开普勒方程资料

开普勒方程资料第1页/共44页授课内容卫星轨迹的预测开普勒方程的求解开普勒轨道根数第2页/共44页1.1轨道预报已知t0时刻卫星的位置r0，速度v0，预报时刻t,卫星的位置r和速度v在极坐标下ieip如何计算的?第3页/共44页1.1轨道预报第4页/共44页1.1轨道预报带入位置r和速度v的表达式中回到原始问题，已知t0,r0,v0，求时刻t的r和速度v第5页/共44页1.1轨道预报需要开普勒第二定律主要求解出上述方程，就可以得到真近点角f与时间t之间的关系，进而预报卫星在轨道的位置和速度。第6页/共44页授课内容卫星轨迹的预测开普勒方程的求解开普勒轨道根数第7页/共44页2.1开普勒方程当0≦e<1时，引入一个新的角度E（偏近点角）在以C点（椭圆中心）为原点的坐标系中第8页/共44页2.1开普勒方程在以F点（椭圆一个焦点）为原点的坐标系时，椭圆参数方程为坐标系原点平移到C点后，椭圆参数方程为得到r与E

的数学关系第9页/共44页2.1开普勒方程进一步，可以得到第10页/共44页2.1开普勒方程上述两式相除，再开平方，得到上式两边同时对时间求导数第11页/共44页2.1开普勒方程由开普勒第二定理积分，得到著名的开普勒方程，表示了时间与真近点角的函数关系，其中τ

是一个新的积分常数第12页/共44页2.1开普勒方程定义平近点角M：通过开普勒方程，可以得到运动时间t

与偏近点角E，根据E与真近点角f的关系，得到f，进而进行卫星轨道的预报。现在的问题是如何求解开普勒方程？第13页/共44页2.2开普勒方程的求解第一种方法：序列迭代法迭代停止条件第14页/共44页2.2开普勒方程的求解迭代格式是否收敛？课堂练习：编制开普勒迭代求解matlab程序第15页/共44页2.2开普勒方程的求解M=pi/2;E0=0;E1=1;tem=0;e=0.2;n=0;while(abs(E1-E0)>1e-6)E0=tem;E1=M+e*sin(E0);tem=E1;n=n+1;endn当n=6时，E收敛第16页/共44页2.2开普勒方程的求解第二种方法：拉格朗日方法（1770年）考虑函数α为一个小参数，如椭圆偏心率第17页/共44页2.2开普勒方程的求解第18页/共44页2.2开普勒方程的求解开普勒方程的拉格朗日级数解E=M+e*sin(M)+e^2/2*2*cos(M)*sin(M)+e^3/6*(6*cos(M)^2*sin(M)-3*sin(M)^3)+e^4/24*(24*cos(M)^3*sin(M)-40*cos(M)*sin(M)^3)+e^5/120*(65*sin(M)^5+120*cos(M)^4*sin(M)-440*cos(M)^2*sin(M)^3)第19页/共44页2.2开普勒方程的求解拉格朗日系数求解问题n=5;symsM,n;ff=diff(sin(M)^n,n-1)拉格朗日级数收敛问题第20页/共44页2.2开普勒方程的求解第三种方法：牛顿迭代法给定方程解的一个初始猜测值x0迭代停止条件第21页/共44页2.2开普勒方程的求解课堂练习题：推导开普勒方程的牛顿迭代格式，并编制Matlab程序，比较与第一种迭代格式的区别第一种迭代格式第22页/共44页2.2开普勒方程的求解M=pi/2;E0=0;E1=1;tem=0;e=0.8;n=0;while(abs(E1-E0)>1e-6)E0=tem;E1=M+e*sin(E0);%E1=E0-(E0-M-e*sin(E0))/(1-e*cos(E0));tem=E1;n=n+1;endne=0.8时，第一种迭代格式需要20次，牛顿迭代法需要6次第23页/共44页2.2开普勒方程的求解其他方法：傅里叶级数法高斯法e=1，抛物线;e>1,双曲线有类似的结果第24页/共44页2.2开普勒方程的求解课后作业应用三种方法求解开普勒方程，计算M=260°，e=0.8时的偏近点角E和真近点角f，并对结果进行对比分析。第25页/共44页2.3卫星轨道的预报已知t0,r0,v0，求时刻t的r和速度v第26页/共44页2.3卫星轨道的预报课后作业以x0=[-5292392.072;-4862.201380;3111662.355;-4136.781314;3101114.660;-4147.028008]人造地球轨道卫星的初始条件，应用本节的知识，预测2天后卫星的位置和速度，并与Matlab的结果进行比较。第27页/共44页授课内容卫星轨迹的预测开普勒方程的求解开普勒轨道根数第28页/共44页3.1开普勒轨道根数已经得到的二体运动方程积分常数轨道角动量矢量h，偏心率矢量e，卫星过近地点时刻τ第29页/共44页3.1开普勒轨道根数第30页/共44页3.1开普勒轨道根数轨道根数描述轨道大小半长轴a常数轨道形状偏心率e常数轨道面方位轨道倾角i和升交点赤经Ω常数轨道方位近地点角距ω常数航天器在轨道中的位置真近点角f非均匀变化平近点角M均匀变化纬度幅角ω+f非均匀变化第31页/共44页3.2开普勒轨道根数与星下点轨迹星下点轨迹：航天器质心与地心连线与地球表面的交点航天器轨道周期第32页/共44页3.2开普勒轨道根数与星下点轨迹星下点轨迹与轨道半长轴

地球同步轨道第33页/共44页3.2开普勒轨道根数与星下点轨迹星下点轨迹与轨道倾角星下点轨迹的最高纬度就是航天器轨道倾角第34页/共44页3.2开普勒轨道根数与星下点轨迹星下点轨迹与轨道偏心率第35页/共44页3.3开普勒轨道根数的计算已知位置矢量和速度矢量，求6个轨道根数第36页/共44页3.3开普勒轨道根数的计算已知6个轨道根数，求卫星位置矢量和速度矢量ieip第37页/共44页3.3开普勒轨道根数的计算第38页/共44页3.3开普勒轨道根数的计算第一章作业functionrobit_computermu=3.986004418e+14;%地球引力常数tspan=[0:60:86400];options=odeset('AbsTol',1e-15,'RelTol',1e-12','NormControl','on');x0=[-5292392.072;-4862.201380;3111662.355;-4136.781314;3101114.660;-4147.028008];[T,Y]=ode45('orbit',tspan,x0,options,mu);课后作业：将第一章作业中计算的每一个时刻的位置速度转换6个轨道根数