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多项式插值方法1第1页,共60页,2023年,2月20日,星期四下面仅以近似计算函数值为例来说明
:2第2页,共60页,2023年,2月20日,星期四x0x1x2x3x4xg(x)3第3页,共60页,2023年,2月20日,星期四x0x1x2x3x4xg(x)
f(x)
y=
f(x)有时f(x)过于复杂而难以运算,要用近似函数g(x)来逼近f(x)。4第4页,共60页,2023年,2月20日,星期四5第5页,共60页,2023年,2月20日,星期四本章只研究多项式插值,亦即g(x)是x的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数,而且因为在许多场合,函数容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.6第6页,共60页,2023年,2月20日,星期四插值的基本问题是,寻求多项式,使得1.多项式插值问题7第7页,共60页,2023年,2月20日,星期四8第8页,共60页,2023年,2月20日,星期四线性方程组的系数矩阵为9第9页,共60页,2023年,2月20日,星期四(3.3)10第10页,共60页,2023年,2月20日,星期四11第11页,共60页,2023年,2月20日,星期四1.1多项式插值问题:
12第12页,共60页,2023年,2月20日,星期四x0x1x2x3x4x
y=
pn(x)13第13页,共60页,2023年,2月20日,星期四14第14页,共60页,2023年,2月20日,星期四1.2线性插值(一次插值)问题x0x115第15页,共60页,2023年,2月20日,星期四16第16页,共60页,2023年,2月20日,星期四该基函数的特点如下:基函数的思想使得插值多项式形式简洁和易于推广17第17页,共60页,2023年,2月20日,星期四函数值、。一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是18第18页,共60页,2023年,2月20日,星期四1.3二次插值(抛物线插值)问题19第19页,共60页,2023年,2月20日,星期四20第20页,共60页,2023年,2月20日,星期四21第21页,共60页,2023年,2月20日,星期四同理可得
22第22页,共60页,2023年,2月20日,星期四23第23页,共60页,2023年,2月20日,星期四24第24页,共60页,2023年,2月20日,星期四2.Lagrange插值公式25第25页,共60页,2023年,2月20日,星期四26第26页,共60页,2023年,2月20日,星期四则插值表达式为定理:满足插值条件的如(3.7)形式的插值多项式唯一.
27第27页,共60页,2023年,2月20日,星期四定义:
特点:Lagrange插值公式(3.8)具有结构清晰、紧凑的特点,因而适合于作理论分析和应用.也非常适合于利用计算机编程计算。28第28页,共60页,2023年,2月20日,星期四29第29页,共60页,2023年,2月20日,星期四3.插值余项30第30页,共60页,2023年,2月20日,星期四31第31页,共60页,2023年,2月20日,星期四证明
32第32页,共60页,2023年,2月20日,星期四33第33页,共60页,2023年,2月20日,星期四34第34页,共60页,2023年,2月20日,星期四解35第35页,共60页,2023年,2月20日,星期四4.插值节点的选取因此自然提出这样的问题:
36第36页,共60页,2023年,2月20日,星期四37第37页,共60页,2023年,2月20日,星期四解:
38第38页,共60页,2023年,2月20日,星期四39第39页,共60页,2023年,2月20日,星期四5.Hermite插值公式本节讨论一类具有重结点的多项式插值方法,即Hermite插值方法。因为此类插值问题要求在结点处满足相应的导数条条件,所以它也被称为切触插值问题。40第40页,共60页,2023年,2月20日,星期四称为ak重密切Hermite插值41第41页,共60页,2023年,2月20日,星期四为解决插值问题(3.13),最直接的方法是采用代定系数法,或者求解由(3.13)所确定的线性方程组。42第42页,共60页,2023年,2月20日,星期四43第43页,共60页,2023年,2月20日,星期四44第44页,共60页,2023年,2月20日,星期四45第45页,共60页,2023年,2月20日,星期四46第46页,共60页,2023年,2月20日,星期四整个构造步骤如下:1、确定多项式的最高项次数,就是函数空间的维数;2、假设一组基函数,列出插值多项式;3、列出基函数满足的公式(画表),求基函数;称为构造基函数方法47第47页,共60页,2023年,2月20日,星期四余项48第48页,共60页,2023年,2月20日,星期四解:49第49页,共60页,2023年,2月20日,星期四余项:50第50页,共60页,2023年,2月20日,星期四51第51页,共60页,2023年,2月20日,星期四52第52页,共60页,2023年,2月20日,星期四解三个插值点在一条直线上,所以二次插值退化为一次插值53第53页,共60页,2023年,2月20日,星期四54第54页,共60页,2023年,2月20日,星期四55第55页,共60页,2023年,2月20日,星期四数据插值
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