x）的表达式为．

7、观测以下等式：

n?2

根据以上规律可得1+2+3++n=．

8、观测以下式子：1?2

2

2

2

131151117?1???1????，，，，根据上述222222234223234规律，第n个不等式应当为．

35

9、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，，第n个三角形数为

n?n?1?121?n?n．记第n个k边形数为N?n,k??k?3?，以以下出了222部分k边形数中第n个数的表达式：

11三角形数N?n,3??n2?n

22正方形数N?n,4??n2五边形数N?n,5??321n?n22六边形数N?n,6??2n2?n

可以推测N?n,k?的表达式，由此计算N?20,32??．

10、将正偶数排列如图，其中第i行第j列的数表示为aij(i,j?N*)，例如a43?18，若

aij?2023，则i?j?．

11、设{an}是集合{2t＋2s|0≤s5、636、?3

7、45数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则可以证明：sk,s2k?sk,s3k?s2k,?也成等比数列，所以该等比数列依次为：3，6，12，24，，故S12?3+6+12+24=45.8、5

9、解：（1）∵an＝p＋q，又a1＝－

n

13，a2＝－，241?1p?q????p???2∴?解得?2

3?p2?q????q??1??4因此{an}的通项公式是an＝（（2）令an＝－

1n

）－1.22551255，即（）n－1＝－，

225625611255所以（）n＝，n＝8.故－是{an}中的第8项．

22562561n1n

（3）由于an＝（）－1，且（）随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减

22小，故{an}是递减数列

10、解：（1）∵a1?1,a2?a6?2a4?14?a1?1,a4?7?d?a4?a1?2,?an?2n-1;4?1??2b3?q??4n又∵b1?2,b3?8????q?2,?b?2;bn1??q?0?因此数列{an}，{bn}的通项公式an?2n?1,bn?2n．（2）由（1）

an?bn?(2n?1)?2n,Tn?1?21?3?22?5?23?7?24?????(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n,2Tn?1?2?3?2?5?2?7?2?????(2n?3)?2?(2n?1)?2两式相减，得

2345nn?1,

41

-Tn?1?21?2(22?23?24?????2n)?(2n?1)?2n?122(1?2n?1)?1?2?2??(2n?1)?2n?1?-6?(3?2n)2n?1

1?21?Tn?6??2n?3??2n?1．

（5）数列综合

1、B2、C3、C4、Ba1?2，an?1??113?a2??,a3??,a4?2，所以数列an?132具有周期性，周期为3，?a2023?a2??

5、49506、an=（﹣1）n（2n+1）解：设此数列为{an}，其符号为（﹣1）n，

其绝对值为2n+1，可得通项公式an=（﹣1）n（2n+1）．故答案为：an=（﹣1）n（2n+1）．7、∵an?1?an?n?1，

∴a2?a1?2，a3?a2?3，a4?a3?4，?，an?an?1?n，∴an?a1?2?3?4???n?13(n?1)(2?n)(n?1)(2?n)121，∴an?2??n?n?1．

22228、an?2an?1?1?an?1?2?an?1?1??an?1?2,?n?2?，

an?1?1所以数列

?an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列．

所以an?1?2?2n?1?2n，所以an?2n?1．

9、（1）证明：由题设?an?，得a1?2，．a?4a?3n?1n?1n又n?N*，所以数列?an?n?是首项为n，且公比为Sn的等比数列．（2）解：由（1）可知Sn?1≤4Sn，于是数列?an?的通项公式为an?4n?1?n．

n所以数列?an?的前n项和Sn?4?1?n(n?1)．

32（3）证明：对任意的an?1?4an?3n?1，

?4n?1n(n?1)???1(3n2?n?4)≤0．4n?1?1(n?1)(n?2)Sn?1?4Sn???4???2322??3所以，不等式Sn?1≤4Sn，对任意an?1?4an?3n?1皆成立．10、（1）由题意，an?11Sn?1（n?N?），∴an?1?Sn?1?1（n?2，n?N?）2242

两式相减：an?an?1?又a1?1an，即an?2an?1（n?2，n?N?）21S1?1，∴a1?22∴数列?an?是首项为2，公比为2的等比数列，∴an?2n

（2）由（1）可得，bn?log2an?log22n?n∴cn?11111??(?)

bn?bn?2n?(n?2)2nn?2Tn?c1?c2?c3???cn?1?cn1111111111?(1???????????)232435n?1n?1nn?211113111?(1???)??(?)22n?1n?242n?1n?231313∴T1?Tn?，即?Tn?所以，Tn的取值范围为：[,)

43434（6）不等式（一）

1、B如1+5?2?3,1?2，所以A不成立；ac2?bc2?c2?0,a?b，所以B成立；当ad?0时

cb因此C不成立；a?b?a?b,a?b推??ab?cd，

ad不出a?b，所以D不成立．

2、B依题意可得，c?0,a?0．不等式两边同乘以一个正数不等号方向不变，所以选项A正确；b?a?0,c?0,所以c?b?a??0，应选项C正确；

a?c?0,ac?0,所以ac?a?c??0，应选项D正确；当b?0时，选项B错误．应选B．

3、D4、D当a?3时，-4?0恒成立；当

?a?3，解得?1?a?3，所以-1?a?3?2???4?a?3??16?a?3??05、[?2?,?)6、-1由已知知a，b异号，所以

abab??0，??1，|a||b||ab|27、(?1,0)?(0,1)原不等式整理为x?0,1?x?0?x???1,0???0,1?8、-1由题意，得出不等式对应的方程的两个实数根x1,x2；再由根与系数的关系，求出m、n的值即可．

∵x不等式mx2?nx?1?0的解集为{x|x?,或x?}，∴m?0，且方程

131211mx2?nx?1?0的解为x1?，x2?32，∴由根与系数的关系

43

11n111???，???，?m??6，n?5，?m?n??1.32m32m9、解：（1）由已知1是方程ax2?3x?2?0的根，则a=1，

?a?1∴方程为x?3x?2?0?b?2解得?

b?2?2（2）原不等式为?x?c??x?2??0

c?2时解集为?xx?c或x?2?c?2时解集为?xx?2或x?c?c?2时解集为?xx?2?

10、解：（1）A??x|(x?1)(x?4)?0???1,4?（2）设f(x)?x2?2ax?a?2，

若B??,则??4a2?4(a?2)?0?a2?a?2?0??1?a?2

???0?1?a?418??18?若B??，则??2?a?综上所述，a???1,?

7?7??f(1)?0??f(4)?0（7）不等式（二）

1、C2、C3、A4、D由于x?0,y?0，且

21??1，所以xy21x4yx4yx?2y?(x?2y)(?)?4???4?2??8．要使不等式x?2y?m2?2m恒

xyyxyx22?2?m?4．成立，则（x?2y）min?m?2m，所以m?2m?8，解得

5、t??26、由x,y满足的约束条件画出其可行域，目标函数表示的是可行域的点与点D?2,?1?的连线的斜率，所以其取值范围为?kAD,kCD?，所以其范围为??3,??．

2??1??7、16根据基本不等式ab?a?4b?24ab?4ab?ab?4?ab?168、易得，A（2，1）则2m+n=1.又因m，n?0，所以

1212n4m?=（?）(2m+n）=4+??4?24?8．mnmnmn

44

9、解析：（Ⅰ）三条直线的交点分别是A(3,1),B(7,9),C(1,3)，Qz?y?(?2)，表示点

x?(?1)35QKNA?,KNC?N(?1,?2)到A,C两点斜率的取值范围．42,?Z?35?,??42??的取值范围是

（Ⅱ）QZ表示到可行域中的点的距离的平方最小值，Q(0,5)到直线x?y?2?0的

9距离的平方为2是最小的．

10、解析：（1）由题意得仓库的总造价为：t?40x?45?2y?20xy

（2）仓库底面面积S?xy?100m2时，t?40x?45?2y?20xy?40x?90y?2000

≥240x?90y?2000?1200?2000?32023分当且仅当40x?90y时，等号成立，

又∵xy?100，∴x?15(m)．

答：仓库底面面积S?100m2时，仓库的总造价最少是3200元，此时正面的长应设计为

15m．

（8）简易规律

1、D解：原命题的条件是““若x2＜1〞，结论为“﹣1＜x＜1〞，

则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1.2、B由已知，p：?2?x?10，

q：1?m?x?1?m．由于p是q的充分不必要条件，则

?1?m??2??2,10???1?m,1?m?，即??1?m?10?m?9，应选B．

?m?0?3、D对于命题p：若sinx?sin于是令x?y，

?3,y?2???6，则x?y，

所以命题p为假命题；对于命题q：由重要不等式可知x2?y2?2xy是正确的，即命题

q为真命题．由命题间的规律连接词可知，p或q为真命题，?p为真命题，p且q为假命题，故应选D．4、C解：对于A，否命题是“若x2≠1，则x≠1〞，∴A错误；

45

对于B，命题p的否定￢p：?x∈R，x﹣2x﹣1≤0，∴B错误；

对于C，命题“若x=y，则sinx=siny〞是真命题，∴它的逆否命题是真命题，∴C正确；

2

对于D，“x=﹣1〞时，“x﹣5x﹣6=0〞，∴是充分条件，∴D错误；5、（2）（4）（5）形如y?xa的函数叫幂函数，假使a?0，则y?x0x(?0)，（1）错；x?1时一定有x?2，但x?2时，不一定有x?1，故（2）正确；x?1(x?2)?0的解集是{x|x?2或x?1}，（3）错；正切函数y?tanx的对称中心是(2

k?,0)(k?Z)，2（4）正确；命题“若x?y，则sinx?siny〞是真命题，因此其逆否命题也是真命题，（5）正确，所以填空（2）（4）（5）．6、

解：∵p：

，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，

∴q：x＜a，或x＞a+1∴？q：a≤x≤a+1又∵p是？q的充分不必要条件，∴则实数a的取值范围是

解得：

7、“p或q〞，“非p〞∵命题p是假命题，命题q是真命题，∴“p且q〞为假，“p或q〞为真，“p〞为真.8、?22?a?22原命题为假命题，则其否定“?x?R，使得

2x2?3ax?9?0成立为真命题???0??22?a?229、∵p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，∴x2≥a．∴a≤1．

∵q：?x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0，∴Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0．∴a≤－2或a≥1．∵“p∧q〞是真命题，∴p和q都是真命题．∴p和q的解集取交集得a≤－2或a＝1．10、?y??x2?2x?8???x?1??9??0,3?，∴命题P：0?a?3．令f(x）=x２＋x?a，由题知f(1)?0，∴a?2，∴命题q:a?2．

又由于命题“p且q〞为假命题，“p或q〞为真命题，所以p与q有且只有一个真命题．当p真q假时有0?a?2；当p假q真时有a?3；∴a的取值范围为?0,2???3,???

2（9）椭圆

1、A2、A3、B由题意m?218?，解得m?．

32m4、D可以证明，焦点三角形中，当点P在椭圆短轴端点时，?F1PF2最大．在该椭圆中，可计算最大时仍为锐角，即直角三角形的顶点只可能是焦点，所以点?到x轴

46

的距离为点P的纵坐标y的绝对值y．将x?c(或?c)代入椭圆方程得，y??y?9．应选D．49,所以412?a?2c?7、2由已知?b?3，解得a?2．

?a2?b2?c2?5、406、(?2,?)

x2y2??1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交8、根据题意，由于设椭圆

167椭圆于A、B两点，若?ABF2的内切圆的面积为?，则内切圆的半径为1，设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则利用内切圆的性质可知，|y1?y2|值为

83x2y29、设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，则a2?b2?5，将点的坐标带入方程有：

ba25x2y215224??1??1,b?20,a?252025b2b2?5

10、解：（I）依题意椭圆的两个焦点和短轴的两个端点都圆x2+y2=1上，

可得b=1，c=1所以a2=2，所以椭圆C的方程；；

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=k（x﹣2），

由消去y得：（1+2k）x﹣8kx+8k﹣2=0，

2222

所以，

由于OA⊥OB，所以而

，即x1x2+y1y2=0，

，所以

，

所以解得：

，

，此时△＞0，所以

．

47

（10）双曲线

b4b251、D2、C3、A由渐近线方程得，?e?1?2?．应选A．

a3a34、C不妨设PF1?PF2，由双曲线的定义得，?F1-?F2?2a．又因

?F1F2最小，由余弦定1F2?2c,显然?PF1=4a,?F2?2a,而F1??F2?6a，所以?F22理得，4a2?16a2?4c2?2?4a?2c?cos3