均值向量和协方差阵的检验

均值向量和协方差阵的检验第1页，共81页，2023年，2月20日，星期四二元正态分布的密度函数为：X与Y的边缘密度函数为：第2页，共81页，2023年，2月20日，星期四设随机向量X＝(X1,…,Xn)T，Y＝(Y1,…,Ym)T.随机向量X的均值向量E(X)＝(E(X1),…,E(Xn))T.随机向量X和Y的协方差阵

Cov(X,Y)=E[(X—E(x))(Y—E(Y))T]随机向量X的协方差阵

D(X)=Cov(X,X)=E[(X—E(x))(X—E(X))T]第3页，共81页，2023年，2月20日，星期四随机向量X的相关阵

R=(rij)n×n其中rij=σij/[D(Xi)D(Xj)]0.5均值向量与协方差阵的性质1.设X、Y是随机向量，A、B是常数矩阵，则

E(AX)=AE(X)E(AXB)=AE(X)BD(AX)=AD(X)ATCov(AX,BY)=ACov(X,Y)BT

2.若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0；反之，不一定成立。3.随机向量X的协方差阵D(X)=Σ是对称非负定矩阵，并有如下分解：Σ＝AAT(A是可逆阵)。第4页，共81页，2023年，2月20日，星期四若m元随机向量X＝(X1,…,Xm)T的概率密度函数为

f(x1,…,xm)=(2π)-m/2|Σ|-0.5exp{--0.5(x—μ)TΣ-1(x—μ)}其中μ、Σ分别是X的均值向量和协方差阵，则称X为m元正态分布。记作X~N(μ,Σ)。第5页，共81页，2023年，2月20日，星期四定理1.已知XN(,2),则Y=a+bXN(a+b,b22)正态随机变量的线性函数的分布推论.已知XN(,2),则X*=(X-)/N(0,1)定理2.已知X与Y相互独立，且

XN(x,x2),YN(y,y2),则Z=aX+bYN(ax+by,a2x2+b2y2)定理3.设随机变量X1,X2，...,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,...,n,则第6页，共81页，2023年，2月20日，星期四§2数理统计中的某些常用分布一、

2—分布

统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：

2—分布、t

—分布和F—分布。第7页，共81页，2023年，2月20日，星期四2.2—分布的密度函数f(x)曲线第8页，共81页，2023年，2月20日，星期四3.分位点设X

~2(n)，若对于：0<<1，存在满足则称为分布的上分位点。4.性质：若X

~2(n1)，Y~2(n2)，X与Y独立，则

X

+

Y

~2(n1+n2)例查表:20.05(12)=20.90(12)=21.06.30第9页，共81页，2023年，2月20日，星期四1.构造若~N(0,1),~2(n),与独立，则t(n)称为自由度为n的t—分布。二、t—分布2.概率密度曲线第10页，共81页，2023年，2月20日，星期四3.基本性质:(1)f(t)关于t=0(纵轴)对称；(2)t(n)N(0，1)

4.分位点设T～t(n)，若对:0<<1,存在t(n)>0，满足P{Tt(n)}=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点。n∞即：注:例查表t0.025(10)=2.23第11页，共81页，2023年，2月20日，星期四三、F—分布

1.构造若1

~2(n1)，2~2(n2)，1，2独立，则

称为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F—分布,其概率密度为第12页，共81页，2023年，2月20日，星期四2.F—分布的分位点对于：0<<1，若存在F(n1,n2)>0，满足P{FF(n1,n2)}=，则称F(n1,n2)为F(n1,n2)的上侧分位点。注：例查表F0.025(10,15)=

F0.95(10,15)=3.521/F0.05(15,10)=1/2.54≈0.39第13页，共81页，2023年，2月20日，星期四正态总体统计量的分布1.设X1,…,Xn~N(μ,σ2)，则iid第14页，共81页，2023年，2月20日，星期四例1：设总体X~N(μ,σ2),从总体X中抽取9个样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值小于2的概率，如果（1）已知总体方差σ2=16；（2）未知σ2

，但已知样本方差S2=18.45。 解(1)样本函数=P(|u|<1.5)=Φ(1.5)--Φ(--1.5)=2Φ(1.5)–1=0.8664

(2)样本函数=P(|t|<1.397)=1–P(|t|≥1.397)=1–2P(t≥1.397)=0.80第15页，共81页，2023年，2月20日，星期四2.设X1,…,Xn1~N(μ1,σ12)，Y1,…,Yn2~N(μ2,σ22)，且相互独立，则iidiid第16页，共81页，2023年，2月20日，星期四§3正态总体参数的假设检验一、单总体均值的假设检验1、2已知的情形---U检验

对于假设H0：=0；H1：0

构造检验统计量查表,计算,比较大小,得出结论第17页，共81页，2023年，2月20日，星期四说明：H0：=0；H1：m0称为双侧HT问题；而H0：=0；H1：>0(或<0),则称为单侧HT问题。H0：=0；H1：>0,H0：=0；H1：<0,第18页，共81页，2023年，2月20日，星期四例已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112).某日测得5炉铁水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果标准差不变,该日铁水的平均含碳量是否显著偏低?(取=0.05)解:计算：拒绝H0查表：第19页，共81页，2023年，2月20日，星期四2、2未知的情形·双侧检验:对于假设H0：=0；H1：0由p{|T|＞t/2(n1)}=,得水平为的拒绝域为|T|＞t/2(n1)第20页，共81页，2023年，2月20日，星期四·右侧HT问题H0：=0

；H1：>0由p{T＞t(n1)}=,得水平为的拒绝域为T＞t(n1)·左侧HT问题H0：=0

；H1：<0由p{T＜－t(n1)}=,得水平为的拒绝域为T＜－t(n1)第21页，共81页，2023年，2月20日，星期四例某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620(kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为:10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?解:H0：=10620；H1：>10620查表：t0.05(9)=1.833计算：接受H0第22页，共81页，2023年，2月20日，星期四二、单总体方差的假设检验假定未知双侧检验得水平为的拒绝域为第23页，共81页，2023年，2月20日，星期四单侧检验：假定=0

已知备择假设H1拒绝域

σ2≠σ02

χ2

＜χ21-α/2(n)或χ2

＞χ2α/2(n)

σ2＞σ02

χ2

＞χ2α(n)

σ2＜σ02

χ2

＜χ21-α(n)第24页，共81页，2023年，2月20日，星期四例电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80?(=0.05),熔化时间为正态变量.)接受H0查表：计算：解：第25页，共81页，2023年，2月20日，星期四3.3两个正态总体参数的假设检验一、均值差的假设检验1.σ1、σ2已知2.σ1=σ2未知检验统计量两样本独立,给定检验水平,由观测值其中第26页，共81页，2023年，2月20日，星期四备择假设H1σ1、σ2已知拒绝域σ1=σ2未知拒绝域μ1

≠μ2｜U｜＞uα/2｜T｜＞tα/2(n1+n2－2)μ1

＞μ2

U＞uαT＞tα(n1+n2－2)μ1

＜μ2U＜－uαT＜－tα(n1+n2－2)第27页，共81页，2023年，2月20日，星期四例.比较甲,乙两种安眠药的疗效。将20名患者分成两组,每组10人.其中10人服用甲药后延长睡眠的时数分别为1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4;另10人服用乙药后延长睡眠的时数分别为0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0,2.0.若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从方差相同的正态分布.试问两种安眠药的疗效有无显著性差异?(=0.10)解:查表：第28页，共81页，2023年，2月20日，星期四计算:拒绝H0,认为两种安眠药的疗效有显著性差异.解:查表：第29页，共81页，2023年，2月20日，星期四例上题中,试检验是否甲安眠药比乙安眠药疗效显著?这里:t=1.86>1.3304,故拒绝H0,认为甲安眠药比乙安眠药疗效显著例上题中,试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著?查表：解第30页，共81页，2023年，2月20日，星期四两样本独立,给定检验水平,由观测值1,2已知1,2未知二、方差比的假设检验检验统计量第31页，共81页，2023年，2月20日，星期四备择假设H11,2已知拒绝域1,2未知拒绝域σ12≠σ22

F＜F1-α/2(n1,n2)或F＞Fα/2(n1,n2)

F＜F1-α/2(n1-1,n2-1)或F＞Fα/2(n1-1,n2-)σ12＞σ22

F＞Fα(n1,n2)

F＞Fα(n1–1,n2–1)σ12＜σ22

F＜Fα(n1,n2)

F＜F1-α(n1–1,n2–1)F1/2F/2第32页，共81页，2023年，2月20日，星期四例有甲乙两种机床,加工同样产品,从这两台机床加工的产品中随机地抽取产品,测得产品直径为:甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,19.9.乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.假定甲,乙两台机床的产品直径都服从正态分布,试比较甲,乙两台机床加工的精度有无显著差异?(=0.05)解:拒绝域为F＜F10.025(7,6)=1/5.12=0.1953

或F＞F0.025(7,6)=5.7计算:接受H0第33页，共81页，2023年，2月20日，星期四3.5总体分布的假设检验原假设H0：总体X服从某一理论分布检验方法：皮尔逊(Pearson)χ2拟合检验准则检验统计量：其中：k是所分子区间的个数，r是理论分布中需要利用样本观测值估计的未知参数的个数。拒绝域：第34页，共81页，2023年，2月20日，星期四例在n=2608段时间内观察某一放射性物质，观察得到每段时间内放射粒子数记录如下表，验证放射粒子数X服从泊松分布的假设。(=0.05)放射粒子XI观察频数mI0123456789≥1057203383525532408273139452716总计2608解：H0：X~P(λ)

∴接受H0放射粒子XI观察频数mI概率pinpi(mi－npi)2/npi0123456789≥10572033835255324082731394527160.0210.0810.1560.2010.1950.1510.0970.0540.0260.0110.007总计26081.000放射粒子XI观察频数mI概率pinpi(mi－npi)2/npi0123456789≥10572033835255324082731394527160.0210.0810.1560.2010.1950.1510.0970.0540.0260.0110.00754.8211.2406.8524.2508.6393.8253.0140.867.828.718.3总计26081.0002608放射粒子XI观察频数mI概率pinpi(mi－npi)2/npi0123456789≥10572033835255324082731394527160.0210.0810.1560.2010.1950.1510.0970.0540.0260.0110.00754.8211.2406.8524.2508.6393.8253.0140.867.828.718.30.0880.3181.3920.0011.0770.5121.5810.0237.6670.1010.289总计26081.000260813.049第35页，共81页，2023年，2月20日，星期四§4均值向量的检验4.1一个正态总体的假设检验设总体X~Nm(μ,Σ)，现从总体中随机抽取n个样本(X1,X2,…,Xn)(其中协方差阵Σ未知)(1)H0:μ=μ0

(2)检验统计量和当H0为真时，统计量F服从自由度为m和n－m的F分布.(3)选择显著性水平α，查F分布表得临界值Fα(m,n－m).(4)计算F值，比较。若F＞Fα(m,n－m)，则拒绝原假设；否则接受原假设。第36页，共81页，2023年，2月20日，星期四4.2两个正态总体的假设检验设总体X~Nm(μ1,Σ)、Y~Nm(μ2,Σ)

，现从两总体中分别随机抽取n1个样本(X1,X2,…,Xn1)和n2个样本(Y1,Y2,…,Yn2)(1)H0:μ1=μ2

(2)检验统计量，其中当H0为真时，统计量F服从自由度为m和n1+n2－m－1的F分布.(3)选择显著性水平α，查F分布表得临界值Fα(m,n1+n2－m－1).(4)计算F值，比较。若F＞Fα(m,n1+n2－m-1)，则拒绝原假设；否则接受原假设。第37页，共81页，2023年，2月20日，星期四4.3多个正态总体的假设检验设有k个协方差相等的m元正态总体总体X(i)~Nm(μ(i),Σ)(i=1,…,k)，现从中分别随机抽取容量为n1、…、nk的样本:

X1(1),X2(1),…,Xn1(1)

~Nm(μ(1),Σ)

…………

X1(k),X2(k),…,Xnk(k)~Nm(μ(k),Σ)(1)H0:μ(1)=μ(2)=…=μ(k)

(2)检验统计量Λ=|E|/|E+B|~Λ(m,n—k,k—1)

其中第38页，共81页，2023年，2月20日，星期四mn2统计量FF的自由度任意1(n1-m+1)(1-Λ)/mΛm,n1–m+1任意2(n1-m)(1-Λ1/2)/mΛ1/22m,2(n1-m)1任意n1(1-Λ)/n2Λn2,n12任意(n1-1)(1-Λ1/2)/n2Λ1/22n2,2(n1-1)Λ分布与F分布的关系(n1>m)当m、n2不属于表中情形时，可计算统计量

χ2=-[n1+n2–(m+n2+1)/2]/lnΛ其近似服从自由度为m×n2的分布。第39页，共81页，2023年，2月20日，星期四§5协方差阵的检验5.1一个正态总体的协方差阵检验设总体X~Nm(μ,Σ)，现从总体中随机抽取n个样本(X1,X2,…,Xn)(1)H0:Σ=Σ

0

(2)检验统计量其中样本协方差阵注：关于L分布请见《多元统计分析引论》第40页，共81页，2023年，2月20日，星期四5.2多个正态总体的协方差阵检验设有k个协方差相等的m元正态总体总体X(i)~Nm(μi,Σi)(i=1,…,k)，现从中分别随机抽取容量为n1、…、nk的样本:

X1(1),X2(1),…,Xn1(1)

~Nm(μ1,Σ1)

…………

X1(k),X2(k),…,Xnk(k)~Nm(μk,Σk)(1)H0:Σ1

=Σ2

=…=Σk

(2)检验统计量其中第41页，共81页，2023年，2月20日，星期四mn2统计量FF的自由度任意1(n1-m+1)(1-Λ)/mΛm,n1–m+1任意2(n1-m)(1-Λ1/2)/mΛ1/22m,2(n1-m)1任意n1(1-Λ)/n2Λn2,n12任意(n1-1)(1-Λ1/2)/n2Λ1/22n2,2(n1-1)Λ分布与F分布的关系(n1>m)当m、n2不属于表中情形时，可计算统计量

χ2=-[n1+n2–(m+n2+1)/2]/lnΛ其近似服从自由度为m×n2的分布。第42页，共81页，2023年，2月20日，星期四§6方差分析什么是方差分析单因素试验的方差分析双因素无重复试验的方差分析双因素等重复试验的方差分析第43页，共81页，2023年，2月20日，星期四表该饮料在五家超市的销售情况超市无色粉色橘黄色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8例某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见下表。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。什么是方差分析？第44页，共81页，2023年，2月20日，星期四检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同设1为无色饮料的平均销售量，2粉色饮料的平均销售量，3为橘黄色饮料的平均销售量，4为绿色饮料的平均销售量，也就是检验下面的假设H0:1234

H1:1,2,3,4

不全相等检验上述假设所采用的方法就是方差分析第45页，共81页，2023年，2月20日，星期四基本概念1.因素或因子所要检验的对象称为因子要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检验的因素或因子2.水平因素的具体表现称为水平A1、A2、A3、A4四种颜色就是因素的水平3.观察值在每个因素水平下得到的样本值每种颜色饮料的销售量就是观察值4.试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验5.总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如A1、A2、A3、A4四种颜色可以看作是四个总体第46页，共81页，2023年，2月20日，星期四两类误差1.随机误差在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间的差异，可认为由于抽样的随机性所造成的。比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的2.系统误差在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异.比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的第47页，共81页，2023年，2月20日，星期四基本假设1.正态－－每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布2.方差齐性－－各个总体的方差必须相同对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同3.独立－－观察值是独立的比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立第48页，共81页，2023年，2月20日，星期四6.1单因素试验的方差分析水平

A1A2

…

Ak样本观测值

x11x21…

xk1x12x22…

xk2::::::::x1n1

x2n2…

xknk设因素A有k个水平：A1，A2，…，Ak，在水平Ai下总体Xi~N(μi,σ2),i=1,2,…,k。样本Xij~N(μi,σ2),i=1,2,…,k;j=1,2,…,nk

。第49页，共81页，2023年，2月20日，星期四超市无色粉色橘黄色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8水平A4A1A2A3样本观测值第50页，共81页，2023年，2月20日，星期四H0:m1=m2=…=

mk

H1:m1

，m2

，…

，mk不全相等记号：第51页，共81页，2023年，2月20日，星期四检验统计量：拒绝域：第52页，共81页，2023年，2月20日，星期四方差分析计算步骤：1列表计算平均值水平

A1A2

…

Ak样本观测值

x11x21…

xk1x12x22…

xk2::::::::x1n1

x2n2…

xknk

第53页，共81页，2023年，2月20日，星期四方差分析计算步骤：1列表计算平均值水平

A1A2

…

Ak样本观测值

x11x21…

xk1x12x22…

xk2::::::::x1n1

x2n2…

xknk平均值

第54页，共81页，2023年，2月20日，星期四手工计算：当样本观测值较大时，可将每个数都减去同一常数C，然后再进行计算。方差分析计算步骤：1列表计算平均值水平

A1A2

…

Ak样本观测值

x11x21…

xk1x12x22…

xk2::::::::x1n1

x2n2…

xknk平均值

x1

x2…

xk－－－第55页，共81页，2023年，2月20日，星期四方差来源平方和自由度F值临界值显著性组间误差SASek-1n-kF0.05(k-1,n-k)F0.01(k-1,n-k)***总和STn-13单因素试验方差分析表2计算平方和第56页，共81页，2023年，2月20日，星期四表该饮料在五家超市的销售情况超市无色粉色橘黄色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8例解第57页，共81页，2023年，2月20日，星期四表四种颜色饮料的销售量及均值超市(j)水平A(i)无色(A1)粉色(A2)橘黄色(A3)绿色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8例解第58页，共81页，2023年，2月20日，星期四表四种颜色饮料的销售量及均值超市(j)水平A(i)无色(A1)粉色(A2)橘黄色(A3)绿色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8水平均值xi27.3229.5626.4431.46x=28.695例解第59页，共81页，2023年，2月20日，星期四ST

=SA

=

Se

=F=方差来源平方和自由度F值临界值显著性组间误差总和单因素试验方差分析表结论：(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486第60页，共81页，2023年，2月20日，星期四ST

=SA

=

Se

=F=方差来源平方和自由度F值临界值显著性组间误差76.845539.084总和115.9295单因素试验方差分析表结论：(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486第61页，共81页，2023年，2月20日，星期四ST

=SA

=

Se

=F=方差来源平方和自由度F值临界值显著性组间误差76.845539.084316总和115.929519单因素试验方差分析表结论：(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486第62页，共81页，2023年，2月20日，星期四ST

=SA

=

Se

=F=方差来源平方和自由度F值临界值显著性组间误差76.845539.08431610.486F0.05(3,16)=3.24F0.01(3,16)=5.29总和115.929519单因素试验方差分析表结论：(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486第63页，共81页，2023年，2月20日，星期四ST

=SA

=

Se

=F=方差来源平方和自由度F值临界值显著性组间误差76.845539.08431610.486F0.05(3,16)=3.24F0.01(3,16)=5.29**总和115.929519单因素试验方差分析表结论：饮料的颜色是对销售量有非常显著影响。(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.929576.845539.084(76.8455/3)/(39.084/16)=10.486第64页，共81页，2023年，2月20日，星期四6.2双因素无重复试验的方差分析Xij~N(μij,σ2),

μij=μ+αi+βji=1,2,…,k;j=1,2,…,m。因素B因素A

B1B2…

BmA1A2::Ak

x11x12…

x1mx21x22…

x2m::::::::xk1

xk2…

xkm第65页，共81页，2023年，2月20日，星期四6.2双因素无重复试验的方差分析Xij~N(μij,σ2),

μij=μ+αi+βji=1,2,…,k;j=1,2,…,m。因素B因素A

B1B2…

Bm平均值

A1A2::Ak

x11x12…

x1mx21x22…

x2m::::::::xk1

xk2…

xkmx1.x2.

::xk.平均值

x.1

x.2…

x.mx－－－－第66页，共81页，2023年，2月20日，星期四H01:α1=α2=…

=αk=0H11:α1,α2,…,αk不全等于0记号：H02:β1=β2=…

=βm=0H12:β1,β2,…,βm不全等于0第67页，共81页，2023年，2月20日，星期四第68页，共81页，2023年，2月20日，星期四拒绝域检验统计量第69页，共81页，2023年，2月20日，星期四方差来源平方和自由度F值临界值显著性因素A因素BSASBk-1m-1FAFBF0.05、F0.01F0.05、F0.01误差Se(k-1)(m-1)总和STkm-13.双因素无重复试验方差分析表计算步骤：1.列表计算水平平均值（当样本观测值较大时，可将每个数都减去同一常数C）。2.第70页，共81页，2023年，2月20日，星期四机器工人B1B2B3A1A2A3A4504748536055525755424449例四个工人分别操作三台机器各一天，日产量如下表。试检验工人和机器对产品产量是否有显著影响？第71页，共81页，2023年，2月20日，星期四机器工人B1B2B3A1A2A3A4504748536055525755424449解第72页，共81页，2023年，2月20日，星期四机器工人B1B2B3xi.A1A2A3A4