2021-2022学年上海市杨浦高二年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市杨浦高二下学期3月月考数学试题一、填空题1．经过两点的直线的倾斜角为，则___________.【答案】2【分析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.【详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为，所以，解得，故答案为：2.2．已知直线在两坐标轴上的截距分别为，，则__________.【答案】##【分析】根据截距定义，分别令，可得.【详解】由直线，令得，即令，得，即，故.故答案为：3．直线的一个法向量________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量的意义求解作答.【详解】直线的方向向量为，而，所以直线的一个法向量.故答案为：4．已知直线与直线重合，则的值为__．【答案】4【分析】直接根据直线一般式对应系数的比相等列式计算即可.【详解】直线与直线重合，且明显，则，解得.故答案为：.5．若直线l的倾斜角的范围为，则该直线的斜率的取值范围为_______．【答案】【分析】由直线的斜率公式，可得直线的斜率的取值范围．【详解】解：由直线的倾斜角的变化范围，结合直线的斜率公式，可得的范围是．故答案为：．6．若直线，的夹角为，则m的值为___________.【答案】0【分析】先求出的倾斜角，根据直线与的夹角为，求出的倾斜角，继而求出m.【详解】直线的斜率为-1，倾斜角为，由题知，直线与的夹角为，所以直线的倾斜角为或0（舍），所以.故答案为：0.7．经过两直线l1:2x－3y＋2＝0与l2:3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线l3:4x－2y＋7＝0的直线方程是_______.【答案】2x－y－18＝0【分析】求出交点坐标，由平行设直线方程，代入交点坐标求得参数值，得直线方程．【详解】解：由解得所以直线l1,l2的交点坐标是(14,10).设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线l的方程为4x－2y＋c＝0(c≠7).因为直线l过直线l1与l2的交点(14,10)，所以c＝－36，从而直线l的方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0.8．与直线和直线的距离相等的直线方程为______．【答案】【分析】设直线方程为，根据两平行直线之间距离公式即可求解.【详解】设该直线为：，则由两平行直线之间距离公式得：，故该直线为：；故答案为：.9．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为________．【答案】【解析】可知表示直线上的点与点连线的斜率，即可求出.【详解】实数，满足方程，当时，表示直线上的点与点连线的斜率，设、为直线上的两个点，且，的斜率为，的斜率为

，故的范围为，故答案为：．10．已知点，B是x轴的正半轴上一点，C是直线上一点，则周长的最小值为___________.【答案】【分析】如图，分别作出点A关于直线与x轴对称的点，求出点的坐标，数形结合即得解.【详解】如图，分别作出点A关于直线与x轴对称的点，，则，解得.所以.当，C，B，四点共线时，的周长最小，且最小值为.故答案为：.二、单选题11．已知点到直线：的距离为1，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式，即可求得参数的值.【详解】因为点到直线：的距离为1，故可得，整理得，解得.故选：.12．将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知直线的斜率为，设其倾斜角为，将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率为，化简求值即可得到答案.【详解】由知斜率为，设其倾斜角为，则，将直线绕着原点逆时针旋转，则

故新直线的斜率是.故选：B.13．已知直线l：，直线m：，若直线l与m的交点在第一象限，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】求出两直线的交点，利用交点在第一象限得出关于k的不等式，解之即可得解.【详解】因为直线l：，直线m：相交，，即联立，解得又直线l与m的交点在第一象限，，解得故选：A14．原点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线过的定点，当时，原点到直线距离最大，则可求出原点到直线距离的最大值；【详解】因为可化为，所以直线过直线与直线交点，联立可得所以直线过定点，当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，此时最大值为，故选：C.三、解答题15．分别求满足下列条件的直线的方程：(1)直线过点，且与直线垂直，求的点法式方程；(2)直线过点和，求的两点式方程；(3)直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的点斜式方程；(4)直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般式方程.【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）求出的法向量，写成点法式方程；（2）直接用两点式写成直线方程；（3）求出，进而求出，得知直线的斜率，写成点斜式方程；（4）分截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，代入点的坐标，求出答案.【详解】（1）直线的法向量即为直线的方向向量，故的点法式方程为；（2）的两点式方程为；（3）由题意得：，又，所以，故，所以的斜率为，的点斜式方程为；（4）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设，将代入得：，解得：，故直线的方程为，化为一般式方程为；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设，将代入得：，解得：，故直线的方程为，化为一般式方程为；故直线的方程为或．16．已知直线和点，若正方形的边在直线上，点为正方形的中心，求直线和的一般式方程.【答案】直线的方程或；直线方程为．【分析】由点到直线的距离和到直线距离相等，得出直线方程；根据垂直关系结合点到直线的距离得出直线方程.【详解】点到直线的距离为，因为直线与直线平行，设方程为，则或（舍去），故直线方程为；直线与直线垂直，设其方程为，则或，故直线方程为或．17．已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点.(1)当的面积最小时，求直线的一般式方程；(2)当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值．【答案】(1)(2)，的最小值为4【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标，得到，结合基本不等式求出面积最值，得到的方程；（2）表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，得到直线方程，【详解】（1）设的方程为，由直线过得，由基本不等式得：，即，解得：，当且仅当，时取等号，此时的方程为，即；（2）因为直线与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，所以直线的斜率存在，可设直线的方程为，所以，，所以，，所以，当且仅当时取等号，此时，此时直线的方程为，的最小值为4.18．如图，已知的三个顶点分别为．(1)若点为的中点，求直线与直线的夹角大小；(2)若的平分线为，求所在直线的直线方程．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据中点坐标，结合与平面向量的夹角公式求解即可；（2）设上的任意一点，结合点到直线距离等于点到直线距离相等列式可得的方程即可.【详解】（1）因为点为的中点，，故即，，所以，所以直线与直线的夹角大小为；（2）设上的任意一点，又直线方程为，直线的方程为，点到直线距离等于点到直线距离，，则，解得，或.由题意可得所在直线的直线斜率为正，所以角平分线所在直线方程为．19．如图，已知，，，直线．(1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；(2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程；(3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．【答案】(1)证明见解析，定点坐标为；(2)；(3)．【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标；（2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程；（3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到，由对称性得，写成直线方程.【详解】（1）直线可化为，令，解得，故直线经过的定