2023年3月21日数学中考模拟试卷

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一、解答题（共15小题；共159分）

1.二次函数??=??????

2?1

的图象在对称轴的右侧，??随??的增大而增大，求??的值．

2.阅读下面解题过程，解答相关问题．

请你利用上面求一元二次不等式解集的过程，求不等式??2?3??≤0的解集．解：步骤一：构造二次函数??=.在坐标系中画出示意图，如图.步骤二：求得方程的解为.步骤三：借助图象，可得不等式??2?3??≤0的解集为.

3.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为40m的围网在水库中围成了如下图的①②二块矩形区域．设????的长度为??m，矩形区域????????的面积为??m2．

（1）求??与??之间的函数关系式；

（2）??为何值时，??有最大值?最大值是多少?4.已知二次函数??=??2+2??+1?????+1．

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（1）随着??的变化，该二次函数图象的顶点??是否都在某条抛物线上?假使是，请求出该抛物

线的函数表达式；假使不是，请说明理由．

（2）假使直线??=??+1经过二次函数??=??2+2??+1?????+1图象的顶点??，求此时??

的值．

5.已知二次函数??=??2????2及实数??>?2．求：（1）函数在?2答案

第一部分1.∵??=??????

2?1

是二项函数．

∴??2?1=2．

又∵在对称轴右侧，图象??随??增大而增大．∴??>0，解得??=3．2.步骤一：??2?3??，

步骤二：??2?3??=0，??1=0，??2=3；步骤三：0≤??≤3.

3.（1）设????的长度为??m，则????=340???，则矩形区域????????的面积??=3??40???=?3??2+（2）∵??=?3??2+

1

403

1

1

403

1

??．

??=?3???202+

4003

14003

，

∴当??=20时，??有最大值，最大值是求该抛物线的函数表达式如下：

m2．

4.（1）该二次函数图象的顶点??是在某条抛物线上．利用配方，得??=??+??+12???2?3??，顶点坐标是P????1,???2?3??．

方法一：分别取??=0,?1,1，得到三个顶点坐标为??1?1,0，??20,2，??3?2,?4，过这三个顶点的二次函数表达式是??=???2+??+2．

将顶点坐标??????1,???2?3??代入??=???2+??+2的左、右两边，左边=???2?3??，

右边=?????12+????1+2=???2?3??，∴左边=右边，

即无论??取何值，顶点??都在抛物线??=???2+??+2上，即所求抛物线的函数表达式是??=???2+??+2．（注：方法一中必需有“左边=右边〞的证明）方法二：令????1=??．将??=????1代入??=???2?3??，

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得??=?????12?3????1=???2+??+2．即所求抛物线的函数表达式是??=???2+??+2．

（2）假使顶点??????1,???2?3??在直线??=??+1上，则???2?3??=????1+1，即??2=?2??．∴??=0，或??=?2．

∴当直线??=??+1经过二次函数??=??2+2??+1?????+1图象的顶点??时，??的值是?2或0．5.（1）函数??=??2????2的图象如图．

当?20，∴抛物线与??轴必有两个交点．

∴不管??取何值，抛物线与??轴必有两个交点，且有一个交点是??2,0．（2）∵??2,0，????2+3,0，∴??=????=??2+1．

11.（1）∵点??是直线??=??+1与??轴的交点，∴???1,0．

设顶点为0,?1的抛物线的解析式为??=????2?1，∵点???1,0在抛物线??=????2?1上，∴0=???1，∴??=1，

∴抛物线的解析式为??=??2?1；

??=??+1,（2）解方程组

??=??2?1.

??=?1,??2=2,得1

??1=0,??2=3.故点??的坐标为2,3．

（3）设平移后的抛物线的解析式为??=?????2+2??，把??=??代入??=?????2+2??，得??=?????2+2??，

整理得，??2?2??+1??+??2+2??=0，

由题可得??=2??+12?4×1×??2+2??=1?4??≥0，解得??≤4．

故当??≤4时，平移后的抛物线总有不动点．?1???+??=0,12.（1）由题意得：

?16+4??+??=0.

??=3,解得

??=4.

∴抛物线的表达式为??=???2+3??+4．（2）∵??点坐标为0,4，

∴△??????为等腰直角三角形，且∠??????为直角．∵??，??，??为顶点的三角形与△??????相像，

11

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∴△??????为等腰直角三角形，又????⊥直线??，∴????=????．

设????,???2+3??+4??>0，则????=??，????=∣???2+3??+4?4∣=∣??2?3??∣．∴??=∣??2?3??∣，

∴??2?3??=±??，解得??=2或??=4．∴点??的坐标为2,6或4,0．（3）∵??0,4，??4,0，∴直线????的表达式为??=???+4，

设????,???2+3??+4??>0，则????,???+4，∴????=???2+3??+4????+4=???2+4??．

∴??△??????=??△??????+??△??????=??+4???×????=×4×????=?2??2+8??=?2???22+8．

2

2

1

1

∴当??=2时，△??????的面积??能取最大值8，此时??点坐标为2,6．13.（1）令??=0得??2?2????+??2?4=0，解得??1=???2，??2=??+2，

∴?????2,0，????+2,0，??0,??2?4．∵点??在??轴正半轴，∴??2?4>0，

设存在实数??，使得△??????为等腰三角形，则????=????，即∣??+2∣=??2?4，①当??+2>0时，??2?4=??+2，解得??=3或??=?2（舍去）；②当??+216．4???2??+2=6,14.（1）由题意，得

4??+2??+2=2.

1

3

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1

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1

1

21

3

1

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??=,2解得??=?1.

∴抛物线解析式为??=2??2???+2．

（2）∵??=??2???+2=???12+．

2

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1

∴顶点??坐标为1,2.∴直线????为??=???+4，∴对称轴与????的交点??1,3.

∴??△??????=??△??????+??△??????=××3+××1=3．

2

2

2

2

1313

??=?2??+??,

得??2???+4?2??=0，当△=0时，直线与抛物线只有一个交点，（3）由12

??=??