上海市高三下学期3月阶段性测试数学试题（解析版）

第22页/共22页高三下3月阶段性测试一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果1.设全集，若集合，则____________．【答案】【解析】【分析】解出绝对值不等式，求出集合A，再求.【详解】或，因此，.故答案为：.2.等差数列的前项之和为，若，，则______．【答案】90【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出，再利用等差数列前项和公式计算作答.【详解】由得：，整理得，由得：，整理得，而，即，于是得，所以.故答案为：903.若的展开式中的系数为，则实数的值为__________.【答案】【解析】【分析】法一：可使用二项式展开式的通项公式，通过已知条件，使用待定系数法，求解出参数的值；法二：可以将此二项式看成6个这样的式子乘在一起，两项和看看怎样组合，能得到，即可完成等量关系的建立，从而完成参数的求解.【详解】法一：展开式第项时，，，，.故答案：2.法二：展开式中，要想凑出，必须取三次方，也取三次方，于是算下系数就有，.故答案为：2.4.已知是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为___________.【答案】【解析】【分析】化简求出，再代模长公式即可求解【详解】由，故答案为：5.曲线在点处的切线倾斜角为__________．【答案】【解析】【分析】先求出曲线方程的导函数，把x=1代入导函数中求出的函数值即为切线方程的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的正切值等于切线方程的斜率，然后利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．【详解】由题意得，所以，即在点处的切线的斜率为，所以切线的倾斜角为.故答案为【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握直线斜率与倾斜角间的关系，灵活运用特殊角的三角函数值化简求值，属于基础题．6.如图，在棱长为2的正方体中，点在截面上（含边界），则线段的最小值等于___________.【答案】##【解析】【分析】由已知可证得平面，可得为与截面的垂足时，线段最小，然后利用等积法求解．【详解】如图，连接交截面于，由底面，底面,可得，又在正方形中，，，则平面，平面,则，同理可得，，则平面，此时线段最小，由棱长为2，可得等边三角形的边长为，，∵，∴，解得，故答案为：.7.在中，三个内角、、所对的边分别为、、，若的面积，，，则______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简,由的范围特殊角的三角函数值求出，代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程，变形后整体代入求出的值.【详解】由可得中，由正弦定理得：由得，由得得∴由余弦定理得解得，故答案为：.8.已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取3位同学的数学成绩，则这3位同学的数学成绩都在内的概率为_____．【答案】【解析】【分析】根据正态分布的对称性可得，进而可求3位同学成绩均在的概率.【详解】由题意得，该正态曲线的对称轴为，∵，∴，∴3位同学的数学成绩都在的概率为．故答案为：9.已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】求出的范围，由正弦函数的图像性质可得解.【详解】由，可得，因为函数，，恰有2个零点，由正弦函数图像性质可得，从而解得.故答案为：10.已知，是双曲线的左､右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点A满足（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为___________.【答案】【解析】【分析】设，，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，满足，可得，由两点的距离公式，可得所求渐近线方程．【详解】解：设，，渐近线方程为，的对称点为，则，解得，，因为点满足，所以，即，又，所以，即，所以双曲线的渐近线方程为；故答案为：11.已知是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】把条件的二次方程分解成两个向量的积，得到这两个向量互相垂直，结合图形确定的最小值.【详解】如下图所示，设且点B在以F为圆心，DE为直径的圆上又当点B为圆F和线段FA的交点的时候，最短故答案为：12.已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】问题可转化为，分类讨论结合即可得出结论.【详解】，，即对任意的，都存在，使恒成立，有，当时，显然不等式恒成立；当时，，解得；当时，，此时不成立.综上，.故答案：二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13.“”是关于的不等式的解集为R的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件【答案】B【解析】【分析】取，时可判断充分性；当不等式的解集为R时，分，，讨论可判断必要性.【详解】若，取时，不等式，此时不等式解集为；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当，且时，不等式，所以，若关于的不等式的解集为R，则.综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件.故选：B14.如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（）A.是奇数且B.是偶数，是奇数，且C.是偶数，是奇数，且D.是奇数，且【答案】B【解析】【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征.【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为，当时，，则；又图象关于轴对称，为偶函数，，又互质，为偶数，为奇数.故选：B.15.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果.【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，，，，由全概率公式可得.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.16.已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程中，有实数解的方程至少有（）个A.1009 B.1010 C.1011 D.1012【答案】D【解析】【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到，要想无实根，要满足，结合根的判别式与基本不等式得到和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，且，从而得到结论.【详解】由题意得：，其中，，代入上式得：，要想方程无实数解，则，显然第1012个方程有解，设方程与方程的判别式分别为和，则，等号成立的条件是.所以和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，且，综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个，有实数根的方程至少1012个.故选：D.三､解答题（本大题共有5题，本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步步17.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.【小问1详解】令，则所以，单调减区间是.【小问2详解】由得：，即，由于，所以.在中，，，于是，则，，，所以.18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．（1）证明：EF∥平面PCD（2）若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取PD的中点G，连接CG，EG，则由三角形中位线定理可得，再结合底面四边形为菱形，可得四边形EGCF为平行四边形，从而得然后由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，然后利用空间向量求解即可【小问1详解】证明：取PD的中点G，连接CG，EG，因为E，F分别为PA，BC的中点，所以，又底面ABCD为菱形，所以，所以，所以四边形EGCF为平行四边形，所以又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．【小问2详解】解：连接，因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因为四边形ABCD为菱形，，所以为等边三角形，因为F为BC的中点，所以，因为∥，所以，所以两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），则．设平面DEF的法向量，则，令，得．设直线AF与平面DEF所成的角为θ，则，所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为19.随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线．某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取人进行调查，得到如下表的统计数据：周平均锻炼时间少于小时周平均锻炼时间不少于小时合计岁以下岁以上（含）合计（1）运用独立性检验的思想方法判断：是否有以上的把握认为，周平均锻炼时长与年龄有关联？并说明理由．（2）现从岁以上（含）的样本中按周平均锻炼时间是否少于小时，用分层抽样法抽取人做进行一步访谈，最后再从这人中随机抽取人填写调查问卷．记抽取人中周平均锻炼时间是不少于小时的人数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）有以上的把握认为周平均锻炼时长与年龄有关联；理由见解析（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）由表格数据计算可得，对比临界值表可得结论；（2）根据分层抽样原则可确定人中，周平均锻炼时长少于小时和不少于小时的人数，由此可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值.【小问1详解】由表格数据得：，有以上的把握认为周平均锻炼时长与年龄有关联.【小问2详解】抽取的人中，周平均锻炼时长少于小时的有人，不少于小时的有人，则所有可能的取值为，；；；；的分布列为：数学期望20.已知抛物线焦点为，直线交抛物线于不同的两点.（1）若直线的方程为，求线段的长；（2）若直线经过点，点关于轴的对称点为，求证：三点共线；（3）若直线经过点，抛物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点.【解析】【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，可得，根据在上，由抛物线定义可求得结果；（2）设，，，联立直线方程与抛物线方程可得，利用两点连线斜率公式表示出，整理得，由此证得结论；（3）设存在点满足题意，设，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，由可得到，讨论可得时满足题意，由此确定点坐标.【详解】（1）设，，联立得：，，抛物线方程为，抛物线的焦点，又直线过抛物线的焦点，由抛物线的定义可得：.（2）由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为，，，则，联立得：，则，解得：，，即，直线的斜率为，直线的斜率为，，三点共线.（3）假设存在点，使以弦为直径的圆恒过点，设过点的直线的方程为：，联立得：，则，设，，则，，点总在以弦为直径的圆上，，，又，，，，当或，等式成立，当或，有，，则，即，当时，无论取何值等式都成立，将代入得：，；综上所述：存在点，使得以弦为直径的圆恒过点.【点睛】思路点睛：本题抛物线中满足某条件的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系；④通过讨论所得关系可确定定点.21.已知函数，设，.（1）若在上有解，求的取值范围；（2）若，证明：当时，成立；（3）若恰有三个不同的根，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）常数分离法，转化为有解，用导数求的最小值即可；（2）即证在时恒成立，用导数求左边函数的最小值;（3）确定是先减后增，要使有三根，要满足，从而，可将表示为的函数，根据的范围，求得的范围.【小问1详解】由题，在上有解，，所以有解令，则，而在上为增函数，所以，即成立，所以在严格递增，因而，即.【小问2详解】时，则，令，得，记，则在时严格增，因而，所以在时严格增，因而即在严格增，，即在恒成立.【小问3详解】在定义域上递增①当时，，而当时成立，且，所以，因而存在，使得，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以为极小值点.，由，此时不可能有三个根.②当时，因而存在，使得，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以为极小值点