2023届高考数学第一轮基础知识点复习教案第四编 三角函数及三角

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第四编三角函数及三角恒等变换

§4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数

基础自测①{小于90°的角}③{第一象限的角}答案④

2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是.答案

②{0°～90°的角}④以上都不对

1.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）.

?323.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm，则扇形的中心角的弧度数是.答案1或4

4.已知角?终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin?=.答案-cos2

5.?是其次象限角，P（x，5）为其终边上一点，且cos?=答案

例1若?是其次象限的角，试分别确定2?,解∵?是其次象限的角，

∴k2360°+90°＜?＜k2360°+180°（k∈Z）.

（1）∵2k2360°+180°＜2?＜2k2360°+360°（k∈Z），∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.（2）∵k2180°+45°＜当k=2n（n∈Z）时，n2360°+45°＜

2x,则sin?=.4104??,的终边所在位置.22?＜k2180°+90°（k∈Z），2?＜n2360°+90°；2?＜n2360°+270°.2当k=2n+1（n∈Z）时，n2360°+225°＜

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∴

?是第一或第三象限的角.2?＜k2120°+60°（k∈Z），3（3）∵k2120°+30°＜当k=3n（n∈Z）时，n2360°+30°＜

?＜n2360°+60°；3?＜n2360°+180°；3当k=3n+1（n∈Z）时，n2360°+150°＜

当k=3n+2（n∈Z）时，n2360°+270°＜∴

?＜n2360°+300°.3?是第一或其次或第四象限的角.3例2（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角?等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解（1）设扇形的圆心角是?rad，由于扇形的弧长是r?,所以扇形的周长是2r+r?.依题意，得2r+r?=?r,?180?∴?=?-2=(?-2)3??

????≈1.142357.30°≈65.44°≈65°26′,∴扇形的面积为S=

1212r?=（?-2）r.22（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,即l=20-2r(0＜r＜10)扇形的面积S=S=

①

1lr，将①代入，得2122(20-2r)r=-r+10r=-(r-5)+25,2所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时l=20-235=10,?=

l=2.r所以当?=2rad时，扇形的面积取最大值.

例3（14分）已知角?的终边在直线3x+4y=0上，求sin?,cos?,tan?的值.解∵角?的终边在直线3x+4y=0上，

∴在角?的终边上任取一点P（4t,-3t）(t≠0),

2分

则x=4t,y=-3t,

r=x2?y2?(4t)2?(?3t)2?5t,

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4分

当t＞0时，r=5t,sin?=tan?=

y?3t3x4t4???,cos?=??,r5t5r5t5y?3t3???;x4t4

8分

当t＜0时，r=-5t,sin?=cos?=tan?=

y?3t3??,r?5t5x4t4???,r?5t5y?3t3???.x4t4

12分

433,cos?=,tan?=?;

455

综上可知，t＞0时，sin?=?t＜0时，sin?=

433,cos?=-,tan?=?.545

14分

例4在单位圆中画出适合以下条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合:(1)sin?≥

13;(2)cos?≤?.22解（1）作直线y=

3交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角?的2终边的范围，故满足条件的角?的集合为?|2k?+

2?≤?≤2k?+?，k∈Z.331交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）2（2）作直线x=?即为角?终边的范围.故满足条件的角?的集合为

?|2k?+

24?≤?≤2k?+?，k∈Z.331.已知?是第三象限角，问

?是哪个象限的角？3解∵?是第三象限角，∴180°+k2360°＜?＜270°+k2360°（k∈Z），60°+k2120°＜

?＜90°+k2120°.3①当k=3m(m∈Z)时，可得

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60°+m2360°＜故

?＜90°+m2360°（m∈Z）.3?的终边在第一象限.3?＜210°+m2360°（m∈Z).3②当k=3m+1(m∈Z)时，可得180°+m2360°＜故

?的终边在第三象限.3?＜330°+m2360°（m∈Z）.3③当k=3m+2（m∈Z）时，可得300°+m2360°＜故

?的终边在第四象限.3?是第一、第三或第四象限的角.3综上可知，

2.已知扇形OAB的圆心角?为120°，半径长为6,（1）求的弧长；（2）求弓形OAB的面积.解（1）∵?=120°=∴的弧长为l=(2)∵S扇形OAB=

2?rad，r=6，32?36=4?.311lr=34?36=12?，22S△ABO=

1232?12

r2sin=363=93，2232∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12?-93.3.已知角?的终边在y轴上，求sin?、cos?、tan?的值.解∵角?的终边在y轴上，∴可在?的终边上任取一点（0,t)(t≠0),即x=0，y=t.∴r=x2?y2=02?t2=|t|.当t＞0时，r=t,sin?=

ytyx0==1,cos?===0,tan?=不存在；

rtrtxyt==-1,r?t当t＜0时，r=-t，sin?=cos?=

0yx==0,tan?=不存在.r?tx综上可知：sin?=±1,cos?=0,tan?不存在.4.求以下函数的定义域：

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（1）y=2cosx?1；（2）y=lg(3-4sinx）.解（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥

1.22

由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).

????∴x∈?2k??,2k???（k∈Z）.

33??（2）∵3-4sinx＞0,∴sinx＜

2

2

3,4∴-

33＜sinx＜.22利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x∈（k?-

一、填空题

1.已知cos?2tan?＜0,那么角?是第象限角.答案三或四2.若0＜x＜答案＞

3.与610°角终边一致的角表示为.答案k2360°+250°(k∈Z)4.已知（1sin2?）＜1,则?所在象限为第象限.2??,k?+）（k∈Z).33?42，则sinxx（用“＞〞,“＜〞或“=〞填空）.2?2答案一或三5.已知点P（tan?，cos?）在第三象限，则角?的终边在第象限.答案二????6.已知?∈??,?且sin?+cos?=a，其中a∈(0，1），则关于tan?的值，以下四个答案中，可能正确

?22?的是（填序号）.①-3

②3或

13③-

13④-3或-

13答案③

7.已知角?的终边落在直线y=-3x(x＜0)上，则答案2

8.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=,其中t∈［0,60］.答案10sin

sin?sin??cos?cos??.

?t60

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二、解答题9.已知sin?=

3a?11?a,cos?=,若?是其次象限角，求实数a的值.1?a1?a解∵?是其次象限角，∴sin?＞0,cos?＜0,1?a?0?sin???1?1?1?a∴?，解得0＜a＜.

3??1?cos??3a?1?0?1?a?又∵sin?+cos?=1,?1?a??3a?1?∴??????1,

1?a1?a????2222

解得a=

11或a=1(舍去），故实数a的值为.9910.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；

（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形半径为R，中心角为?，所对的弧长为l.?12??R?4,（1）依题意，得?2

??R?2R?10,?∴2?-17?+8=0,∴?=8或∵8＞2π,舍去,∴?=

1.22

1.2(2)扇形的周长为40,∴?R+2R=40，1??R?2R?1112

S=lR=?R=?R22R≤???100.2244?2?2当且仅当?R=2R,即R=10,?=2时面积取得最大值，最大值为100.?2的符号.11.设?为第三象限角，试判断?cos2解∵?为第三象限角，sin∴2k?+?＜?＜2k?+(k∈Z),??k??+(k∈Z).??当k-2n(n∈Z)时，2n?+此时

?2??3?2n???,24?在其次象限.2??＞0,kos＜0.22此

EMBED

Equa|ion.3

∴sin因3eud教育网http://.3教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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?2＜0.?cos2当k=2n+1(n∈Z)时，

?3??(2n+1)?+＜＜(2n+1)?+(n∈Z),

2243??7?即2n?+＜＜2n?+(n∈Z)

224?此时在第四象限.

2?sin??2＜0,∴sin＜0,cos＞0,因此

?22cos2?sin2＜0.综上可知：

?cos212.角?终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a≠0），角?终边上的点Q与A关于直线y=x对称，求sin?2cos?+sin?2cos?+tan?2tan?的值.

sin解由题意得，点P的坐标为（a,-2a)，点Q的坐标为（2a，a）.sin?=cos?=

?2aa?(?2a)aa?(?2a)2222???2a5aa5a22,,

tan?=sin?=cos?=?2a??2,aa(2a)?a2a(2a)?a2222??a5a2a5a22,,tan?=a1?,2a2a5a2a5a22a5a21=-1.2故有sin?2cos?+sin?2cos?+tan?2tan?=?2a5a2????(?2)?

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§4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式

基础自测

2

1.（20232常州模拟）sin(?+?)-cos(?+?)2cos(-?)+1的值为.答案22.sin210°=.答案?121?3??,且?∈??,?，则sin?的值是.22??3.已知tan?=

答案?4.若

55?3?????=.??2?sin??cos?=2,则sin(?-5?)2sin

sin??cos?310答案

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5.已知sin?=答案?

35544

，则sin?-cos?的值为.5例1已知f(?)=(1)化简f(?);

sin(???)cos(2???)tan(????);

?tan(????)sin(????)3??1?(2)若?是第三象限角，且cos?????，求f(?)的值.

2?5?解（1）f（?）=

sin??cos??(?tan?)=-cos?.

tan?sin?3???(2)∵cos????=-sin?,

2??52?1221∴sin?=-,cos?=-??6,

555∴f(?)=

26.51?＜x＜0,sinx+cosx=.52例2（14分）已知-

(1)求sinx-cosx的值；（2）求

1cosx?sin2x2的值.

解（1）方法一联立方程：

1?①?sinx?cosx?5?②?sin2x?cos2x?1?

2分由①得sinx=2

1-cosx,将其代入②，整理得525cosx-5cosx-12=0.

∵-4分

?＜x＜0,23?sinx????5∴?,?cosx?4?5?所以sinx-cosx=-

7分

7.5

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方法二∵sinx+cosx=

22

1,5?1?∴(sinx+cosx)=??,

?5?即1+2sinxcosx=∴2sinxcosx=-

2分

2

1,25

24.252

∵(sinx-cosx)=sinx-2sinxcosx+cosx=1-2sinxcosx=1+

又∵-4分

2

2449=2525①

?＜x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0,2

7.5∴sinx-cosx＜0

②

由①②可知：sinx-cosx=-

7分

(2)由已知条件及（1）可知13??sinx?cosx?sinx??????55,解得,??47?cosx??sinx?cosx????55??

9分3.4∴tanx=-

11分又∵1cosx?sinx22?sin2x?cos2xcosx?sinx22sin2x?cos2x=cos2xcos2x?sin2xcos2x=

tan2x?11?tan2x

2

13分

???=?3???14?2??3?1?????4?

25.7

14分

例3已知tan?=2,求以下各式的值：

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（1）

2sin??3cos?;

4sin??9cos?2sin2??3cos2?4sin??9cos?2

(2)

22;

2

(3)4sin?-3sin?cos?-5cos?.解（1）原式=

2tan??32?2?3???1.

4tan??94?2?9?2tan2??34tan2??92

（2）

2sin2??3cos2?4sin2??9cos2?2

2

2

?2?22?34?22?9?5.7(3)∵sin?+cos?=1,

∴4sin?-3sin?cos?-5cos?==

4sin2??3sin?cos??5cos2?sin2??cos2?4tan2??3tan??5tan??12

?4?4?3?2?5?1.

4?13??tan(???)cos(2???)sin????2?1.化简cos(????)sin(????)???.???(?tan?)?cos???(???)??sin??????2??解原式=cos(???)???sin(???)??????(?tan?)???cos(???)????sin??????2???=(?cos?)?sin?=?tan??cos??(?cos?)?tan??cos?=

?cos??sin?sin?sin?cosa=-1.?cosasin?=?2.已知sin?+cos?=

1,?∈(0,?).求值：53

3

（1）tan?;(2)sin?-cos?;(3)sin?+cos?.解方法一∵sin?+cos?=∴(sin?+cos?)=∴sin?cos?=-2

1,?∈(0,?),51=1+2sin?cos?，2512＜0.25由根与系数的关系知，

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sin?,cos?是方程x-解方程得x1=

2

112x-=0的两根，

52543,x2=-.

5543,cosθ=-.

55∵sin?＞0,cos?＞0,∴sin?=∴(1)tan?=-4.37.5(2)sin?-cos?=

3

3

(3)sin?+cos?=

37.1252

方法二（1）同方法一.

（2）（sin?-cos?）=1-2sin?2cos?

?12?49=1-23???=.

?25?25∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?-cos?＞0,∴sin?-cos?=

3

3

7.52

2(3)sin?+cos?=(sin?+cos?)(sin?-sin?cos?+cos?)=

1?12?373?1??=.5?25?1253.已知sin(?+k?)=-2cos(?+k?)(k∈Z).求:(1)(2)

4sin??2cos?;

5cos??3sin?1222

sin?+cos?.45解由已知得cos(?+k?)≠0,∴tan(?+k?)=-2(k∈Z),即tan?=-2.（1）4sin??2cos?4tan??2??10.5cos??3sin?5?3tan?12sin2??cos2?12225(2)sin?+cos?=42245sin??cos?12tan2??5?7.=4225tan??1

一、填空题

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1.?是第四象限角，tan?=?答案?5，则sin?=.125132.（20232浙江理）若cos?+2sin?=-5,则tan?=.答案2

3.（20232四川理）设0≤?＜2?,若sin?＞3cos?,则?的取值范围是.

??4??答案?,?

?33?4.?是第四象限角，cos?=

2

12，则sin?=.135.sin(?+?)-cos(?+?)cos(-?)+1的值为.答案2

???6.若sin?+cos?=tan??0????，则?的取值范围是.

2??????答案?,??43?7.假使cos?=1???,且?是第四象限的角,那么cos????=.52??答案2658.化简:sin2(???)?cos(???)?cos(???2?)tan(???)?sin(3?2=.??)?sin(???2?)答案1二、解答题9.已知cos(?+?)=-(1)sin(2?-?);(2)1,且?是第四象限角，计算：2sin???(2n?1)???sin???(2n?1)??(n∈Z).

sin(??2n?)?cos(??2n?)111,∴-cos?=-,cos?=,222解∵cos(?+?)=-又∵?是第四象限角，∴sin?=-1?cos2???（1）sin(2?-?)=sin［2?+(-?)］=sin(-?)=-sin?=（2）=

3.23.2sin???(2n?1)???sin???(2n?1)??

sin(??2n?)?cos(??2n?)sin(2n?????)?sin(?2n?????)

sin(2n???)?cos(?2n???)3eud教育网http://.3教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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==

sin(???)?sin(????)

sin??cos??2sin?2?sin??sin(???)==?=-4.

sin??cos?sin??cos?cos?1?cos4??sin4?1?cos6??sin6?210.化简：.

解方法一原式==

(cos2??sin2?)2?cos4??sin4?(cos??sin?)?cos??sin??2.323662cos2??sin2?3cos2?sin2?(cos2??sin2?)方法二原式=

(1?cos2?)(1?cos2?)?sin4?(1?cos2?)(1?cos2??cos4?)?sin6?

解方法一当k为偶数时，设k=2m(m∈Z),则

方法二由(k?+?)+(k?-?)=2k?,［(k-1)?-?］+［(k+1)?+?］=2k?,得sin(k?-?)=-sin(k?+?),cos［(k-1)?-?］=cos［(k+1)?+?］=-cos(k?+?),sin［(k+1)?+?］=-sin(k?+?).

12.已知sin(?-?)-cos(?+?)=（1）sin?-cos?;

2?????????.求以下各式的值：3?2?3eud教育网http://.3教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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1.①在(0,

?)上递减；2②以2?为周期；

③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数（写出一个你认为正确的即可）.答案y=-sinx

????2.（20232东海高级中学高三调研）将函数y=sin?2x??的图象先向左平移,然后将所得图象上所有

33??的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为.

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??x??x??（2）y=3tan???=-3tan???,

?64??46?∴T=

???x?=4?,∴y=3tan???的周期为4?.??64???x?＜?＜k?+，22464?8?＜x＜4k?+(k∈Z),

33由k?-

得4k?-

?x??y=3tan???的单调增区间是

?46?4?8???,4k???4k???(k∈Z）33????x?∴y=3tan???的单调递减区间是

?64?4?8???,4k???4k???(k∈Z).33??

一、填空题

????1.已知函数y=tan?x在??,?内是减函数,则?的范围是.?22?答案-1≤?＜0

2.（20232徐州模拟）函数f(x)=sinx-3cosx(x∈［-?，0］)的单调递增区间是.

???答案??,0??6?3.函数f(x)=tan?x(?＞0)的图象的相邻的两支截直线y=是.答案04.函数y=2sin（???所得线段长为,则f（）的值444?-2x）(x∈［0，?］)为增函数的区间是.6??5??答案?,?

?36?5.函数f(x)=lg(sin2x+3cos2x-1)的定义域是.

????答案?x|k???x?k??,k???

124??6.给出以下命题：

???2①函数y=cos?x??是奇函数；

2??33eud教育网http://.3教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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②存在实数?,使得sin?+cos?=

3;2③若?、?是第一象限角且?＜?,则tan?＜tan?;④x=

?5???是函数y=sin?2x??的一条对称轴方程；

4?8???????⑤函数y=sin?2x??的图象关于点?,0?成中心对称图形.

3???12?其中命题正确的是（填序号）.答案①④

7.（20232XX，1）f(x)=cos(?x-答案10

8.（20232东海高级中学高三调研）定义在R上的函数f(x):当sinx≤cosx时，f(x)=cosx;当sinx＞cosx时，f(x)=sinx.给出以下结论：①f(x)是周期函数②f(x)的最小值为-1

③当且仅当x=2k?(k∈Z)时，f(x)取最大值④当且仅当2k?-

??)最小正周期为，其中?＞0，则?=.65?＜x＜(2k+1)?(k∈Z)时，f(x)＞02⑤f(x)的图象上相邻最低点的距离是2?.

其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)答案①④⑤

二、解答题

????9.已知x∈??,?，若方程mcosx-1=cosx+m有解，试求参数m的取值范围.

?63?解由mcosx-1=cosx+m得cosx=m?1,作出函数y=cosx的图象（如下图），m?11m?1≤≤1,解得m≤-3.2m?1由图象可得??2x??10.设a=?sin2,cosx?sinx?,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a2b.

4??（1）求函数f(x)的解析式；??2??（2）已知常数?＞0，若y=f(?x)在区间??,?上是增函数，求?的取值范围；

?23?2???（3）设集合A=?x?x???，B={x||f(x)-m|＜2},若A?B，求实数m的取值范围.

3??6??2x2

解（1）f(x)=sin424sinx+(cosx+sinx)2(cosx-sinx)???1?cos??x??2?=4sinx2+cos2x

2=2sinx(1+sinx)+1-2sinx=2sinx+1,

2

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∴f(x)=2sinx+1.

（2）∵f(?x)=2sin?x+1,?＞0.由2k?-

??≤?x≤2k?+,22?2k????2k?得f(?x)的增区间是??,??,k∈Z.?2??2?????2??∵f（?x）在??,?上是增函数，23????2??????∴??,???,?.??23??2?2??∴-

?3????2?≥?且≤,∴?∈??0,4?.2?232???（3）由|f(x)-m|＜2,得-2＜f(x)-m＜2,即f(x)-2＜m＜f(x)+2.∵A?B，∴当

2?≤x≤?时，

36不等式f(x)-2＜m＜f(x)+2恒成立.∴f（x）max-2＜m＜f(x)min+2,∵f(x)max=f(

??)=3,f(x)min=f()=2,∴m∈（1，4）.26???11.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是?,且当x∈?0,?时，f（x）

2??=sinx.

（1）求当x∈［-?，0］时，f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)在［-?，?］上的函数简图；（3）求当f(x)≥

1时，x的取值范围.2解（1）∵f(x)是偶函数，∴f（-x）=f（x）.

???而当x∈?0,?时，f(x)=sinx.

?2????∴当x∈??,0?时，?2?f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.??????又当x∈???,??时，x+?∈?0,?，

2???2?∵f（x）的周期为?，

∴f（x）=f(?+x)=sin(?+x)=-sinx.∴当x∈［-?,0］时，f(x)=-sinx.（2）如图：

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（3）由于f(x）的最小正周期为?,因此先在［-?，0］上来研究f(x)≥即-sinx≥

11,∴sinx≤-,221,2∴-

5??≤x≤-.66由周期性知，

15???当x∈?k???,k???,k∈Z时，f(x)≥.

66?2???????12.已知a＞0，函数f(x)=-2asin?2x??+2a+b,当x∈?0,?时，-5≤f(x)≤1.

6???2?（1）求常数a,b的值；

???(2)设g(x)=f?x??且lgg(x)＞0,求g(x)的单调区间.

2????????7?解（1）∵x∈?0,?，∴2x+∈?,??.

6?2??66????1??∴sin?2x??∈??,1?，

6??2?????∴-2asin?2x??∈［-2a,a］.

6??∴f(x)∈［b,3a+b］,

又∵-5≤f(x)≤1,因此可得b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.

（2）由（1）知a=2,b=-5,

???∴f（x）=-4sin?2x??-1,6????7????g(x)=f?x??=-4sin?2x??-1

2?6??????=4sin?2x??-1.6?????又由lgg(x)＞0得g(x)＞1,∴4sin?2x??-1＞1,

6????1?∴sin?2x??＞,

6?2?∴2k?+由2k?+

??5?＜2x+＜2k?+,k∈Z.

666??????＜2x+≤2k?+(k∈Z),得g(x)的单调增区间为：?k?,k???（k∈Z）

26?66?由2k?+

?5??≤2x+＜2k?+,266????得g(x)的单调减区间为?k??,k???（k∈Z）.

63??3eud教育网http://.3教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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§4.4函数y=Asin(?x+?)的图象及三角函数

模型的简单应用

???1.（20232天津理，3）设函数f（x）=sin?2x??，x∈R，则f（x）是（填序号）.

2??①最小正周期为?的奇函数②最小正周期为?的偶函数③最小正周期为④最小正周期为答案②

1?x3??2.（20232浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y=cos???(x∈[0,2?])的图象和直线y=的

2?22??的奇函数2?的偶函数2交点个数是个.答案2?x??3.为了得到函数y=2sin???，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点向平

?36?移单位，再把所有各点的横坐标变为原来的倍.答案左?364

4

4.下面有五个命题：

①函数y=sinx-cosx的最小正周期是?.②终边在y轴上的角的集合是{?|?=

k?,k∈Z}.2③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数y=3sin(2x+

??)的图象向右平移得到y=3sin2x的图象.36⑤函数y=sin(x-

?)在［0,?］上是减函数.23eud教育网http://.3教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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其中，真命题的编号是.答案①④

????5.已知函数f(x)=2sin?x(?＞0)在区间??,?上的最小值是-2，则?的最小值等于.

?34?答案

32

???例1已知函数y=2sin?2x??,

3??(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法〞作出它在一个周期内的图象；

???(3)说明y=2sin?2x??的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.3??2????解（1）y=2sin?2x??的振幅A=2,周期T==?，

23??初相?=

?.3????,则y=2sin?2x??=2sinX.33??（2）令X=2x+

列表，并描点画出图象：

（3）方法一把y=sinx的图象上所有的点向左平移

????个单位，得到y=sin?x??的图象，再把

3?3?1??????y=sin?x??的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin?2x??的图象，

3?3?2??3eud教育网http://.3教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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??????最终把y=sin?2x??上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin?2x??的

3?3???图象.

方法二将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的再将y=sin2x的图象向左平移

1倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；2?个单位；6?????????得到y=sin2?x??=sin?2x??的图象；再将y=sin?2x??的图象上每一点的横坐标保持不变，纵

6?3?3???????坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin?2x??的图象.

3??例2如图为y=Asin（?x+?）的图象的一段，求其解析式.解方法一以N为第一个零点，

?5???则A=-3，T=2???=?，

?63?∴?=2，此时解析式为y=-3sin（2x+?）.

?????∵点N??,0?，∴-32+?=0，∴?=，63?6????所求解析式为y=-3sin?2x??.3??方法二由图象知A=3，

①

????5??以M?,0?为第一个零点，P?,0?为其次个零点.?3??6????????0???2???3列方程组?解之得?2?.5????????????3??6?2???∴所求解析式为y=3sin?2x??.

3??例3（14分）已知函数f(x)=2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求?;

(2)计算f(1)+f(2)+?+f(2008).解（1）∵y=

AA-cos(2?x+2?),22②

AA?-cos(2?x+2?)(A＞0,?＞0,0＜?＜),且y=f(x)的最大值为222且y=f(x)的最大值为2，A＞0,∴

AA+=2,A=2.22又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,?＞0,

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∴

1?2?????=2,?=.42?2??

4分

∴f(x)=

22??????-cos?x?2??=1-cos?x?2??.22?2??2????∵y=f(x)过(1,2)点，∴cos??2??=-1.

?2?

6分

?2?2?=2k?+?,k∈Z.∴?=k?+

?,k∈Z.4

又∵0＜?＜

??，∴?=.248分

(2)∵?=

??????,∴f(x)=1-cos?x??=1+sinx.

242??2

12分

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.

又∵y=f(x)的周期为4，2008=43502,

∴f（1）+f（2）+?+f（2008）=43502=2008.

14分

1.已知函数y=3sin????1x??

4??2（1）用五点法作出函数的图象；

（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解（1）列表：

描点、连线,如下图：

（2）方法一“先平移，后伸缩〞.

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先把y=sinx的图象上所有点向右平移

???????个单位，得到y=sin?x??的图象；再把y=sin?x??的图44?4???象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到

?????1?1y=sin?x??的图象，最终将y=sin?x??的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不

4?4??2?2???1变），就得到y=3sin?x??的图象.

4??2方法二“先伸缩，后平移〞

先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=siny=sin

1?x图象上所有的点向右平移个单位，221??x???x??(x-)=sin???的图象，最终将y=sin???的图象上所有点的纵坐标伸长到原来22?24??24?1x的图象；再把2得到y=sin

???1的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin?x??的图象.

4??2（3）周期T=

2??=

?2?=4?，振幅A=3，初相是-.142(4)令

1??x?=+k?(k∈Z),242得x=2k?+令

3?(k∈Z),此为对称轴方程.21??x-=k?(k∈Z)得x=+2k?(k∈Z).242???对称中心为?2k??,0?(k∈Z).

2??2.函数y=Asin(?x+?)(?＞0,|?|＜式为.?,x∈R)的部分图象如下图，则函数表达2????答案y=-4sin?x??4??83.已知函数f(x)=Asin?x+Bcos?x(其中A、B、?是实常数，且?＞0)的最小正周期为2,并当x=1时,f(x)取得最大值2.3（1）函数f(x)的表达式；

?2123?（2）在闭区间?,?上是否存在f(x)的对称轴?假使存在,求出其对称轴方程;假使不存在,说明理由.

?44?解（1）f(x)=Asin?x+Bcos?x=A2?B2sin(?x??)由T=

2??=2知?=?，

又由于f（x）最大值为2，所以f（x）=2sin（?x+?）.

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由x=

1???时f（x）max=2，得sin????=1，3?3?????.∴f（x）=2sin??x??.66????=k?+（k∈Z）得对称轴方程为

26∴?=

（2）令?x+x=k+即

112321，由对称轴满足≤k+≤（k∈Z）

44335965≤k≤且k∈Z，∴k=5.1212?2123?故在?,?上f（x）只有一条对称轴.

?44?x=5+

11616=，即对称轴方程为x=.333

一、填空题

1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为.

???答案y=cos?2x??6?????2.（20232全国Ⅰ理，8）为得到函数y=cos?2x??的图象，只需将函数y=sin2x的图象向平

3??移个单位长度.答案左5?12????2

3.（20232湖南理，6）函数f(x)=sinx+3sinxcosx在区间?,?上的最大值是.

?42?答案

324.（20232四川理，10）设f（x）=sin（?x+?），其中?＞0,则f(x)是偶函数的充要条件是.答案f′(0)=0

???15.函数y=3sin?x??的周期、振幅依次是3??2答案4?、3

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?????????6.若函数f(x)=2sin(?x??)对任意x都有f??x?=f??x?，则f??=.

?6??6??6?答案-2或2

7.（20232辽宁理，16）已知f(x)=sin??x????????????????(?＞0),f??=f??,且f(x)在区间?,?上有最3??6??3??63?小值，无最大值，则?=.答案

143128.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为.答案2?-二、解答题

9.是否存在实数a，使得函数y=sinx+acosx+的a值；若不存在，说明理由.解y=1-cosx+acosx+

22

2

53???a-在闭区间?0,?上的最大值是1？若存在，求出对应82?2?53a-82a?a251?=??cosx????a?2?482?当0≤x≤若

?时，0≤cosx≤1，2a＞1,即a＞2,则当cosx=1时23520＜2(舍去).a-=1,∴a=

2813aa≤1，即0≤a≤2,则当cosx=时,22ymax=a+若0≤a2513ymax=?a?=1,∴a=或a=-4(舍去).

4822若a＜0,即a＜0时,则当cosx=0时,2ymax=5112a?=1,∴a=＞0(舍去).8253符合题设.2综上所述,存在a=

?x??2

10.已知函数f(x)=sin（?x+）+sin（?x-）-2cos2,x∈R(其中?＞0).

66(1)求函数f(x)的值域；

(2)若对任意的a∈R，函数y=f(x),x∈(a,a+?］的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定?的值（不必证明），并求函数y=f(x),x∈R的单调增区间.解（1）f(x)=

3131sin?x?cos?x?sin?x?cos?x?(cos?x?1)22223eud教育网http://.3教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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=2??3?1sin?x?cos?x?-1?2?2??=2sin??x??????-1.

6?由-1≤sin??x?????????≤1,得-3≤2sin??x??-1≤1.6?6??2?可知函数f(x)的值域为［-3，1］.

（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f(x)的周期为?,又由?＞0,得于是有f(x)=2sin?2x??=?,即得?=2.

?????-1,

6?再由2k?-解得k?-

???≤2x-≤2k?+(k∈Z)，262??≤x≤k?+(k∈Z).63??所以y=f(x)的单调增区间为?k???6,k????3??(k∈Z).

11.（20232安徽理，17）已知函数f(x)=cos?2x????????????+2sin?x??2sin?x??.

4?4?3???(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;????(2)求函数f(x)在区间??,?上的值域.?122?解（1）∵f（x）=cos?2x????????????+2sin?x??2sin?x??4?4?3???===31cos2x+sin2x+（sinx-cosx）(sinx+cosx)223122

cos2x+sin2x+sinx-cosx

2231???cos2x+sin2x-cos2x=sin?2x??.

26?2?∴周期T=由2x?2?=?.2=k?+?6k???(k∈Z),得x=?(k∈Z).

232k???(k∈Z).23∴函数图象的对称轴方程为x=

???5??????(2)∵x∈??,?，∴2x?∈??,.

6?36??122?????????????∵f（x）=sin?2x??在区间??,?上单调递增，在区间?,?上单调递减，

6???123??32?∴当x=

?时，f(x)取得最大值1,33eud教育网http://.3教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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3???1???又∵f???=-＜f??=,2?12??2?2∴当x=??12时，f(x)取得最小值-

3.2?,1?.???3????∴函数f(x)在??,?上的值域为???122???212.（20232湖北理，16）已知函数f(t)=

1?t?17??，g(x)=cosx2f(sinx)+sinx2f(cosx),x∈??,?.1?t?12?（1）将函数g(x)化简成Asin(?x+?)+B(A＞0,?＞０,?∈［0，2?)）的形式；

（2）求函数g(x)的值域.解(1)g(x)=cosx2

1?sinx1?cosx?sinx?1?sinx1?cosx?sinx?(1?cosx)2sin2x

=cosx2

?1?sinx?2cos2x=cosx2

1?sinx1?cosx+sinx2.

cosxsinx17??，∴|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx.12??∵x∈??,??∴g（x）=cosx2

1?sinx1?cosx+sinx2?cosx?sinx??=sinx+cosx-2=2sin?x?（2）由?＜x≤∵sint在?sin???-2.4?17?5??5?，得＜x+≤.43124?5?3???3?5??,?上为减函数，在?,?上为增函数，?42??23?5?5?＜sin,34∴sin??3?5??≤sin?x??＜sin4?42?????17????x???,????12????即-1≤sin?x???2,?＜-24???∴-2-2≤2sin?x????-2＜-3,4?故g（x）的值域为［-2-2，-3）.

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§4.5两角和与差的正弦、余弦和正切

基础自测

1.已知sin?=答案?3sin2a???,且?∈?,??，那么的值等于.

225cosa??322.已知tan(?+?)=3，tan(?-?)=5，则tan2?=.答案-473??），若sin?=，则2cos（?+）=.5243.设?∈（0，答案154.（20232山东理）已知cos???答案?????7??4?3,则sin????+sin?=?的值是.

6?65??455.函数y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期为.答案?

2?例1求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］22sin80的值.

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例2已知cos(??解????2)=-

12??????,sin(-?)=,且＜?，?＜，求cos的值.932222??????????,???????2??22?∵∴??＜?＜π,0＜?＜22?????＜?-＜π,-＜-?＜.24424??∴sin???????452?,?=1?cos????=292???cos?5?????????=1?sin2????=232????∴cos??????????????????75.?=cos????cos????+sin????sin????=2?2??2???2???2?27510,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.510510,sinB=，510例3(14分)若sinA=解∵A、B均为钝角且sinA=2∴cosA=-1?sinA=-25=-25，52cosB=-1?sinB=-310=-310，106分∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=??

?????25??3??310?-5310=2?5?10?210???5

①10分又∵

??＜A＜?,＜B＜?,2212分

②

∴?＜A+B＜2?

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?3??2????2?3??5=-=3.

12221sin(??2?)?4cos2?12.已知tan(?+?)=-,tan(?+?)=.

310cos2??sin2?(1)求tan(?+?)的值；（2）求tan?的值.解（1）∵tan(?+?)=-∵tan(?+?)===

11,∴tan?=-,33sin(??2?)?4cos2?10cos??sin2?

2=

sin2??4cos2?10cos??sin2?2

2sin?cos??4cos2?10cos2??2sin?cos?2cos?(sin??2cos?)

2cos?(5cos??sin?)=

sin??2cos?tan??2,?5cos??sin?5?tan??1?253∴tan(?+?)==.1165?3(2)∵tan?=tan［(?+?)-?］=51?163=31.∴tan?=

51431??163tan(???)?tan?,1?tan(???)tan?单元检测四

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）

???1.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是?，且当x∈?0,?时，f

?2??5??（x）=sinx，则f??的值为.?3?答案

322.设点P是函数f(x)=29sin?x的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是则f(x)的最小正周期是.答案

2

?,8?22

3.y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小正周期和最小值分别为.答案?,2-2

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4.（20232徐州六县一区联考）设sin?=于.答案-2113?1(＜?＜?),tan(?-?)=,则tan(?-?)的值等5225.将函数f(x)=3sin2x-cos2x的图象向右平移?(?＞0)个单位，所得函数是奇函数，则实数?的最小值为.答案

5?12?a?b,ab?0?6.定义运算a*b=?a,则函数f(x)=(sinx)*(cosx)的最小值为.?b,ab?0?答案-17.cos(?+?)=答案

3??5???????,sin????=,?,?∈?0,?，那么cos????的值为.54?134????2?56658.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数,a≠0，x∈R)在x=函数.（用“奇〞，“偶〞，“非奇非偶〞填空）答案奇

9.（20232重庆理，10）函数f（x）=答案［-1，0］

??3??处取得最小值，则函数y=f??x?是4?4?sinx?13?2cosx?2sinx(0≤x≤2?）的值域是.

?1????10.设a=(a1,a2),b=（b1,b2），定义一种向量积：a?b=（a1,a2）?(b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知m=?2,?,n=?,0?,

?3??2?点P(x,y)在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f(x)的图象上运动，且满足OQ=m?OP+n(其中O为坐标原点)，则y=f(x)的最大值A及最小正周期T分别为.答案1,4?213,cos(?-?)=,则tan?2tan?=.5511.若cos(?+?)=答案

1212.函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［0，2?］的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是.答案1＜k＜3

??????13.若f（x）=asin?x??+bsin?x??（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是.

4?4???（注：只要填满足a+b=0的一组数字即可）答案（1，-1）

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3??14.关于函数f(x)=2sin?3x???,有以下命题：

4??①其最小正周期为

2?；33个单位而得到；4②其图象由y=2sin3x向左平移

??5??③在?,?上为单调递增函数，则其中真命题为（写出你认为正确答案的序号）.

?1212?答案①③

二、解答题（本大题共6小题，共90分）

533??????15.（14分）已知?∈?0,?,?∈?,??且sin(?+?)=,cos?=-.求sin?.1365?2??2?512???解∵?∈?,??，cos?=-,∴sin?=.13132??又∵0＜?＜

???3?,＜?＜?,∴＜?+?＜,222233,65又sin(?+?)=∴

?＜?+?＜?,cos(?+?)=-1?sin2(???)2256?33?=-1???=-,65?65?∴sin?=sin［(?+?)-?］=sin(?+?)cos?-cos(?+?)sin?=

33?5??56?1232???-???2=.65?13??65?13516.（14分）已知函数f(x)=Asin(?x+?)(A＞0,?＞0,|?|＜

?)(x∈R)的部分图象如图所2示.

（1）求f(x)的表达式；???（2）设g(x)=f(x)-3f?x??,求函数g(x)的最小值及相应的x的取值集合.

4??解（1）由图象可知：A=1，函数f(x)