1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(1)-A基础练(解析版)

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(D・A基础练一、选择题TOC\o"1-5"\h\z1.若O为坐标原点，万?=(1,1,-2)。？=(328)，？=(0,1,0),则线段.£5的中点P到点C的距离为( )A巫 B.2V14 C,V53 D场2 2【答案】D【解析】VOP=\(0A+OB)=1(4,3,6)=(2J3),OC=(0,1,0),.:同=OC-OP=(_2.i_3),,：|PCl=J7+I+9=殍.2.己知平面g的一个法向量n=(-2,-2,l),点H(T,3,0)在平面a内,则平面a外的点尸(-2,1,4)到平面a的距离为()TOC\o"1-5"\h\zA.10 B.3 C- D—3 3【答案】D【解析】由题意可知方=(1,2,-4).设点P到平面a的距离为力，则力二血=离驾=V-[711 «4+4+1 3(2020山东潍坊高二期末)已知工(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点，到直线万C的距离为( )A.型2 B.1 C.V2 D.2^23【答案】A【解析】(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),AB=(1,0,0),BC=(-1,2,-2),・・・点，到直线BC的距离为：d=|版Vl-(coS<AB,BC»2=1V1AJ o4•在棱长为a的正方体A58--4逐CQi中他是W4i的中点，则点U到平面MBD的距离是( )BB【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则。（0。0）3/（%°.94（。。，°》】3，°，初•:血=@0,3，话=(的,0),筋；=30,〃).设平面MBD的法向量为设平面MBD的法向量为n=（xjN）,则"•%=。,即nDB=0,ax+-z=0,

ax+ay=0,令x=l,则y=-l,z=-2,可得n=（l,-l,-2）.，点小到平面MBD的距离3=勺十=曜~=*.（2020全国二高课时练）已知空间直角坐标系o—中有一点A（—L—1,2）,点B是平面xQv内的直线X+〉=l上的动点，则a,B两点的最短距离是（）C.3D.C.32【答案】B【解析】因为点8是xOy平面内的直线X+〉=1上的动点，所以可设点5（团,1一团,0）,由空间两点之间的距离公式，得|A6|= ）2+二1一（1一团）厂+（2-0『=也加'-2m+9，令t=2nr+9,当〃7=；时，/的最小值为y，所以当团=gW；t=2nr，即4，即4B两点的最短距离是叵，故选B.2 2.（多选题）（2020福建省高二期末）在正方体ABC。—AdG。中，E,尸分别是AR和GA的中点，则下列结论正确的是（）A. 平面CE/ B. 1平面CEF,■I・■ ■■ .C.CE=-DA+DD,-DC D.点。与点心到平面CE尸的距离相等【答案】AC【解析】对A,因为邑F分别是AM和CR的中点故EF//AG，故4G//平面CE尸成立.对B,建立如图空间直角坐标系，设正方体A8C0—4与42边长为2则丽=（—2,—2,—2）,元^（O」,二）做4万・后=0-1+4=3。0故瓦万，元不互相垂直.又C厂属于平面CEF.故8Q_L平面CEF不成立.对C,同B空间直角坐标系有CE=（1-2,2）,jpA+DDi-DC=，（2,0,0）+（0。2）—（020）=（1,-2,2）做既=」方+而i一反成立.对D,点D与点B］到平面CEF的距离相等则点D与点鸟中点。在平面CEF上.连接AC,AE易得平面CEF即平面CAEF.又点D与点与中点。在\ACC1上，故点。不在平面CEF上.故D不成立.故选AC二、填空题7.（2020浙江省高二期中）空间直角坐标系O—A）Z中，点M。,-L1）关于X轴的对称点坐标是OM=.【答案】（LL-1）；出【解析】①空间直角坐标系中，点M（L-Ll）关于％轴的对称点坐标横坐标不变，纵坐标和竖坐标分别与〃的纵坐标和竖坐标互为相反数即（LL—1）：②利用空间直角坐标系中两点距离公式即可求得10Ml=J1+1+1=J3故答案为：①（LL—1）；②G8•如图上为矩形.438所在平面外一点上4_L平面X5CD若已知45=34。=4£4=1,则点尸到直线皿的距离［解析】如图,分别以所在直线为xyz轴建立空间直角坐标系,则尸（0,0」）乃（3。0）/）（0,4,0）,•以二=（3。-1）方方=（34,0）「：点尸到直线BD的距离d=J^B|2-|^B|2=JlO-闺=蔡二点p到直线BD的距离为今9.正方体CD-HiGDi的棱长为4MNRF分别为小5,41101»0。的中点，则平面,UW与平面EFBD的距离为.【解析】如图所示健立空间直角坐标系DQ4则d(4,0,0)M2,0,4)刀(0,0,0)乃(4,4,0)网024)产(2,4,4).(424).•:市=(2,2,0)“方=(22。),俞=(20,4)J?=(20,4)-：示=MAT,FF=AM.，EF〃MN、BF〃AM.,EFCBF=FMNnAM=M.•:平面JAG〃平面EFBD.设n"是平面设n"是平面颉的法向量，则磔：XtX：0,=2z)=-2z.取z=l,则x=2j=2得n=(2/2J).平面」mV到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.丁而=（0,4⑨,二平面」W与平面EF助间的距离d=-10.（2020山东泰安一中高二月考）如图，四棱锥尸-,458中，底面458为菱形，ZABC=60q9PAL平面.158,重=2,丑4=型3,E为5。中点，尸在棱尸。上，“ELPQ,点3到平面“E尸的距离为 .3

pp【答案】q乙【解析】:四棱锥尸-“58中，底面为菱形，ZABC=60°.24_L平面H38,•••以工为原点，HE为x轴，为歹轴，,小为z轴，建立空间直角坐标系，VJB=2,PA=3&E为5c中点"F在棱PD上，AFLPD,3：.A（0,0,0）,B（正，-1,0）,E（V3?0，0）,P（0,0,型3,D（0,2,0）,3TOC\o"1-5"\h\z设广（a,b,c）,P?=XPD，则（。，b,c-当旦）=（0,2L-3巨兀），3 3解得。=0,b=2'k,c=2妙_2“x，AA?=（0,2人,当巨旦1人），p5=（0,2,一冬巨）,AAF^PD=4Z-A+A33AAF^PD=4Z-A+A33入二o,解得入=工（%，T，0）,AE=（煦，0，0）,标4=（0,1,11）,设平面■郎的法向量三=（x,y,z）,=（0,1,11）,设平面■郎的法向量三=（x,y,z）,则2 2，取＞=晶.得口=(0,z=0如,一1）,・••点3到平面工石厂的距离为：。」口二回-二2.In|2三、解答题.四棱锥PJ5CQ的底面"8是菱形45=4,NA5c=60。,侧棱24_L底面438,且8=4乃是E4的中点，求PC与平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系.【解析】以乂为原点“B所在直线为x轴,ZUC。中8边上的高在所在直线为y轴4P所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,DD则F为CD的中点4(0,0,0)乃(4。0)不(0,27^0)。(2,2遮,0)刀(-2,27^0)『(0。4)乃(0。2).设平面BED的一个法向量为n=(xj,z),由瓦自=(-4,0,2),Z^=(2,-2服,2),公8旗=0,.(-4x+2z=0,(x=A(nDE=0,..l2x-2V3y+2z=。,'卜=2取z=2,则x=l 得n=(l,a^,2).丁同=(2,2g,-4),•：n正=2+6-8=0,「n_LA已故尸C〃平面BED.二•PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.:晅？=（0,0,2）,•:点P到平面BED的距离3=等=下盘三=[Zl| vl+3+4即PC到平面BED的距离为且直线PC上各点到平面BED的距离都相等..（2019•全国高考新课标I）如图,直四棱柱/58■出3C必的底面是菱形…Lh=4,JB=2,ZBAD=6009E,M,N分别是5C,A5i，的中点.（1）证明：MN〃平面CiOE；（2）求点。到平面C0E的距离.【解析】解法一:证明：（1）连结BC,ME,丁初；石分别是助1,5c的中点,：.ME//B\C.又N为工。的中点，：.ND=—AiD,2由题设知出&//DC,：.B\CI)4。，：.MEI)ND,,四边形MM）石是平行四边形，MV〃石”又初7W平面C0E,•'•AW〃平面C0E.解：（2）过C作。1石的垂线，垂足为由已知可得OE_L5C,DE±CiC,平面QCE,故DELCH,・・・CHJ_平面CiDE,故CH的长即为C到时平面CiDE的距离，由已知可得CE=1,CCi=4,ACi£=Vl7,故05=生叵，17••・点C到平面C1DE的距离为生也.17解法二：证明：（D:直四棱柱dffCD，山C0的底面是菱形,-£41=4,.43=2,NBAD=60。,E,M,A「分别是5aA5i,且。的中点.平面，58,DEL山,以。为原点，。:1为x轴，。石为歹轴，06为z轴，建立空间直角坐标系，M（1,畲，2）,N（1,0,2）,D（0,0,0）,E（0,弧,0）,G（-1,畲.4）,m=（0,-近,0）,西=（-1,