1.4充分条件与必要条件-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义

新教材必修第一册1.4：充分条件与必要条件课标解读：必要条件的概念（理解）充分条件的概念（理解）充要条件.（理解）学习指导：.学习本节内容的关键在于通过对典型数学命题的梳理，理解“充分条件、必要条件、充要条件”的概念，并熟练掌握判定方法..学习重点是对充分条件、必要条件和从要条件的意义的理解和辨析，判断“若p,则q”形式的命题的真假.知识导图：条必件分与条充件要知识导图：条必件分与条充件要教材全解知识点1：充分条件与必要条件命题：一般地，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若夕，则q"、“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作pnq，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pnq.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.说明：一般地（1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；（2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.充要条件的概念一般地，“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是正命题，即既有pnq，又有qnp,记作poq.此时，p既是q的充分条件，q也是p的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如概括地说，如果poq，那么q与p互为充要条件.知识剖析：条件，与绪论4的关善不•：结论P=g,但qNpP是g的充分不必要条件q=p,但pKgp是g的必要不充分条件且 ,即PFP与g互为充要条件pTq,且q*pp是q的既不充分也不必要条件4.充分条件与必要条件的传递性充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下：（1）若p是q的充分条件，q是s的充分条件，即pnq,qns，则有pns，即p是s的充分条件；（2）若p是q的必要条件，q是s的必要条件，即qnp,snq，则有snp，即p是s的必要条件；（3）若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即poq,qos，则有pos，即p是s的充要条件；例1-1：用符号“n”与"n”填空.（1）x2>1x>1; （2）a,b都是偶数a+b是偶数.答案：（1）n （2）n例1-2：下列说法是否正确？请说明理由.（1）x=1是（x—1）（x—2）=0的充分条件；（2）x〉1是x>2的充分条件；（3）x+y〉2是x〉1,y〉1的必要条件.答案：（1）正确，因为x=1n（x-1）（x+1）=0；（2）错误，因为x>,1nx〉2；（3）正确，因为x>1,y>1nx+y>2.例1-3：（浙江高考题）设a,b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D例1-4:已知p,q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么：（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？答案：（1）S是q的充要条件.（2）r是q的充要条件；（3）（3）p是q的充分条件.重难拓展知识点2：从集合角度看充分、必要条件.依据设集合A={xIp（x）},B={xIq（x）}.若x具有性质p，则xeA；若x具有性质q，则xeB.若A=B，就是说x具有性质p，则x必有性质q，即pnq,类似地，B=A与qnp等价。A二B与poq等价..结论如果把‘研究的范围看成集合A,把夕研究的范围看成集合B如果把‘研究的范围看成集合A,把夕研究的范围看成集合B,则可得下表.记法结论月£8且P，4互为充要条件p是q的既不充分也不必要条件09p是4的充分不必要条件P是q的必要不充分条件.适用范围当所要研究的夕,q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关所描述的对象可以用集合表示，可以借助集合的包含关系，利用Veen图或者数轴解题.例2-5：设p:x<3,q:-1<x<3，则p是q的（）A,充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：C例2-6：从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空,（1）“x2-1=0”是“Ix1-1=0”的；（2）“x<5”是“x<3”的.答案：（1）充要条件；（2）必要不充分条件.

解题指导题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断.定义法例7：（湖南高考题）设xeR，则“x>1”是“x3〉1”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C.集合法例8：（1）p：|xK2,q:或<4，则p是q的条件.（2）p:一个四边形是平行四边形，q:一个四边形是正方形，则q是p的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）答案：（1）既不充分也不必要；（2）充分不必要..等价转化法例9：ae{aIa<-3}是方程ax+3=0有实数根x且xe{xI-1<x<2}的（ ）2 00A.充分不必要条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.C.充要条件答案：A.传递法例10：若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件，则s是p的什么条件？答案：S是p的充分不必要条件.特殊值法例11：设a,b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D变式训练：1.指出下列各题中，p是q的什么条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个作答）（1）p:（x一2）（x-3）=0,q:x-2=0.（2）p：四边形的对角线相等，q:四边形是平行四边形.（3）p:（x-1）2+（y-2）2=0,q:（x-1）（y-2）=0.(4)在4ABC中，p：ZA>ZB,q:BC>AC.答案：(1)p是q的必要不充分条件；p是q的既不充分也不必要条件；p是q的充分不必要条件；(4)p是q的充要条件.题型2：充要条件的证明例12：已知ab丰0，求证：a3+加+ab-a2.b2=0成立的充要条件是a+b=1.答案：先证明充分性：,/a+b=1,/.a+b-1=0,/.a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)一(a2+b2-ab)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.再证明必要性：•/a3+b3+ab一a2—b2=0,/.(a+b一1)(a2—ab+b2)=0.，b、 3又ab中0,/.a中0且b中0,/.a2-ab+b2=(a——)2+—b2>0，2 4/.a+b-1=0,即a+b=1-综上可知，当ab丰0时，a3+b3+ab-a2-b2=0成立的充要条件是a+b=1.例13：已知x,y是非零实数，且x>>，求证：1〈，的充要条件是冲>0.xy先证明充分性：由町>0及X>y,得上>上,即1<1.町町xy再证明必要性：由1<1得1-1<0,即口<0.XyXy xy因为x>y，所以y-x<0，所以xy>0.所以1<1的充要条件是xy>0.xy题型3：应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围例14:已知p：-2<x<10,q:1-m<x<1+m（m>0），且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为.答案：{mIm>9}变式训练：集合A={xeRI1<2x<6},B={xeRI-1<x<m+1}，若xeB成立的一个充分不必2要条件是xeA，则实数m的取值范围是（ ）A.m>2 B.m<2 C.m>2 D.-2<m<2答案：A易错题型易错点：充分、必要条件判断时的常见错误.混淆必要不充分、充要条件的含义例15：一次函数y=-mx+1的图像同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是（）.nnA.m>0,n>0B.mn<0C-m<0,n<0D.mn>0答案：D.弄反充分、必要条件例16：使不等式2x-4>0成立的一个充分不必要条件是（）A.x<2 B,x<0或x>2 C.xe{2,3,5} D-x>2答案：C创新升级例17：在如图的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件?答案：（1）充分不必要条件；（2）必要不充分条件；（3）充要条件；（4）既不充分也不必要条件.品味高考考向1：充分、必要条件的判定例18：（天津中考题）（1）设xeR，则“0<x<5”是“Ix-1I<1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B例19：（天津中考题）设％eR，则“Ix-1|<1”是“x3V1”的（ ）22A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A考向2：充要条件的综合问题例20：（湖南中考题）设A，B是两个集合，则“AcB=A”是“A=B”的（）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C基础巩固：.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今.“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）

A.必要条件A.必要条件B.充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要.已知集合A={1,a},B={1,2,3}，则“a=3”是“A=B”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件TOC\o"1-5"\h\z.设p是q的充分不必要条件，,是q的必要不充分条件，s是r的充要条件，则s是p的（ ）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.x2V4的一个必要不充分条件是（ ）.A.-2<x<2 B.-2<x<0C.0<x<2 D.1<x<35.下面四个条件中，使a>8成立的充分不必要条件是（ ）.B.a>b-1D.a3>B.a>b-1D.a3>b3C.a2>b26.条件甲：a>1是条件乙：a>R的（）.A.既不充分也不必要条件 B.充要条件C.充分不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件7.设集合M7.设集合M={xIx>2},P={xIx<3}，那么"xeM或xeP”是“xe(McP)”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.下列各题中，p是q的什么条件?（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个作答）（1）p:x=1或x=2;q:x-1=xx-1;11（2）p:<;q:x>y>0;xy（3）p:x>4或x<-1;q:x>4或x<0.综合提升.设U为全集，A,B是集合，贝“存在集合C使得A=C,B=CC”是“AcB=。”的（ ）.UA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.设a,b为实数，则"0<ab<1”是“b<1”的（ ）.aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.设甲、乙丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（）.

A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是乙的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件.若非空集合A,B,C满足a°b=c，且B不是A的子集，则（ ）.“xeC”是“xeA”的充分不必要条件“xeC”是“xeA”的必要不充分条件“xeC”是“xeA”的充要条件“xeC”是“xeA”的既不充分也不必要条件.设m，n是正数，则“m,n均为偶数”是“m+n为偶数”的（ ）.A.充分不必要条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.设M、N是两个集合，则“M°N=0”是“McN=。”的（ ）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.C.充要条件.（多选题）有限集合S中元素的个数记作card（S）.设A，B都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（）.AcB=0的充要条件是card(A°B)=card(A)+card(B)A之B的必要条件是card(A)<card(B)

C-AaB的必要条件是card(A)<card(B)D.A=B的充要条件是card(A)=card(B)16.对任意实数a,b,c，给出下列命题：①“a=b”是"ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b”是“Ia1>1b]”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是().A.1B.2A.1B.2C.3D.417.若实数17.若实数a，b满足a>0,b>0且ab=0，贝刖a与b互补.记3a,b)=,；E2-a-b，那么^(^(a,b)=0是a与b互补的().A.必要不充分条件A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.C.充要条件).18.设集合U={(x,y)IxeR,yeR},A={(x,y)I2x-y+m>0}，B={(x,y)Ix+y-