地球椭球及其数学

地球椭球及其数学第1页，共169页，2023年，2月20日，星期四§4.1-

旋转椭球面的参数表示及数学性质1、椭球方程：表面上平行于赤道面的纬圈均为圆起始子午面0ZXYWENSabQQ′平行圈赤道第2页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、经线和纬线的曲线方程M0饶Z轴旋转，形成纬圈（平行圈），其半径：经度为L的经线方程：OXYZM1M0MLrSyx在XOZ坐标面上的起始经线方程：1）、经线方程：§4.1-

旋转椭球面的参数表示及数学性质第3页，共169页，2023年，2月20日，星期四2）、纬圈方程：或：§4.1-

旋转椭球面的参数表示及数学性质OXYZM1M0MLLrRSyx第4页，共169页，2023年，2月20日，星期四3、地球椭球的几何、物理元素扁率：第一偏心率：第二偏心率：长半轴：短半轴：1）、几何元素几个关系式：§4.1-

旋转椭球面的参数表示及数学性质第5页，共169页，2023年，2月20日，星期四1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：§4.1-

旋转椭球面的参数表示及数学性质第6页，共169页，2023年，2月20日，星期四我国1980年大地坐标系采用第16届IAG—IUGG椭球，其椭球元素为：2）、地球椭球的几何、物理元素§4.1-

旋转椭球面的参数表示及数学性质第7页，共169页，2023年，2月20日，星期四§4.2-

常用坐标系及关系1、大地坐标系：以大地经度L、大地纬度B和大地高为点的坐标。起始子午面PH1）、基准：椭球面与法线2）、大地高H：地面点沿法线到椭球面的距离。3）、大地高H与正常高H正常及正高H正的关系：注：水准测量的一般为正常高或正高，GPS测量的为大地高一、常用坐标系第8页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、天文坐标系：以天文经度λ

和天文纬度φ为点的坐标天文起始子午面Pλφ以铅垂线和水准面为依据天文子午面：过地面点P的铅垂线和地球旋转轴组成的面。3、空间直角坐标系：以地心（参心）为原点，以平均自转轴为Z轴，指向平均北极，X轴指向平均起始子午面与平均赤道面的交点，Y轴与XOZ平面垂直而建立的坐标系。起始子午面PY

zxxyzo赤道当原点在总地球椭球质心时称地心空间直角坐标系。当原点在参考椭球质心时称参心空间直角坐标系。§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系第9页，共169页，2023年，2月20日，星期四在过P点的子午面上，以P点的

子午椭圆中心为原点，长轴为X轴，短轴为Y轴而建立的平面直角坐标系。4、子午面直角坐标系XYOPxy设P点的大地经度为L，则P点的坐标表示为(L，x，y).5、地心纬度坐标系XYφOM地心纬度：椭球面上一点到地心的连线与赤道面之间的夹角φ。设M点的经度为L，则其地心纬度坐标为（L，φ

，ρ

）若P点的大地高为H，则其坐标为（L，φ

，ρ

，H）。§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系第10页，共169页，2023年，2月20日，星期四归化纬度：从子午椭圆上M点作X轴的垂线，与以长半轴为半径的圆相交于M’,M’与椭圆中心O的连线与X轴的夹角。6、地心归化纬度坐标系XuaYOM´Mb设M点的经度为L，则其坐标为（L，u）,若M点的大地高为H，则其坐标为（L，u，H）。在XOY子午面内，有:§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系第11页，共169页，2023年，2月20日，星期四7、站心地平坐标系起始子午面NWSEnPoXZyMX(北)Z(天顶)Y(东)PZMSA1).大地站心地平坐标系:

以测站P为原点，以P点法线为Z轴，天顶方向为正，以子午线切线方向为X轴,向北为正，Y轴与XPZ平面垂直，向东为正.Z为天顶距,A为大地方位角,S为M点到站心点的斜距.M点直角坐标(x,y,z),极坐标为(S,A,Z)§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系第12页，共169页，2023年，2月20日，星期四2).天文站心地平坐标系8.大地极坐标系APNMSMN为过M点的子午线，S为大地线的长度，A为大地线S的大地方位角，则P点的大地极坐标为（S，A）。大地极坐标（S，A）可与大地坐标（L，B）相互换算。§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系第13页，共169页，2023年，2月20日，星期四二、坐标系间的关系1、子午平面坐标系与大地坐标系的关系切线MT的斜率的导数式：由椭圆方程求导得：代入第一式得：2XYnB90°+BOTMXy1§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系M点子午平面坐标(L，x，y)<=>大地坐标（L，B）第14页，共169页，2023年，2月20日，星期四引入辅助符号：则有：代入椭圆方程，化简后得：2将XYnB90°+BOTMXyabQ另外,如图可知：§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系第15页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、子午平面坐标系与归化纬度坐标关系由椭圆的参数方程可知：3、空间直角坐标同子午面直角坐标的关系uayOM´MbxM″§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系XYZ(y)MOXYZLM″第16页，共169页，2023年，2月20日，星期四4、空间直角坐标同归化纬度坐标的关系uayOM´MbxM″XYZM0XYZLM″§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系第17页，共169页，2023年，2月20日，星期四5、空间直角坐标与大地坐标的关系又因为：所以又有：1）、M在椭球面上§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系XYZM0XYZLnBM′Q第18页，共169页，2023年，2月20日，星期四2）、M不在椭球面上§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系XYZM0XYZLnBP′QHP第19页，共169页，2023年，2月20日，星期四3）、轴空间直角坐标推算大地坐标其中B要采用迭代法计算,直至两次之差小于允许误差为止.§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系XYZM0XYZLnBP′QHP(X,Y)ZM0ZnP′HPBP″BQ第20页，共169页，2023年，2月20日，星期四1)、大地纬度B与归化纬度u的关系

uayOM´MbxM″ynBOMXyx

由子午平面坐标系与大地坐标系的关系有:由子午平面坐标系与归化纬度坐标关系有:6、大地纬度B，归化纬度u，地心纬度φ之间的关系由上可得:所以大地纬度B与归化纬度u的关系式:§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系第21页，共169页，2023年，2月20日，星期四2)、大地纬度B与地心纬度φ的关系ynBOMXyxφ3)、归化纬度u与地心纬度φ的关系由子午平面坐标可得:所以:§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系第22页，共169页，2023年，2月20日，星期四大地纬度B，归化纬度u，地心纬度φ之间的关系公式汇总:4)、大地纬度B，归化纬度u，地心纬度φ之间的大小关系：

B>u>φ三者之间的差异很小。§4.2-

椭球面上常用坐标系及其相互关系第23页，共169页，2023年，2月20日，星期四§4.3-

椭球面上的几种曲率半径椭球面上的法截面与法截线法截面：过椭球面任意点的法线的平面。法截线：法截面与椭球面的交线。（1）、过一点有无数个法截线（2）、过一点的不同方向的法截线的曲率半径不同。卯酉圈：过某点的法线且与该点的子午面垂直的法截面与椭球的交线。子午圈与卯酉圈是两条相互垂直的法截线。第24页，共169页，2023年，2月20日，星期四一、子午圈曲率半径dS是子午圈上的一段微分弧长，M为子午圈上K点处的曲率半径，由曲率半径的定义有：如图由上两式可得根据子午平面直角坐标与大地坐标的关系有：因而§4.3-椭球面上的几种曲率半径目的：M=f(B)第25页，共169页，2023年，2月20日，星期四又则进而可得：而因而有即那么§4.3-椭球面上的几种曲率半径第26页，共169页，2023年，2月20日，星期四又因为则即或§4.3-椭球面上的几种曲率半径第27页，共169页，2023年，2月20日，星期四PT是平行圈和卯酉圈的公切线。

麦尼尔定理：通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，另一条为斜截弧，且在该点上两截弧有公共切线，则斜截弧在该点的曲率半径为法截弧在该点的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。根据子午平面直角坐标与大地坐标的关系有：比较以上两式可知卯酉曲率半徑为：二、卯酉圈曲率半径根据以上定理有：可知，N为P点处卯酉曲率半徑。其長度等於椭球面到短轴的距离Pn,由此可见，卯酉圈曲率部心位于椭球的旋转轴上．§4.3-椭球面上的几种曲率半径第28页，共169页，2023年，2月20日，星期四又因为则或或§4.3-椭球面上的几种曲率半径第29页，共169页，2023年，2月20日，星期四三、主曲率半径的计算：子午圈曲率半径M与卯酉圈曲率半径N用级数展开，取至8次项有：1、子午圈曲率半径M其中将相应的椭球参数代入便可求得各系数。§4.3-椭球面上的几种曲率半径第30页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、卯酉圈曲率半径N用级数展开，取至8次项有：其中将相应的椭球参数代入便可求得各系数。§4.3-椭球面上的几种曲率半径第31页，共169页，2023年，2月20日，星期四或用级数展开，取到8次项有其中§4.3-椭球面上的几种曲率半径第32页，共169页，2023年，2月20日，星期四四、任意法截弧的曲率半径

根据微分几何中的尤拉公式，任意方向法截线的曲率与子午、卯酉曲率因此，任意方向的曲率半径为：半径的关系为：将上式分子分母同除以M，并顾及则有1§4.3-椭球面上的几种曲率半径第33页，共169页，2023年，2月20日，星期四展开为级数得：1将用R表示平均曲率半径，根据平均曲率公式有因而有可见，RA与方位角A和纬度B有关。当A为0，时，RA取极小值M，/2，

3/2时，RA取得极大值N。当A由00→900时，RA由M→N，当A由900→1800时，RA由N→M。其变化周期为1800，并关于子午圈和卯酉圈对称。由此可知：N＞RA＞M§4.3-椭球面上的几种曲率半径第34页，共169页，2023年，2月20日，星期四五、平均曲率半径

过曲面上任意一点的所有方向的法截弧曲率半径RA的算术平均值，用R表示。我们知道，当A由00→900时，RA由M→N，所以只要计算该区间的平均值则可。

§4.3-椭球面上的几种曲率半径第35页，共169页，2023年，2月20日，星期四M、N、R的关系：M、N、R计算公式对照：由于可知§4.3-椭球面上的几种曲率半径因而有：可见,R为主曲率半径的几何平均值.第36页，共169页，2023年，2月20日，星期四§4.4-

椭球面上的弧长计算一、子午弧长的计算从赤道E开始到纬度为B的P点之间的子午弧长。如图可知E则第37页，共169页，2023年，2月20日，星期四将上式代入积分后整理得：由于最后一项很小，通常忽略不计。根据克拉索夫斯基椭球元素，子午弧长计算公式为：根据1975年国际椭球元素，子午弧长公式为：§4.4-

椭球面上的弧长计算第38页，共169页，2023年，2月20日，星期四公式的应用：（1）.计算子午圈长： 将B=900代入一个象限内的子午弧长，其4倍为子午圈长（2）.同一子午圈上两个纬度为B1，B2的点之间的弧长计算:①、⊿X=X2-X1，其中X1为赤道至纬度为P1的点之间的弧长；

X2为赤道至纬度为P2的点之间的弧长。②、也可直接将△X展开为△B=B2-B1的级数：由式在P1点处展开，得：1§4.4-

椭球面上的弧长计算第39页，共169页，2023年，2月20日，星期四得：代入1式有：§4.4-

椭球面上的弧长计算1第40页，共169页，2023年，2月20日，星期四也可在Pm处展开：代入相关数值得：对于小于40km的弧长，可进一步简化为：§4.4-

椭球面上的弧长计算第41页，共169页，2023年，2月20日，星期四（3）、由△X计算△B的反算公式：进而可得：对于小段弧，则可用下式求△B

：§4.4-

椭球面上的弧长计算第42页，共169页，2023年，2月20日，星期四二、由子午线长度球大地纬度：1、迭代法：（采用克拉索夫斯基椭球参数计算）第一步：计算Bf的初始值：以后每步按下式反复迭代计算：计算步骤：根据子午弧长计算公式重复迭代直到为止。§4.4-

椭球面上的弧长计算第43页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、直接法：（采用1975年椭球参数计算）令则利用三角级数回代公式：根据弧长计算公式可得：§4.4-

椭球面上的弧长计算第44页，共169页，2023年，2月20日，星期四三、平行圈的半径与弧长

可见，相同经差在不同纬度的平行圈上的弧长是不同的，在赤道最长，越靠近两极越小。由子午平面直角坐标与大地坐标的关系可知平行圈半径：那么，平行圈上两点之间的弧长为：§4.4-

椭球面上的弧长计算第45页，共169页，2023年，2月20日，星期四将相应的偏导数代入有：令，由于则§4.4-

椭球面上的弧长计算针对相同经度差，比较不同纬度上弧长的变化：第46页，共169页，2023年，2月20日，星期四四、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较单位纬度差的子午线弧长随纬度升高而缓慢地增长，而单位经度差的平行圈弧长则随纬度升高而急剧缩短。 如右图：

AB->BC缓慢减少

BD->CE急剧缩短§4.4-

椭球面上的弧长计算第47页，共169页，2023年，2月20日，星期四五、利用经纬格网计算椭球面的面积LL+dLBB+dBMdBNcosBdLd如图可知，椭球面梯形面积微分可用下列式子表示：那么，椭球面梯形面积为：§4.4-

椭球面上的弧长计算第48页，共169页，2023年，2月20日，星期四据此可以计算整个地球椭球面积约为5.1亿km2.如果假设地球为圆球，则表面积为4πR2=>R=6371km将（1-e2sin2B）-2展开为级数,则:将L2-L1=2π,B1=0,B2=π/2代入上式,并将其值乘以2,则可得地球椭球的全面积PE.§4.4-

椭球面上的弧长计算第49页，共169页，2023年，2月20日，星期四§4.5-

大地线

如图，AB两点纬度不同，在A点安置经纬仪照准B点（设不考虑垂线偏差，即铅垂线与法线重合）。

A点的法线（铅垂线）与B点的法线（铅垂线）不共面。说明A->B点的照准面与B->A点的照准面不重合。

AB之间存在两条法截线。一、法截弧与相对法截弧引言

法截弧：过椭球面上某点的法线的法截面与椭球面相交得到的曲线问题：某点上安置经纬仪，照准面？第50页，共169页，2023年，2月20日，星期四

如图，AB两点纬度不同，在A点安置仪器观测B点，照准面与椭球面的交线AaB称A点的正法截线，或B点的反法截线；在B点安置仪器观测A点，照准面与椭球面的交线BbA称B点的正法截线，或A点的反法截线。AaB与BbA称A、B两点的相对法截线。

相对法截弧：

A到B的法截弧与B到A的法截弧称为相对法截弧。1、定义

§4.5-

大地线第51页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、法截弧的性质①纬度不同的两点其正反法截弧不重合

过A、B两点的法线交短轴于na、nb，B1≠B2时，ona≠onb,na与nb不重合。当两点不再同一子午圈上也不在同一平行圈上时，两点间有两条法截弧。当两点在同一子午圈上或同一平行圈上，两点间只有一条法截弧，即正反法截线重合。如图可知：而所以可见，当B1≠B2时，Ona≠Onb,na与nb不重合。§4.5-

大地线思考：若AB两点纬度相同，AB之间存在几条法截线？为什么？若经度相同，情况又如何？第52页，共169页，2023年，2月20日，星期四②、某点的纬度愈高，其法线与短轴的交点愈低，即当B2>B1时，

Onb>Ona,则法截线BbA偏上，而AaB偏下。§4.5-

大地线第53页，共169页，2023年，2月20日，星期四③

、由于当纬度不同时正反法截线不重合，故在椭球面上A、B、C三点所测角度不能构成闭合三角形。解决办法：用大地线代替相对法截线§4.5-

大地线第54页，共169页，2023年，2月20日，星期四二、大地线（测地线）（1）、定义：椭球面上两点间最短程曲线。①、大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的法线。即大地线上各点的法线与曲面法线重合。各点的法线不相交，大地线是空间曲线。②、大地线上任何点的密切面就是该点的法截面；（2）、大地线的性质③、曲面上连接任何两点的最短曲线必为大地线。④、大地线的曲率显然,子午圈和赤道及其上的弧段都是大地线.§4.5-

大地线第55页，共169页，2023年，2月20日，星期四（3）、正反法截线之间的夹角（4）、大地线与正法截弧之间的夹角为：在一等三角测量中，可达千分之一二秒，不容忽视。（5）、大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，可以忽略。在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据，在地面上测得的方向、距离、角度等，应当归算到相应大地线的方向、距离、角度。§4.5-

大地线第56页，共169页，2023年，2月20日，星期四三、大地线的微分方程和克莱劳方程1、大地线的微分方程:即dL、dB、dA与dS之间的关系式如图，P为大地线上任意一点，其经度为L，纬度为B，该点处大地线方位角训A，当大地线增加dS到P1点时，L，B，A的变化相应为dL、dB、dA、dS。dS在子午圈上分量P1P2=MdB,dS在平行圈上分量PP2=rdL=NcosBdL,又⊿PP2P1为一微分直角三角形，则有：§4.5-

大地线第57页，共169页，2023年，2月20日，星期四2由此可得1由球面直角三角形p1p3N

，根据角的余弦定理有：dA即：又近似地认为：§4.5-

大地线第58页，共169页，2023年，2月20日，星期四因而有：又因故有：3三个微分关系式可整理为：§4.5-

大地线第59页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、克莱劳方程由得代入有：得微分方程又因§4.5-

大地线第60页，共169页，2023年，2月20日，星期四解微分方程得克莱劳方程：式中常数C亦称大地线常数①、克莱劳定理表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。②、称大地线常数C的意义当大地线穿越赤道时，B=0º，A=A0，赤道半径为a，则：当大地线与平行圈相切时，B=B0，A=900，r=r0，则：§4.5-

大地线第61页，共169页，2023年，2月20日，星期四③、由克莱劳方程可知：可见，某一大地线常数等于椭球半径与该大地线穿越赤道时的大地方位角的正弦乘积，或等于该大地线上具有最大纬度的那点的平行圈半径。则有：④、由于r=NcosB,克莱劳方程又可写成：

rsinA=NcosBsinA=C

设u为归化纬度，a为长半径，根据归化纬度与子午平面直角坐标的关系有r=x=acosu，克莱劳方程还可表示为：克莱劳方程的意义：是经典的大地主题解算的基础。§4.5-

大地线第62页，共169页，2023年，2月20日，星期四一、归算原因与归算要求1、原因：测量计算是以参考椭球面和法为基准的，而野外地面观测的基准线是铅垂线，不是法线，而垂线与法线存在着垂线偏差，不能直接在地面上处理观测成果，应将地面元素归算到椭球面。2、归算的基本要求：（1）、以椭球面的法线为基准；（2）、将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。§4.6-将地面观测值归算至椭球面第63页，共169页，2023年，2月20日，星期四二、将地面观测的水平方向归算至椭球面将地面观测的水平方向归算至椭球面上的三差改正：垂线偏差改正δu：垂线偏差影起标高差改正δh

：照准点高于椭球面截面差改正δg：正反法截弧不重合§4.6-将地面观测值归算至椭球面第64页，共169页，2023年，2月20日，星期四在⊿R1RM中，由球面正弦定理得：1、垂线偏差改正δu：如图A为测站，M为观测目标，若M在ZZ1O垂直面内，无论以垂线为基准还是以法线为准，照准面均为ZZ1O，若M不在ZZ1O垂直面内，以垂线为基准的照准面为Z1MR1，以法线为基准的照准面为ZMR，以AO方向为参考方向，∠OAR1与∠OAR相差δu=∠RAR1。P′§4.6-将地面观测值归算至椭球面第65页，共169页，2023年，2月20日，星期四在球面⊿ZZ1M中，根据正弦定理有：由上式可见,垂线偏差改正主要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距(或竖直角)有关.§4.6-将地面观测值归算至椭球面P′第66页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、标高差改正δh：由照准点高度引起的改正经过垂线偏差改正后，测站点的观测值已加垂线垂线偏差改正，其法线便与垂线一致，测站高度对水平方向无影响。则通过某一照准点只能有一个法截面（黄色面）。由于不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的，当照准点高出椭球面某一高度时，照准面就不能通过照准点的法线与椭球面的交点（绿色面），由此引起方向偏差δh.

§4.6-将地面观测值归算至椭球面第67页，共169页，2023年，2月20日，星期四§4.6-将地面观测值归算至椭球面标高改正主要与照准点的高程有关。经此改正后,地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应法截弧方向。第68页，共169页，2023年，2月20日，星期四3、截面差改正δɡ:将法截弧方向化为大地线方向应加的改正。式中N1为测站处的卯酉曲率半径。该项改正很小，100公里约0.03”，只有一等控制网才估计此项改正。经过以上三项改正，则将地面方向观测值归算到椭球面上大地线的相应方向元素。§4.6-将地面观测值归算至椭球面第69页，共169页，2023年，2月20日，星期四三差改正主要关系量是否要加改正一等二等三、四等垂线偏差加加酌情标高差截面差不加经过三项改正，则将地面方向观测值归算到椭球面上大地线的相应方向元素。§4.6-将地面观测值归算至椭球面第70页，共169页，2023年，2月20日，星期四三、将地面观测的长度归算至椭球面根据测距方法不同，有两种情形：基线尺量距的归算与电磁波测距归算.1、基线尺量距的归算（学生自学）：将基线尺量取的距离经倾斜改正后，可认为是基线平均高程（Hm）面上的长度S0，平均高程面上的长度S0归算至椭球面上的大地线长s。A2B1L1h1S1L1S2h2§4.6-将地面观测值归算至椭球面第71页，共169页，2023年，2月20日，星期四（1）、垂线偏差对长度的影响①、垂线偏差在任方向（方位角为A）的分量：②、垂线偏差对长度的影响即水准面不平行于椭球面对长度的影响。AB'umHHSabS0DLBB""B"'B"h△HΔζ参考椭球面过A点的水准面过A点的椭球面

设u1与u2是A、B两点在基线方向的垂线偏差分量，又设垂线偏差沿基线方向是线性变化的，则有：如图h为A、B两点的高差，可用水准测量得到，D为A、B两点在水准面上的距，S0为在平均高的椭球面距离，由于垂线偏差的存在，水准面不平行椭球面，D与S0不相等。§4.6-将地面观测值归算至椭球面第72页，共169页，2023年，2月20日，星期四由图可知：那么有：即：进而可得：AB'umHHSabS0DLBB""B"'B"h△HΔζ参考椭球面过A点的水准面过A点的椭球面§4.6-将地面观测值归算至椭球面第73页，共169页，2023年，2月20日，星期四经过垂线偏差改正，基线平均水准面则平行于椭球面。

该项改正主要与垂线偏差分量u及基线端点的大地高差∑⊿h有关，数值较小，根据具体情况决定是否改正。③、高程对长度归算的影响如图可知：其中将上式展开高极数，取至二次项有：§4.6-将地面观测值归算至椭球面第74页，共169页，2023年，2月20日，星期四可得：顾及以上两项改正，地面基线归算到椭球面上的长度公式：至此，便将地面基线长度归算到椭球面上的长度。§4.6-将地面观测值归算至椭球面第75页，共169页，2023年，2月20日，星期四测线端点A、B的大地高为：2、电磁波测距的归算

由于法截线长度与大地线长度相差很小，法截线长度与以起点A曲率半径为半径的圆弧长相差也很小，则可认为大地线长是半径为RA的圆弧长。i为仪高，v为觇标高，ζ为高程异常。ABDH1H2地面椭球面大地水准面1）、电磁波测距的归算公式§4.6-将地面观测值归算至椭球面第76页，共169页，2023年，2月20日，星期四在⊿Q1Q2O中，由余弦定理有：根据三角函数半角公式有：则§4.6-将地面观测值归算至椭球面第77页，共169页，2023年，2月20日，星期四上式则为电磁波测距的归算公式。下面将上式进一步化简，令H1≈H2≈Hm=(H1+H2)/2,⊿h=H2-H1,则：展开级数，舍去五次项则，得：按反正弦函数1经过以上各项改正，则将电磁波测距仪所测斜距公算到参考椭球面上。§4.6-将地面观测值归算至椭球面第78页，共169页，2023年，2月20日，星期四由上式可知：第一项原始斜距第二项是由两点高差引起的改正，经此改正将测线化为平距；第三项是由平均测线高出参考椭球面引起的改正，经此改正后测线变为弦线；第四项为由弦线变为弧线的改正。§4.6-将地面观测值归算至椭球面第79页，共169页，2023年，2月20日，星期四1式还可用下式表达：令H1≈H2≈Hm=(H1+H2)/2,⊿h=H2-H1,可以证明：椭球半径的误差对边长归算结果影响很小，而高差误差对边长归算比较敏感。弦长公式：§4.6-将地面观测值归算至椭球面1第80页，共169页，2023年，2月20日，星期四四、将地面观测高程归算至大地高程§4.6-将地面观测值归算至椭球面第81页，共169页，2023年，2月20日，星期四§4.7-大地测量主题解算概述大地元素：大地经度L、大地纬度B、大地线长S、正反大地方位角A12与A21。 ？大地主题解算：已知某些大地元素推求另一些大地元素，分为正解与反解已知Pl点的大地坐标(L1，B1)，P1至P2的大地线长S及其大地方位角A12，计算P2点的大地坐标(L2，B2)和大地线S在P2点的反方位角A21，这类问题叫做大地主题正解。1、大地主题正解：已知(L1

，B1)，A12，S，计算(L2

，B2)，A21一、大地主题解算定义第82页，共169页，2023年，2月20日，星期四

由于计算公式均为极数式，收敛速度不同，解算精度与S有关，故根据大地线的长短，大地主题解算可分为：短距离(400km以内)，中距离(400—l000km)及长距离(1000km以上)三种。如果已知P1和P2点的大地坐标(L1，B1)和(L2，B2)，计算P1至P2的大地线长S及其正、反方位角A12，A21，这类问题叫做大地主题反解。2、大地主题反解：已知(L1，B1)，(L2，B2)，计算A12，S12，A21§4.7-大地测量主题解算概述第83页，共169页，2023年，2月20日，星期四3、大地主题解算方法：70余种，按基本思想可分为以下几类:（1）、以大地线微分方程为基础：

勒让德级数式，高斯平均引数公式都是以大地线微分方程为基础。这类方法特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，只适用于较短距离。§4.7-大地测量主题解算概述第84页，共169页，2023年，2月20日，星期四（2）、白塞尔大地主题解算方法

基本思想:基本特点：解算精度与距离无关，既适合短距离解算，又适合长距离解算。（展开式为e2或e’2的极数）§4.7-大地测量主题解算概述第85页，共169页，2023年，2月20日，星期四（3）、利用地图投影理论进行大地主题解算；（4）、对大地微分方程进行数值积分的大地主题解算方法；（5）、依据大地线外的其它线为基础的大地主题解算方法。§4.7-大地测量主题解算概述第86页，共169页，2023年，2月20日，星期四二、大地微分方程解法已知P1（L1，B1），则在P1处大地方位角为A12的大地线S上的任意点P2（L2，B2）及其大地方位角A21必是大地线的长度S的函数:B2=B(S）L2=L(S)A21=A(S)在P1处展开为S的级数有：大地主题正解公式§4.7-大地测量主题解算概述A1P2(L2,B2)NP1(L1,B1)S若能求出各阶导数，便可得正解公式。下面来求各阶导数:第87页，共169页，2023年，2月20日，星期四由大地线的微分公式，得其一阶导数为：§4.7-大地测量主题解算概述

同理，可求出B对S的高阶导数以及L、A对S的各阶导数。代入麦克劳林级数展开式，即可得正算公式。第88页，共169页，2023年，2月20日，星期四并将上述符号及各阶导数代入级数展开式即可大地正解公式：引用符号§4.7-大地测量主题解算概述第89页，共169页，2023年，2月20日，星期四因其级数收敛较慢，只适用于边长短于30km的情况。§4.7-大地测量主题解算概述第90页，共169页，2023年，2月20日，星期四1）、基本思想：①、把勒让德在大地线中点M展开，以使项数少，收敛快，精度高。②、由于求定中点M很复杂，将M点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并用迭代计算实现大地主题正算。

三、高斯平均引数公式1、高斯平均引数正算公式：

已知(L1,B1)，A12，S12，计算(L2，B2)，A21。设M点是大地线P1P2的中点，P1P2=S则有：MP2=S/2，MP1=-S/2仿勒让德级数，在M点展开得：122）、公式推导：§4.7-大地测量主题解算概述第91页，共169页，2023年，2月20日，星期四类似地，有：两式相减（偶数项全被抵消），得：12与若能求得以上各式中的各阶导数，便可得到高斯引平均数正算公式。下面来讨论相关计算。§4.7-大地测量主题解算概述12第92页，共169页，2023年，2月20日，星期四类似地，有：其中：两式相加（奇数项全被抵消）除以2，得：12与式中:12先来求的各阶导数：已知：§4.7-大地测量主题解算概述第93页，共169页，2023年，2月20日，星期四由大地线微分方程：可知是大地纬度B和大地方位角A的函数，那么有：将上式中的系数在均点Bm，Am处再展开为级数得：§4.7-大地测量主题解算概述目的：求各阶系数注意：中点M并非均点m第94页，共169页，2023年，2月20日，星期四亦即：由大地线的微分公式：对上式求导，得：由于BM与Bm相差很小，取：将以上各式代入以下：便将求化为求各阶导数、（BM-Bm）及（AM-Am）.§4.7-大地测量主题解算概述第95页，共169页，2023年，2月20日，星期四将以上各式代入正式便可得：将上式两边同乘以S得：§4.7-大地测量主题解算概述令将上所求代入：第96页，共169页，2023年，2月20日，星期四将上所求代入：可得：§4.7-大地测量主题解算概述第97页，共169页，2023年，2月20日，星期四依照以上可得：以上三式可用于解算120km主题问题，当距离小于70km时，可略去ηm2项。进而：§4.7-大地测量主题解算概述第98页，共169页，2023年，2月20日，星期四因计算Bm,Lm，Am要用到B2,L2,

A2，而B2,L2,

A2为求知量，因此需要迭代计算。3）、用迭代法计算Bm,Lm，AmB、则Bm,Am,Lm的初值为：A、由4-221式：§4.7-大地测量主题解算概述第99页，共169页，2023年，2月20日，星期四C、迭代计算公式为：直到：

其中ΔB（K）

，ΔA（K）可用下式计算。§4.7-大地测量主题解算概述D：最后结果：第100页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、高斯平均引数反算公式已知(L1，B1)，(L2

，B2)，计算A12，S12

，A21.由于已知(L1，B1)，(L2，B2)，

⊿B，⊿L，Bm亦已知.那么可由正解公式推求反算公式.由正算公式移项，将分母采用级数展开，整理可得:§4.7-大地测量主题解算概述第101页，共169页，2023年，2月20日，星期四右端第二项与第一项相比为小量，可以作近似：将右端第二项中所含S·sinAm，S·cosAm用上式右端代入可得：第102页，共169页，2023年，2月20日，星期四由此求出S·sinAm，S·cosAm，便可得平均方位角和大地线长度如下：再将以上求得的S·sinAm，S·cosAm

代入下式又可求得⊿A，最后得起终点的大地方位角为：12§4.7-大地测量主题解算概述第103页，共169页，2023年，2月20日，星期四一、地图数学投影变换的意义和投影方程1、地图数学投影：将椭球面上的元素（L，B，A，S）按一定的数学法则投影到平面上。投影方程可表示为：

X=F1(L,B)Y=F2(L,B)上式表达了椭球面上一点同投影面上相应点坐标之间的解析关系，也叫坐标投影方程，F1和F2称投影函数。2、地图投影主要研究内容：

1）、投影方法

2）、投影方程的解析式投影方法的本质特征都是由投影条件和投影函数F的具体形式决定的。§4.8-

地图数学投影变换的基本概念第104页，共169页，2023年，2月20日，星期四dSds二、地图的投影变形1、长度比m：投影面上无限小微分线段ds与椭球面上相应的微分线段dS之比。（1）、不同点的长度比不同（2）、同一点上不同方向的长度比不同（3）、m可大于1，等于1，小于1。§4.8-

地图数学投影变换的基本概念第105页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、主方向和变形椭圆（1）、主方向：在椭球面上有两个正交的方向投影到平面上后仍然正交，则这两个方向为主方向。

性质：主方向投影后具有最大和最小长度比。§4.8-

地图数学投影变换的基本概念第106页，共169页，2023年，2月20日，星期四（2）变形椭圆若对应于最大和最小长度比方向在椭球

面上为x轴和y轴方向，在投影面上为x′和y′方向，a为x轴方向的长度比,b为y轴方向的长度比,则有：即椭球面上1AB则变形椭圆方程为XY投影面上rA′B′y′x′§4.8-

地图数学投影变换的基本概念单位圆第107页，共169页，2023年，2月20日，星期四3、投影变形（1）、长度变形v：长度比m与1之差

v=m-1任意方向的长度比m:§4.8-

地图数学投影变换的基本概念椭球面上1ABXY投影面上rA′B′y′x′投影后的变形椭圆投影前的单位圆单位圆第108页，共169页，2023年，2月20日，星期四（2）、方向变形:设投影前从主方向起OP的方位角为α,投影后O′P′的方位角为α´,(α´-α)之差称为方向变形.投影面上xy某方向（以主方向起始）投影后为1，则有：椭球面上

ηξ§4.8-

地图数学投影变换的基本概念第109页，共169页，2023年，2月20日，星期四由三角公式，得：显然，当=′时,亦即在主方向,没有方向变形当+′

=90°或270°时，方向变形最大,若0与0′为最大变形方向，则最大变形量可表示为：顾及：§4.8-

地图数学投影变换的基本概念解得最大变形方向为：第110页，共169页，2023年，2月20日，星期四（3）、角度变形：投影前的角度u与投影后的角度u′之差。

Δu=u′-u两方向、所夹角u的变形称为角度变形，用Δu表示。即：xyABαβuo投影前的角度ux′y′A′B′α′β′u′o投影后的角度u′§4.8-

地图数学投影变换的基本概念若角度变形最大，则方向变形应最大，即思考：直观上理解，角度变形与方向变形有何关系？第111页，共169页，2023年，2月20日，星期四

显然，当+′

=90°、+′=270°或+′=270°、+′=90°时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：§4.8-

地图数学投影变换的基本概念角度变形是方向变形的两倍第112页，共169页，2023年，2月20日，星期四（4）、面积变形：p-1

原面单位圆面积为π，投影后变形椭圆面积abπ,则投影面积比为：得面积变形(p-1)。投影前的单位圆投影后的变形椭圆其中，a为x轴方向的长度比,b为y轴方向的长度比。§4.8-

地图数学投影变换的基本概念第113页，共169页，2023年，2月20日，星期四四、地图投影分类1、按变形性质分：①、等角投影——正形投影：长度比只与位置有关，与方向无关，某点的长度比为一常数。a-b=0或a=b②、等积投影：投影前后面积不变，即面积比为1。P=ab=1③、等距投影：某一主方向长度比为1。

a=1或b=1④任意投影：a≠b，ab≠1§4.8-

地图数学投影变换的基本概念第114页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、按采用的投影面和投影方式分类§4.8-

地图数学投影变换的基本概念第115页，共169页，2023年，2月20日，星期四

一、控制测量对地图投影的要求1、应采用等角投影

等角投影的优点:.可以免除大量角度观测元素的投影归算工作；

.可以在有限的范围内使地图上图形与椭球上原形保持相似。2、长度和面积变形应不大

.能用简单的公式计算变形改正数；3、分带投影

.为了使变形量控制在一定范围内应分带投影，各带可联成一整体，并能相互换算。§4.9-

高斯平面直角坐标系第116页，共169页，2023年，2月20日，星期四二、高斯投影由高斯提出并最先使用（但未发表），由史赖伯1866年整理发表，后来，克吕格对其补充和完善。所以又称高斯-克吕格投影。

假想将地球椭球套在一个椭圆柱筒内，地球椭球的某一子午线（中央子午线）与椭圆柱相切，用一定的投影方法将中央子午线两侧一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将椭圆柱面展开为平面。目前，英国、美国、德国、中国、俄罗斯等均采用该投影。§4.9-

高斯平面直角坐标第117页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、高斯投影（正形投影）的性质：（1）投影后角度不变（2）长度比与点位有关，与方向无关（3）离中央子午线越远变形越大（4）投影后，除中央子午线外，长度增大3、高斯投影带的划分

为控制投影后的长度变形，采用分带投影的方法。常用3度带或6度带分带，城市或工程控制网坐标采用任意带分带。1、高斯投影的条件：

（1）、是正形投影，投影后角度不变；

（2）、中央子午线不变形§4.9-

高斯平面直角坐标第118页，共169页，2023年，2月20日，星期四已知6度带的带号n计算其中央子午线的经度L0：已知某点的经度L计算其所在6度带的带号n：已知3度带的带号n′计算其中央子午线的经度L0′：已知某点的经度L计算其所在3度带的带号n′：§4.9-

高斯平面直角坐标第119页，共169页，2023年，2月20日，星期四

4、国家统一坐标理论上中央子午线的投影是x轴，赤道的投影是y轴，其交点是坐标原点。x坐标是点至赤道的距离；y坐标是点至中央子午线的距离，有正有负。为了避免y坐标出现负值，其名义坐标加上500公里。为了区分不同投影带中的点，在点的Y坐标值上加带号N

所以点的横坐标通用表示的值为

y=N1000000+500000+y1919年德国学者巴乌盖尔建议采用30带，将坐标纵轴西移500km，并在纵坐标前冠以带号。§4.9-

高斯平面直角坐标第120页，共169页，2023年，2月20日，星期四5、椭球面元素化算到高斯投影面主要内容：（1）.（L，B）=>（x，y)，称之为高斯正算； 为了检核，还要反算，即(x,y)=>

（L，B）（2）.角度：将椭球面上起算大地方位角APK归算到高斯平面上相应.边P´K´的坐标方位角αP´K´，需计算收敛角γ与方向改化δ。椭球面高斯投影面大地线平行圈中央子午线赤道中央子午线平行圈大地线§4.9-

高斯平面直角坐标第121页，共169页，2023年，2月20日，星期四（3）.边长：将椭球面上起边PK长S归算到高斯平面上的直线长s。（4）、内角：将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上由相应直线组成的三角形内角。需计算曲率改化即方向改化δ。椭球面高斯投影面大地线平行圈中央子午线赤道中央子午线平行圈大地线§4.9-

高斯平面直角坐标第122页，共169页，2023年，2月20日，星期四三、正形投影的一般条件高斯投影为正形投影的一种特例，故先研究正形投影的一般条件出发点：在正形投影中，长度比与方向无关。1、长度比的通用公式如图，在微分直角三角形P1P2P3及P1′P2′P3′中有：MdBNcosBdl§4.9-

高斯平面直角坐标第123页，共169页，2023年，2月20日，星期四§4.9-

高斯平面直角坐标则m2为：令则因为q只与纬度B有关，所以称q为等量纬度，由于B与L相互独立，因而dB与dl也相互独立。MdBNcosBdl第124页，共169页，2023年，2月20日，星期四则长度比m2可表示为：等量纬度的物理意义：相同的dq与dl所对应的椭球面上的弧长相同.其中：r=NcosB令§4.9-

高斯平面直角坐标第125页，共169页，2023年，2月20日，星期四根据投影关系可知平面坐标x、y是大地坐标B、L的函数：X=F1(L,B)Y=F2(L,B)那么平面坐标x、y必是等量纬度q、经差l的函数，设其函数式为：X=X(l,q)Y=Y(l,q)求微分，得dx、dy与dq与dl的关系式：将上式代入§4.9-

高斯平面直角坐标第126页，共169页，2023年，2月20日，星期四可得：并令：则，长度比公式为：代入§4.9-

高斯平面直角坐标第127页，共169页，2023年，2月20日，星期四2、柯西－黎曼条件：由图可知：MdBNcosBdl当A=0°或180°，得经线方向长度比：当A=90°或270°，得纬线方向长度比：§4.9-

高斯平面直角坐标第128页，共169页，2023年，2月20日，星期四正形投影长度比与方向A无关，要使m与A脱离关系，则必须满足F=0，E=G，即：12由式可得：13将式代入式可得：23§4.9-

高斯平面直角坐标第129页，共169页，2023年，2月20日，星期四考虑到导数的方向（x随q增加而增加,y随l增加而增加），开根得：再代入由此可得椭球面到平面的正形投影的一般公式，又称柯西－黎曼条件：12§4.9-

高斯平面直角坐标第130页，共169页，2023年，2月20日，星期四同理可得由平面正形投影到椭球面上的一般条件：当F=0，E=G时长度比公式可化为：§4.9-

高斯平面直角坐标第131页，共169页，2023年，2月20日，星期四3、柯西－黎曼条件的几何意义ABC如图：AB是子午线（L=常数）上的微分弧在平面上的投影，AC是平行圈上（B=常数）的微分弧在平面上的投影，

△ABB′与△ACC′相似，故有：γ是A点处子午线收敛角。§4.9-

高斯平面直角坐标第132页，共169页，2023年，2月20日，星期四平行圈微分弧上，B＝常数对投影方程全微分有：子午微分弧上，L＝常数

投影方程那么Y随B增加而减少§4.9-

高斯平面直角坐标第133页，共169页，2023年，2月20日，星期四那么由上式可得：柯西－黎曼条件进而可得子午线收敛角计算公式：长度比计算公式：§4.9-

高斯平面直角坐标第134页，共169页，2023年，2月20日，星期四高斯投影必须满足的三个投影条件中央子午线投影后为直线中央子午线投影后长度不变正形投影条件，投影后角度不变X为l的偶函数，y为l的奇函数

即当B＝常数，l以-l代换时，x值不变号，y值则变号,其中l=L-L0，L0为中央子午线经度。··(l,B)(X,Y)P1(-l,B)(X,-Y)P2四、高斯投影坐标的正反算公式第135页，共169页，2023年，2月20日，星期四1、高斯投影正算公式椭球面到平面的投影方程可表示为

x=x(l,B),y=y(l,B)

将以上两式展开为经差l的级数形式：··(l,B)(X,Y)P1(-l,B)(X,-Y)P2§4.9-

高斯平面直角坐标mi均为B的函数，且：x为l的偶函数，故只有偶数次项；y为l的奇函数，帮只有奇数资项。第136页，共169页，2023年，2月20日，星期四式中：mi是纬度B的函数，也是等量纬度q的函数如确定了各系数，则x，y与l，B的转换关系式便确定了。上两式对l,q求偏导数有：根据高斯投影的第三个条件：正形投影条件（柯西-黎曼条件）§4.9-

高斯平面直角坐标第137页，共169页，2023年，2月20日，星期四则：即：可见，要求（x,y）与（l,q）的关系式，关键在于确定m0，m1，m3…，其中关键又在于确定m0。§4.9-

高斯平面直角坐标第138页，共169页，2023年，2月20日，星期四l（x，y）如图，当l=0，即点在中央子午线上时，有x=m0=X,其中X为从赤道到纬度为B处中央子午线上的子午弧长。可以用弧长计算公式求得。那么可求得m0：顾及子午弧长微分公式及则那么可求得m1：§4.9-

高斯平面直角坐标第139页，共169页，2023年，2月20日，星期四仿此依次求得m3，m4…可求得m2：

最后得高斯正算公式：§4.9-

高斯平面直角坐标第140页，共169页，2023年，2月20日，星期四设从高斯平面投影到椭球面的投影方程为:B=φ1(x,y)l=φ2(x,y)并满足如下条件：（1）、x轴投影后为中央子午线，是投影的对称轴（2）、x轴长度投影后不变（3）、正形投影显然B是y的偶函数，l是y的奇函数。因而投影方程可写成如下级数形式:··(l,B)(X,Y)P1(-l,B)(X,-Y)P22、高斯反算公式：第141页，共169页，2023年，2月20日，星期四式中:n0，n1，n2，n3，…，是待定系数，都是x的函数。若求出各系数，便可得到两种坐标的换算关系式，下面来求各系数：又：可得：§4.9-

高斯平面直角坐标第142页，共169页，2023年，2月20日，星期四因面得：令两边系数相等：可见要求得n0,n1,n2，…，关键在于求n0。§4.9-

高斯平面直角坐标第143页，共169页，2023年，2月20日，星期四当y=0时，x=X，中央子午线上与弧长X对应的纬度用Bf表示，则

B=n0=Bf

Bf称为底点纬度，可以用弧长X计算得到。那么n0为：

n0=Bf又因为可得n1为：§4.9-

高斯平面直角坐标第144页，共169页，2023年，2月20日，星期四依次求得其它各系数：将各系数代入级数式可得高斯反算公式：§4.9-

高斯平面直角坐标第145页，共169页，2023年，2月20日，星期四1）、正算：由于l不大，将正算公式写成l的级数形式：3、高斯投影正反算公式的几何解释：当l=0时，x=X，y=0,即位于P′处；当l≠0时，y≠0,

x≠X，其差为△x，即位于P处。正算是在中央子午线上P´点展开l的级数.§4.9-

高斯平面直角坐标第146页，共169页，2023年，2月20日，星期四当y=0时，l=0,x=X,B=Bf；当y≠0时，x≠X，B≠BfB＝Bf－⊿B反算是在中央子午线上P˝点展开y的级数。2）、反算：由于y不大，将反算公式写成y的级数形式：§4.9-

高斯平面直角坐标第147页，共169页，2023年，2月20日，星期四2）、高斯正、反算特点：§4.9-

高斯平面直角坐标①、椭球面上除中央子午线外，其它子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午线和赤道。②、椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为关于赤道对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直，并凹向两极。③、距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。4、高斯投影正反算公式的实用公式-P173-176：第148页，共169页，2023年，2月20日，星期四五、平面子午线收敛角的计算公式平行圈子午线沿平行圈纬度B不变，dq=0,求微分得：1、用L，B计算平面子午线收敛角的计算公式如图,两曲线为子午线与平行圈在平面上的投影,为收敛角.§4.9-

高斯平面直角坐标第149页，共169页，2023年，2月20日，星期四求微分得：对高斯正算公式代入公式§4.9-

高斯平面直角坐标第150页，共169页，2023年，2月20日，星期四可得：根据进而可得：1§4.9-

高斯平面直角坐