2022-2023学年上海市控江中学高一年级下册学期开学考试数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市控江中学高一下学期开学考试数学试题一、填空题1．已知全集，则_________.【答案】【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：，则.故答案为：.2．函数的定义域是__________.【答案】【分析】根据题意列出不等式解出即可.【详解】要使函数有意义则：，所以函数的定义域为，故答案为：.3．已知幂函数的图像不经过原点，则实数__________.【答案】【分析】根据幂函数的定义及定义域直接求参数值.【详解】由已知函数为幂函数，得，解得或，当时，，定义域为，函数图像不经过原点，当时，，定义域为，且，函数图像经过原点，综上所述：，故答案为：.4．数列中，若，且，则__________.【答案】【分析】利用等差数列通项公式可直接求得结果.【详解】由，知：数列是以为首项，为公差的等差数列，.故答案为：.5．函数在区间上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数在区间为严格减函数，所以二次函数对称轴，故答案为：6．设函数f（x），若f（α）＝9，则α＝_____．【答案】﹣9或3【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得或，∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.7．若数列满足，前5项和为，则__________.【答案】【分析】分和两种情况讨论，结合等比数列的求和公式以及通项公式运算求解.【详解】设数列的前项和为，∵，则有：当时，则，故，不合题意；当时，则数列是以公比的等比数列，故，解得，则；综上所述：.故答案为：.8．定义在R上的奇函数在上的图像如图所示，则不等式的解集是____.【答案】【分析】根据奇函数关于原点对称得函数简图，再分类讨论解不等式即可.【详解】根据函数为奇函数，可作出函数的简图，如图所示：不等式或或，由图可得：或或，综上：解集为：故答案为：.9．已知（为正整数），且数列共有100项，则此数列中最大项为第__________项.【答案】45【分析】根据数列的通项公式，判断数列的单调性，即可判断数列的最大项.【详解】由解析式可知，时，当时，数列单调递减，且当时，数列单调递减，且，所以当时，数列取得最大值.故答案为：4510．已知函数在上严格增，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】利用分段函数单调递增列不等关系求解即可【详解】因为函数在上严格增，所以，解得，即实数的取值范围是，故答案为：11．已知函数，，与函数，，对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】根据恒能成立的思想可确定两函数值域的包含关系，结合指数函数和一次函数值域的求法，根据包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】设的值域为，的值域为，由对任意，总存在，使得成立知：；在上单调递减，，即；当时，，即，满足；当时，在上单调递增，，即，由得：，解得：；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.12．已知函数，若实数满足，则的最大值为__________.【答案】【分析】由题知满足任意，都有，进而得，再根据基本不等式求解即可.【详解】解：令，因为，所以，函数是上的奇函数，所以函数关于中心对称，所以，关于中心对称，所以，满足任意，都有.因为，所以，即.；当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为，故答案为：.二、单选题13．若、为实数，则成立的一个充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将命题进行等价变换，即可得其充要条件.【详解】⇔故选D．【点睛】本题考查用不等式的性质等价转化不等式,要注意不等式性质成立的条件,属于基础题.14．若函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）的定义域为，则取值范围是A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数函数的性质，将函数的定义域转化为kx2+4kx+3＞0恒成立即可．【详解】要使函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则kx2+4kx+3＞0恒成立．若k＝0，则不等式kx2+4kx+3＞0等价为3＞0，∴k＝0成立．若k≠0，要使kx2+4kx+3＞0恒成立，则，即，解得．综上：．故选B.【点睛】本题以对数函数的定义域为切入点，主要考查了不等式恒成立问题，其中要注意对二次项系数k的讨论是解答本题的关键．15．等差数列中，首项为、公差不为零，前项和为，若是的3倍，则与的比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意结合等差数列的前项和运算求解.【详解】由题意可得：，则，即，注意到，整理得.故选：A.16．已知非空集合满足：，已知函数，对于下列两个命题：①存在无穷多非空集合对，使得方程无解；②存在唯一的非空集合对，使得为偶函数.下列判断正确的是（

）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确C．①②都正确 D．①②都错误【答案】A【分析】根据分段函数的性质，可得答案.【详解】设，，，易知当时，，当时，，令，解得，故①正确；当，时，显然函数为偶函数；当，时，由，解得，故函数此时也为偶函数，故②错误.故选：A.三、解答题17．已知等差数列中，首项，公差，且是等比数列的前三项.(1)求数列与的通项公式；(2)设数列的前项和为，且记，试比较与的大小.【答案】(1)(2)当时，；当时，；当为正整数.【分析】（1）根据等差数列定义并利用等比数列性质可解得公差，再求出数列的前三项可得其公比，即可写出数列与的通项公式；（2）利用等差数列前项和公式和对数运算法则可得，，作差法即可比较出与的大小.【详解】（1）由题意可得，由等比数列性质可得，即，解得或（舍）所以，即，所以数列是以为首项，公比的等比数列；即，所以数列与的通项公式分别为（2）由等差数列前项和公式可得；由可得，所以，由于，所以当时，，即；当时，，，当时，，综上可得，当时，，当时，，当为正整数.18．已知函数.（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）设函数.当时，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）当时；（2）由等价于，解之得.试题解析：（1）当时，.解不等式，得.因此，的解集为.（2）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于.①当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.【解析】不等式选讲.19．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？【答案】(1)(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.【分析】(1)根据产量的不同取值范围讨论利润y关于产量x的不同对应关系即可求解.(2)分别求出分段函数的最大值，比较大小即可求出利润的最大值.【详解】（1）当时，；当时，.所以，；（2）当时，，当时，y取得最大值，最大值为850万元；当时，，当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为1300万元.综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.20．已知数列的前项和满足：为常数，且，；（1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）若数列是（2）中的等比数列，数列，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由公式求得通项公式；（2）简化数列，再由等比数列的通项公式的结构特征，得出，解得参数；（3）由（2）求出数列的通项，根据通项结构特征，采用错位相减法求数列的前项和．【详解】解：（1）当时，，，，当时，且，两式做差化简得：即：，数列是以为首项，为公比的等比数列，．（2），若数列为等比数列，则，即．（3）由（2）知，

①

②①②得：．【点睛】本题主要考查求数列通项公式，已知等比数列求参数，求数列前项和，利用错位相减求前前项和是关键，属于中档题．21．已知函数，记.(1)求不等式的解集：；(2)设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围；(3)记（其中均为实数），若对于任意的，均有，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用因式分解法，结合指数函数的单调性进行求解即可；（2）利用换元法，结合指数函数的单调性、对钩函数的单调性、基本不等式进行求解即可；（3）根据二次函数